Скалярное произведение векторов: формулы, координаты и угол

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Скалярное произведение векторов» по геометрии для 9 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядным разбором двух ключевых формул вычисления скалярного произведения, выведением формулы для угла между векторами, анализом геометрических условий и решением типовых задач из проверочных работ и ОГЭ.

Скалярное произведение — одна из самых важных и часто используемых операций над векторами. В отличие от сложения или вычитания, результат скалярного произведения векторов — это не новый вектор, а обычное число (скаляр). Данная операция позволяет моментально находить углы между отрезками, доказывать их перпендикулярность и решать сложные геометрические задачи без громоздких дополнительных построений.

Теоретический справочник: две формулы скалярного произведения

В геометрии за 9 класс используются два способа вычисления скалярного произведения: геометрический (через длины и косинус угла) и алгебраический (через координаты векторов).

Скалярное произведение через длины векторов и косинус угла

Геометрическая формула:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (отложенными от одной точки).

Знак результата напрямую зависит от знака косинуса угла:

• Если угол острый ( $\alpha < 90^\circ$ ): $\cos \alpha > 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ .

• Если угол тупой ( $\alpha > 90^\circ$ ): $\cos \alpha < 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ .

• Признак перпендикулярности ( $\alpha = 90^\circ$ ): так как $\cos 90^\circ = 0$ , то скалярное произведение двух перпендикулярных ненулевых векторов равно нулю ( $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ ).

• Скалярный квадрат: скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$ .

Вычисление скалярного произведения через координаты векторов

Если векторы заданы своими прямоугольными координатами на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ , то угол искать не нужно!

Координатная формула:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Пример: если $\vec{a} = \{3; -2\}$ и $\vec{b} = \{4; 5\}$ , то их скалярное произведение равна: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 = 12 - 10 = 2$ .

Формула угла между векторами и ее выведение

Приравнивая геометрическую и координатную формулы скалярного произведения, мы получаем мощный алгебраический инструмент для нахождения углов между векторами или любыми прямыми на плоскости.

Формула косинуса угла между векторами

Из первой формулы следует: $\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Косинус угла между векторами:

\cos \alpha = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}

Формула косинуса угла через координаты — это основа координатного метода решения геометрических задач. Она позволяет находить углы произвольных фигур гораздо быстрее обычных геометрических построений:

Пошаговый алгоритм решения задач на скалярное произведение векторов

При решении задач на скалярное произведение за 9 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите способ задания векторов: если даны длины и угол — используйте формулу $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$ ; если даны координаты точек или векторов — используйте формулу $x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Вычислите координаты векторов (при необходимости): если заданы точки начала $A(x_1; y_1)$ и конца $B(x_2; y_2)$ , вычтите координаты начала из конца: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$ .

Найдите значение скалярного произведения: перемножьте соответствующие координаты и сложите их.

Найдите угол (если требуется по заданию): разделите найденное скалярное произведение на произведение длин векторов и укажите градусную меру угла по таблице косинусов.

Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 9 класс и экзамена ОГЭ по геометрии.

Пример 1: Нахождение скалярного произведения по длинам и углу

Задание: Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , если $|\vec{a}| = 6$ , $|\vec{b}| = 4$ , а угол между ними равен $120^\circ$ .

Подробное решение:

1) Применяем геометрическую формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos 120^\circ$

2) Учитываем, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ :
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -12$

Ответ: $-12$ .

Пример 2: Вычисление косинуса угла между векторами по их координатам

Задание: Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \{1; 2\}$ и $\vec{b} = \{-2; 1\}$ .

Подробное решение:

1) Находим скалярное произведение векторов по их координатам:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0$

2) Находим длины векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

3) Находим косинус угла между ними:
$\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{0}{5} = 0$

4) Так как косинус равен $0$ , угол между векторами равен $90^\circ$ (векторы перпендикулярны).

Ответ: $\cos \alpha = 0$ ( $\alpha = 90^\circ$ ).

Тренажёры по скалярному произведению векторов на Экзамео

Закрепите скалярное произведение векторов на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео с подробными решениями и пояснениями. Все учебные задания, самостоятельные карточки и проверочные тесты по теме «Скалярное произведение векторов» за 9 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.