Построение правильных многоугольников 9 класс: циркуль и линейка

На этой странице представлен подробный теоретический справочник по теме «Построение правильных многоугольников» по геометрии для 9 класса. Материал охватывает классические методы геометрических построений с помощью циркуля и линейки, деление окружности на равные части и практическое применение циркульных засечек.

Задачи на построение развивают пространственное воображение и логику, помогая наглядно увидеть связь между окружностью и вписанными в неё фигурами. Навыки деления окружности на 3, 4, 6 и 8 равных частей необходимы не только при сдаче геометрического модуля ОГЭ по математике, но и при выполнении чертежей в инженерии и дизайне.

Ниже приведены пошаговые алгоритмы построения основных правильных многоугольников, математическое обоснование шагов циркуля, а также разбор типичных задач.

После изучения теории на странице доступны интерактивные онлайн-тренажёры с проверкой ответов для закрепления навыков.

Основные правила построений циркулем и линейкой — 9 класс

Классические задачи на построение в геометрии разрешают использовать только два инструмента — циркуль (для проведения окружностей и откладывания равных отрезков) и линейку без делений (для проведения прямых линий через заданные точки).

• Главная идея построений: любой правильный многоугольник можно построить, если уметь делить окружность на заданное число равных дуг или частей.

• Основной метод: построение начинается с проведения вспомогательной окружности некоторого радиуса $R$ , центр которой совпадает с будущим центром правильного многоугольника.

Построение правильного шестиугольника и правильного треугольника

Построение правильного шестиугольника является базовым навыком геометрии, так как сторона правильного шестиугольника в точности равна радиусу описанной около него окружности ( $a_6 = R$ ).

Алгоритм построения правильного шестиугольника:

1. Проведите окружность произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$ .

2. Поставьте ножку циркуля в любую точку $A$ на окружности (на пересечении с горизонтальным диаметром) и раствором циркуля, равным радиусу $R$ , сделайте засечку на окружности — получите вторую вершину $B$ .

3. Переставьте ножку циркуля в точку $B$ и сделайте следующую засечку (точка $C$ ).

4. Повторите шаги по всей окружности до возвращения в исходную точку $A$ (всего получится 6 равных дуг).

5. Последовательно соедините соседние точки отрезками по линейке — образуется правильный шестиугольник.

[ Место для иллюстрации: Чертеж окружности с шагами последовательного откладывания радиуса циркулем для построения правильного шестиугольника ]

Чтобы построить правильный треугольник, достаточно на том же чертеже правильного шестиугольника соединить прямой через одну все вершины (например, первую, третью и пятую). Все хорды окажутся равны между собой ( $a_3 = R\sqrt{3}$ ).

Разберём пример задачи на обоснование такого построения:

Пример применения: Расчёт стороны шестиугольника при построении

Задание: При построении правильного шестиугольника с помощью циркуля радиус вспомогательной окружности был выбран равным $8\text{ см}$ . Найдите периметр полученного шестиугольника и расстояние от центра окружности до его стороны.

Пошаговый разбор:

1) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

a_6 = R = 8\text{ см}

2) Периметр шестиугольника равен сумме шести равных сторон:

P = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 8 = 48\text{ см}

3) Расстояние от центра окружности до стороны — это радиус вписанной окружности (апофема) $r_6$ :

r_6 = \dfrac{a_6\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ см}

Ответ: периметр $48\text{ см}$ ; расстояние до стороны $4\sqrt{3}\text{ см}$ .

Построение квадрата и правильного восьмиугольника

Для построения правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в окружность, используется свойство его перпендикулярных диаметров.

Алгоритм построения квадрата:

1. Проведите окружность с центром в точке $O$ .

2. Постройте произвольный диаметр $AC$ с помощью линейки.

3. С помощью циркуля постройте перпендикуляр к этому диаметру, проходящий через центр $O$ (для этого проведите две вспомогательные дуги из точек $A$ и $C$ одинаковым радиусом больше $R$ ). Получите второй диаметр $BD$ , перпендикулярный первому.

4. Соедините последовательно точки $A, B, C, D$ отрезками — образованный четырёхугольник будет являться квадратом.

[ Место для иллюстрации: Чертеж окружности с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами и соединенными точками квадрата ]

Если требуется построить правильный восьмиугольник, поступают следующим образом: на построенном чертеже квадрата с помощью циркуля находят середины четырёх дуг окружности между вершинами квадрата (строят биссектрисы прямых углов или серединные перпендикуляры к сторонам квадрата). Соединив все 8 точек, получают правильный восьмиугольник.

Разберём пример задачи на расчет параметров вписанного квадрата:

Пример применения: Расчёт стороны и площади вписанного квадрата

Задание: Около окружности радиуса $5\sqrt{2}\text{ см}$ описан квадрат, и в ту же окружность вписан квадрат. Найдите сторону вписанного квадрата и площадь описанного квадрата.

Пошаговый разбор:

1) Для вписанного квадрата радиус описанной окружности равен половине его диагонали: $d = 2R$ . Сторона вписанного квадрата связана с радиусом формулой $a_4 = R\sqrt{2}$ :

a_4 = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10\text{ см}

2) Для описанного квадрата радиус вписанной окружности равен половине его стороны: $r = R$ . Значит, сторона описанного квадрата $a_{\text{опис}} = 2R$ :

a_{\text{опис}} = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\text{ см}

3) Найдём площадь описанного квадрата:

S = a_{\text{опис}}^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\text{ см}^2

Ответ: сторона вписанного квадрата $10\text{ см}$ ; площадь описанного квадрата $200\text{ см}^2$ .

Удвоение числа сторон многоугольника

Главный метод геометрических построений, позволяющий переходить от одного многоугольника к другому с вдвое большим числом сторон ( $n \to 2n$ ), — это деление дуги пополам с помощью циркуля.

Как разделить дугу окружности пополам:

1. Пусть задана дуга $AB$ с центром $O$ .

2. Раствором циркуля, превышающим половину хорды $AB$ , из точек $A$ и $B$ как из центров проведите две вспомогательные засечки до их пересечения друг с другом.

3. Проведите прямую через точку пересечения засечек и центр окружности $O$ . Эта прямая перпендикулярно делит хорду $AB$ пополам и пересекает саму дугу ровно в её середине.

4. Применяя этот метод к сторонам правильного вписанного шестиугольника, можно легко построить правильный двенадцатиугольник, а из квадрата — правильный восьмиугольник.

Общий алгоритм задач на построение

При выполнении заданий на построение и вычисления в геометрии 9 класса следуйте простому алгоритму:

Выполните схематичный чертеж: набросайте от руки окружность и вписанный (или описанный) многоугольник, отметив центр $O$ , радиусы $R$ и $r$ .

Определите базовую фигуру: поймите, с помощью какого стандартного построения получена фигура (откладывание радиуса для шестиугольника, перпендикулярные диаметры для квадрата).

Используйте свойства прямоугольного треугольника: рассмотрите треугольник, образованный радиусом $R$ , апофемой $r$ и половинной стороной $\frac{a}{2}$ .

Запишите итоговые соотношения: выразите периметр, площадь или искомые отрезки через исходный радиус окружности.

Типичные ошибки при построении и расчётах

При выполнении чертёжных и расчётных задач по этой теме девятиклассники часто совершают три ошибки:

Изменение раствора циркуля при построении шестиугольника

Случайное смещение ножки циркуля в процессе откладывания шести точек на окружности. Раствор циркуля должен быть зафиксирован строго на радиусе $R$ от начала до конца построения!

Путаница в формулах стороны квадрата

Ошибочное применение формулы $a_4 = R$ вместо правильной $a_4 = R\sqrt{2}$ . Напоминаем: сторона правильного шестиугольника равна $R$ , а сторона квадрата в $\sqrt{2}$ раз больше радиуса.

Использование линейки с делениями в теоретических задачах

Попытка измерить линейкой отрезки на чертеже в задачах на доказательство и построение. В геометрии все искомые величины выводятся строго аналитически через формулы и свойства фигур!

Тренажёры по теме «Построение правильных многоугольников» на Экзамео

Ниже представлены интерактивные тренажёры с задачами на расчёты при построении вписанных и описанных правильных многоугольников для 9 класса. К каждому заданию подготовлены подробные пошаговые решения и проверка ответов, что поможет уверенно справляться с геометрическими задачами на экзамене.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Из истории задач на построение

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки волновали математиков со времён Древней Греции. В «Началах» Евклида подробно описаны способы построения правильных треугольников, квадратов, пятиугольников и пятнадцатиугольников.

Великая загадка древности 🏛️

Более двух тысяч лет математики безуспешно пытались с помощью только циркуля и линейки построить правильный семиугольник и девятиугольник, а также решить задачу о квадратуре круга. Лишь в 1801 году 19-летний немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал удивительную теорему: циркулем и линейкой можно построить правильный $n$ -угольник тогда и только тогда, когда число сторон $n$ представляет собой произведение двойки на любое количество различных простых чисел Ферма (вида $2^{2^k} + 1$ ).

Триумф юного Гаусса ✨

Благодаря своей теореме Гаусс впервые в истории математики доказал возможность циркульным методом построить правильный 17-угольник. Настолько гордился этим открытием великий учёный, что завещал высечить правильный 17-угольник на своём надгробном памятнике. Завещание было выполнено скульптором, хотя на камне фигура выглядит практически неотличимой от идеальной окружности!