Квадратичная функция - разбор темы и задания для 9 класса

Тема «Квадратичная функция и график параболы» в 9 классе — один из центральных разделов школьного курса алгебры. Понимание свойств параболы необходимо для успешной сдачи ОГЭ (задания 11 и 21) и профильного ЕГЭ по математике. На этой странице представлен полный разбор темы: геометрический смысл всех коэффициентов, формулы нахождения вершины, форма записи со свернутым полным квадратом, пошаговый алгоритм построения по точкам и доступ к интерактивному онлайн-тренажёру с проверкой ответов на платформе Экзамео.

Квадратичной функцией называется функция вида $y = ax^2 + bx + c$ , где $a, b, c$ — заданные действительные числа, причём главный коэффициент $a \neq 0$ , а $x$ — независимая переменная. Графиком квадратичной функции всегда является парабола — плавная U-образная кривая, обладающая зеркальной вертикальной симметрией.

Анатомия параболы: ключевые элементы и точки

Вершина параболы: наивысшая или наинизшая точка графика. В вершине функция меняет направление своего изменения (убывание сменяется возрастанием или наоборот).

• Ветви параболы: бесконечные дуги графика, направленные либо вверх, либо вниз.

• Ось симметрии параболы: вертикальная прямая $x = x_0$ , проходящая через вершину. График параболы симметричен относительно этой линии: если сложить чертёж пополам вдоль оси, ветви совпадут.

• Точка пересечения с осью Oy: точка $(0; c)$ , в которой график пересекает вертикальную ось ординат.

• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ . Если дискриминант $D > 0$ — две точки; если $D = 0$ — одна точка (вершина лежит на оси $Ox$ ); если $D < 0$ — точек пересечения с осью $Ox$ нет.

За что отвечают коэффициенты a, b, c в формуле параболы

В формуле $y = ax^2 + bx + c$ каждый коэффициент однозначно определяет определённое геометрическое свойство графика:

Коэффициент a

Направление ветвей и ширина

Знак a:
• Если $a > 0$ — ветви направлены вверх ( $\cup$ ).
• Если $a < 0$ — ветви направлены вниз ( $\cap$ ).

Модуль |a|:
• Чем больше $|a|$ , тем парабола «уже» (сильнее вытянута вдоль $Oy$ ).
• Чем меньше $|a|$ , тем парабола «шире» (приплюснута). При $a = 1$ форма совпадает с базовым шаблоном $y = x^2$ .

Коэффициент b

Смещение по горизонтали

Коэффициент $b$ задаёт положение вершины по оси $Ox$ через формулу $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ :

• Если $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки ( $ab > 0$ ), вершина смещена влево от оси $Oy$ ( $x_0 < 0$ ).
• Если $a$ и $b$ имеют разные знаки ( $ab < 0$ ), вершина смещена вправо от оси $Oy$ ( $x_0 > 0$ ).
• Если $b = 0$ , вершина лежит строго на оси $Oy$ ( $x_0 = 0$ ).

Коэффициент c

Пересечение с осью Oy

При подстановке $x = 0$ получаем $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$ .

• Коэффициент $c$ равен ординате точки пересечения параболы с осью $Oy$ .
• Если график пересекает ось $Oy$ выше начала координат — $c > 0$ .
• Ниже начала координат — $c < 0$ .
• Проходит через начало координат $(0; 0)$ — $c = 0$ .

Пример анализа: определение знаков a, b, c по графику параболы

Задание (прототип ОГЭ): Парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$ , её ветви направлены вниз, а вершина находится во второй четверти (левее оси $Oy$ ). Определите знаки коэффициентов $a, b, c$ .

Пошаговый разбор:

1) Знак a: Ветви направлены вниз $\implies a < 0$ .

2) Знак c: График пересекает ось ординат выше нуля (в точке с $y = 3$ ) $\implies c = 3 > 0$ .

3) Знак b: Вершина лежит во второй четверти, значит её абсцисса отрицательна: $x_0 = -\dfrac{b}{2a} < 0$ .
Так как $a < 0$ , знаменатель $2a$ отрицателен. Чтобы вся дробь со знаком «минус» осталась отрицательной, числитель $b$ обязан быть отрицательным ( $b < 0$ ).

Ответ: $a < 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ .

Парабола в канонической форме: сворачивание в полный квадрат

Любую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ можно представить в каноническом виде (в форме выделенного полного квадрата):

y = a(x - x_0)^2 + y_0

где точка $(x_0; y_0)$ — это в точности координаты вершины параболы.

Геометрический смысл смещений

График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из базового графика $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига):

1. Сдвиг по оси Ox на $x_0$ :
• При записи вида $(x - 3)^2$ график сдвигается вправо на 3 единицы ( $x_0 = 3$ ).
• При записи вида $(x + 4)^2 = (x - (-4))^2$ график сдвигается влево на 4 единицы ( $x_0 = -4$ ).

2. Сдвиг по оси Oy на $y_0$ :
• Знак слагаемого $+ y_0$ напрямую указывает смещение: $+ 2$ — сдвиг вверх на 2 единицы, $- 5$ — сдвиг вниз на 5 единиц.

Пример выделения полного квадрата

Преобразуем функцию $y = x^2 - 6x + 5$ :

1. Сгруппируем члены с переменной:
$x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x$ .

2. Для полного квадрата не хватает $3^2 = 9$ . Прибавим и вычтем 9:
$y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5$ .

3. Свернём формулу квадрата разности:
$y = (x - 3)^2 - 4$ .

Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$ . Это график стандартной параболы $y = x^2$ , смещённый на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз.

Пример применения: восстановление формулы параболы по вершине

Задание (прототип ОГЭ): Парабола имеет вершину в точке $(1; -4)$ и проходит через точку $(3; 0)$ . Найдите её формулу в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$ .

Пошаговый разбор:

1) Запишем функцию через каноническую форму: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ .

2) Подставим вершину $(x_0; y_0) = (1; -4)$ :

y = a(x - 1)^2 - 4

3) Подставим точку $(3; 0)$ , чтобы найти $a$ :

0 = a(3 - 1)^2 - 4 \implies 0 = 4a - 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1

4) Раскроем скобки:

y = 1 \cdot (x - 1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3

Ответ: $y = x^2 - 2x - 3$ .

Как построить график параболы по формуле

Чтобы безошибочно построить параболу $y = ax^2 + bx + c$ в тетради или на контрольной работе, следуйте алгоритму из 5 шагов:

Определите направление ветвей:
по знаку коэффициента $a$ . Если $a > 0$ — ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

Найдите координаты вершины $(x_0; y_0)$ :

Отметьте вершину на координатной плоскости и проведите пунктиром вертикальную ось симметрии $x = x_0$ .

Найдите нули функции (пересечения с осью Ox):
решите уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ . Если корни существуют, отметьте точки $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$ .

Найдите точку на оси Oy и симметричную ей точку:
отметьте точку $(0; c)$ на оси ординат. Затем с помощью оси симметрии $x = x_0$ сразу найдите парную ей точку $(2x_0; c)$ на противоположной ветви.

Используйте шаблон шагов (1, 4, 9) и соедините точки:
для базового коэффициента $a = 1$ от вершины вправо и влево действуют смещения: на $1$ шаг вбок $\to$ на $1$ шаг вверх ( $1^2$ ); на $2$ шага вбок $\to$ на $4$ шага вверх ( $2^2$ ); на $3$ шага вбок $\to$ на $9$ шагов вверх ( $3^2$ ). При $a = 2$ вертикальные шаги удваиваются ( $2, 8, 18$ ). Соедините точки плавной линией без изломов и углов.

Заметка: сколько точек нужно для точного построения параболы

• Минимум 3 точки (эскиз графика): для приблизительного наброска достаточно найти вершину и два корня (нули функции), если дискриминант $D > 0$ .

• Золотой стандарт — 5 точек: чтобы парабола получилась аккуратной, правильной формы и без искажения кривизны, всегда стройте минимум 5 ключевых точек:
  1. Вершина параболы $(x_0; y_0)$ ;
  2–3. Две симметричные точки с шагом в $\pm 1$ единицу от вершины по оси $Ox$ ;
  4–5. Две симметричные точки с шагом в $\pm 2$ единицы от вершины (или точка пересечения с осью $Oy$ и симметричная ей точка).

Пример полного построения: парабола с отрицательным коэффициентом a

Задание: Найдите координаты вершины, нули функции и постройте по точкам график квадратичной функции $y = -x^2 + 4x + 5$ .

Пошаговый разбор:

1) Направление ветвей: $a = -1 < 0 \implies$ ветви направлены вниз.

2) Координаты вершины:

x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2, \quad y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9

Вершина находится в точке $(2; 9)$ . Ось симметрии: прямая $x = 2$ .

3) Нули функции (пересечение с Ox):

-x^2 + 4x + 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 5

Точки на оси $Ox$ : $(-1; 0)$ и $(5; 0)$ .

4) Точка на оси Oy и симметрия:
При $x = 0 \implies y = 5$ , получаем точку $(0; 5)$ .
Симметричная ей точка относительно $x = 2$ имеет абсциссу $x = 4$ : точка $(4; 5)$ .

5) Итоговая таблица 5 точек:

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $4$ | $5$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $0$ | $5$ | $9$ | $5$ | $0$ |

Соединяем эти 5 точек гладкой кривой с вершиной в точке $(2; 9)$ .

Ответ: вершина $(2; 9)$ ; нули функции: $x = -1$ и $x = 5$ .

Ошибки при работе с квадратичной функцией

При решении заданий 9 класса и задач ОГЭ учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Потеря минуса в формуле абсциссы вершины

В формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ часто забывают знак «минус» перед дробью либо путают знаки, если коэффициент $a$ отрицателен (например, при $y = -x^2 + 4x$ берут $x_0 = \frac{4}{-2} = -2$ вместо $+2$ ).

Неверный знак смещения по оси Ox

В формуле $y = (x + 3)^2$ ошибочно считают, что график сдвинут вправо, видя знак «плюс». В действительности $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , поэтому смещение происходит строго влево на 3 единицы.

Путаница коэффициента c с корнями

Коэффициент $c$ путают с точками пересечения с осью $Ox$ . Запомните: $c$ — это точка пересечения исключительно с вертикальной осью $Oy$ (ордината при $x = 0$ ), а пересечения с осью $Ox$ находятся только через дискриминант или теорему Виета.

Задания и тренажёр по параболе на Экзамео

В интерактивных тренажёрах Экзамео собраны все актуальные типы заданий по теме «Квадратичная функция и график параболы» для 9 класса: поиск коэффициентов по графику, расчёт координат вершины, нахождение промежутков знакопостоянства и монотонности, а также задания №11 и №21 ОГЭ по математике. Каждое задание снабжено подробным пошаговым разбором и моментальной автоматической проверкой ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Парабола в реальной жизни и физике

Парабола — это не просто абстрактная математическая функция из школьного учебника, а фундаментальная траектория природы и ключевая инженерная форма. Благодаря своим уникальным оптическим и механическим свойствам парабола окружает нас повсюду:

Баллистика и гравитация

Любое тело, брошенное под углом к горизонту в поле тяжести Земли (мяч, артиллерийский снаряд, струя фонтана), летит по траектории параболы, описываемой уравнением $y(t) = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$ .

Спутниковые антенны

Тарелка спутниковой связи имеет форму параболоида вращения. Все параллельные радиоволны из космоса, отражаясь от зеркала параболы, собираются строго в одной точке — её фокусе, где и расположен приёмник.

Фары автомобилей и прожекторы

Действует обратное оптическое свойство: если поместить лампочку точно в фокус параболического рефлектора фары, все отражённые лучи сформируют мощный параллельный пучок света, освещающий дорогу вдаль без рассеивания.

Где ещё встречается парабола в окружающем мире?

1. Подвесные мосты и вантовые конструкции: Главные несущие стальные тросы подвесных мостов (например, моста «Золотые Ворота» в Сан-Франциско или Крымского моста) под равномерной нагрузкой дорожного полотна провисают именно по форме параболы. Это обеспечивает равномерное распределение механического натяжения по всей длине опор.

2. Солнечные концентраторы и печи: Параболические зеркала используются в экологичной энергетике. Они концентрируют солнечную энергию в фокусе, разогревая теплоноситель до температур свыше $1000^\circ\text{C}$ для выработки электроэнергии или плавки металлов.

3. Тренировки космонавтов в невесомости: Самолёт Ил-76 МДК выполняет специальный манёвр — «горку Кеплера». Он взлетает вверх и летит по нисходящей параболической траектории свободного падения. Внутри салона на 25–30 секунд возникает реальное состояние полной невесомости для подготовки экипажей.