Сравнение действительных чисел

В этом разделе разбираем тему сравнение действительных чисел — фундаментальный блок курса алгебры за 8–9 класс. Действительные (вещественные) числа $\mathbb{R}$ объединяют рациональные и иррациональные числа и умение их сравнивать очень пригодится на ОГЭ по математике особенно в 7 задании.

Здесь представлена вся необходимая теория для того, чтобы понять какое число или выражение больше, а какое меньше. Разбираем базовое определение через разность чисел, правила сравнения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей, сравнение действительных чисел и арифметические действия над ними, а также разбор характерных примеров и заданий из проверочных работ.

Отработать тему сравнение действительных чисел можно после теории в тренажёрах с подробными решениями.

Теоретический справочник: сравнение действительных чисел

Ниже представлены правила, свойства неравенств и методы, позволяющие сравнивать действительные числа в школьном курсе алгебры - эти методы универсальны для всех чисел, входящих в множество действительных чисел и используется не только в задачах на сравнение, но и при решении неравенств в процессе перехода к эквивалентным неравенствам.

Сравнения чисел через разность

Универсальный способ сравнения двух любых действительных чисел $a$ и $b$ основан на анализе знака их разности $a - b$ :

Основное правило сравнения действительных чисел 🎯

• Число $a$ больше числа $b$ ( $a > b$ ), если их разность положительна: $a - b > 0$ .

• Число $a$ меньше числа $b$ ( $a < b$ ), если их разность отрицательна: $a - b < 0$ .

• Числа $a$ и $b$ равны ( $a = b$ ), если их разность равна нулю: $a - b = 0$ .

На координатной прямой большее число всегда изображается точкой, лежащей правее меньшего числа.

Сравнение бесконечных десятичных дробей

Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической для рациональных чисел и непериодической для иррациональных).

Поразрядное сравнение положительных чисел:

1. Сначала сравнивают целые части чисел. Больше то число, целая часть которого больше.

2. Если целые части равны, сравнивают десятые доли, затем сотые, тысячные и так далее.

3. Большим является то число, у которого в первом несовпавшем разряде стоит большая цифра.

(Для отрицательных чисел действует обратное правило: из двух отрицательных действительных чисел больше то, модуль которого меньше).

Арифметические действия при сравнении чисел

При выполнении сравнения действительных чисел активно используются свойства числовых неравенств, давайте вспомним их, чтобы не нарушать знаки при преобразовании выражений и избежать ошибок:

Арифм. действие / Свойство

Формульная запись

Пояснение и правило знака

Сложение с числом

a > b \implies a + c > b + c

Знак неравенства не меняется при прибавлении любого числа $c$ .

Умножение на $c > 0$

a > b \text{ и } c > 0 \implies ac > bc

При умножении на положительное число знак сохраняется.

Умножение на $c < 0$

a > b \text{ и } c < 0 \implies ac < bc

При умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный.

Возведение в степень ( $a,b > 0$ )

a > b > 0 \implies a^2 > b^2, \; \sqrt{a} > \sqrt{b}

Для положительных чисел квадраты и квадратные корни сохраняют знак.

Лайфхак для сравнения иррациональных чисел! 💡

Чтобы сравнить числа вида $a\sqrt{b}$ и $c\sqrt{d}$ (или числа с квадратными корнями и обычные дроби), используйте два приёма:

1. Внесение множителя под знак корня: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}$ .

2. Возведение положительных частей в квадрат: чтобы сравнить $2\sqrt{7}$ и $5$ , возведите их в квадрат: $(2\sqrt{7})^2 = 28$ , а $5^2 = 25$ . Так как $28 > 25$ , то $2\sqrt{7} > 5$ .

При выполнении заданий на сравнение чисел в 9 классе существует универсальный алгоритм, который поможет в любом задании:

Порядок сравнения чисел

Выберите метод сравнения: если числа записаны десятичными дробями — сравнивайте поразрядно; если даны квадратные корни — вносите множители под корень или возводите в квадрат; для разностного метода составите выражение $a - b$ .

Выполните преобразования: приведите числа к единому виду (десятичным дробям с требуемой точностью или к арифметическим квадратным корням).

Поставьте знак неравенства: с учетом знака чисел запишите итоговый знак ( $>$ , $<$ или $=$ ) и выпишите ответ.

Разбор типовых задач на сравнения чисел из проверочных работ

Рассмотрите решения характерных прототипов задач из раздела сравнение действительных чисел примеры.

Пример 1: Сравнение действительных чисел через составление разности

Задание: Сравните выражения $a = (x - 2)^2$ и $b = x(x - 4)$ , где $x$ — произвольное действительное число.

Подробное решение:

1) Составим разность двух выражений $a - b$ :

a - b = (x - 2)^2 - x(x - 4)

2) Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x) = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x = 4

3) Так как разность $a - b = 4 > 0$ (положительное число), то по определению число $a$ больше числа $b$ при любых действительных значениях $x$ .

Ответ: $(x - 2)^2 > x(x - 4)$ .

Пример 2: Сравнение иррационального и рационального чисел

Задание: Сравните действительные числа $3\sqrt{3}$ и $5{,}2$ .

Подробное решение:

1) Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

2) Возведем первое число в квадрат:

(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27

3) Возведем второе число в квадрат:

(5{,}2)^2 = 27{,}04

4) Сравним полученные результаты: $27 < 27{,}04$ .
Следовательно, $(3\sqrt{3})^2 < (5{,}2)^2 \implies 3\sqrt{3} < 5{,}2$ .

Ответ: $3\sqrt{3} < 5{,}2$ .

Тренажёры на сравнение действительных чисел для 9 класса на Экзамео

Ниже собраны тренажеры на сравнение действительных чисел для 9 класса из учебников и открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике. К каждому заданию вы найдете подробное решение с объяснением, которые помогут вам получше разобраться в теме.

Эти тренажёры помогут вам в том числе подготовиться к ОГЭ по математике - в частности к седьмому заданию на сравнение чисел.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы