Многочлены - полный разбор темы ОГЭ по математике и тренажёры с решениями

В данном справочнике собран полный разбор темы «Многочлены» из кодификатора ОГЭ по математике. Согласно спецификации ФИПИ, в экзаменационной работе проверяются следующие элементы содержания: понятие многочлена, действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение), формулы сокращённого умножения, разложение многочлена на множители, а также квадратный трёхчлен и его разложение на линейные множители. Материал систематизирован и содержит всё необходимое для успешной сдачи экзамена.

Многочлены — это основа школьной алгебры. Без свободного владения многочленами невозможно успешно решать как базовые задания №6–№8, так и прототипы второй части (№20, №21) ОГЭ по математике. На этой странице вы найдёте все правила, формулы и подробные примеры, которые могут встретиться на экзамене.

В каких заданиях ОГЭ встречаются многочлены?

Согласно спецификации ОГЭ по математике тема «Многочлены» проверяется в следующих многих номерах:

Задание №7 и №8

Алгебраические выражения и свойства степеней.

Раскрытие скобок, применение ФСУ, упрощение буквенных выражений и подстановка числовых значений.

Задание №9 и №13

Уравнения и неравенства.

Решение квадратных уравнений через разложение трёхчлена и метода интервалов для многочленов.

Задание №20 и №21

Повышенный уровень (Часть 2).

Сложные алгебраические уравнения, системы и дробно-рациональные выражения, требующие разложения на множители способом группировки.

Что такое многочлен в ОГЭ по математике

Определение многочлена:

Многочлен — это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Разберёмся с основными понятиями и терминологией, связанной с многочленами:

Элементы многочлена

• Одночлен: произведение чисел, переменных и их натуральных степеней (например, $5x^2y$ ).

• Члены многочлена: одночлены, из которых составлена алгебраическая сумма.

Характеристики многочлена

• Степень многочлена: наибольшая из степеней входящих в него одночленов (например, $3x^2 - 5x + 7$ — многочлен $2$ -й степени).

• Стандартный вид: запись, в которой все одночлены приведены к стандартному виду и приведены подобные слагаемые.

Действия с многочленами в ОГЭ по математике

В экзаменационных заданиях ОГЭ проверяется умение выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов.

Сложение и вычитание многочленов

При сложении и вычитании многочленов нужно раскрыть скобки (помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные) и привести подобные слагаемые.

Пример сложения:

$(2x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 2x + 7) = (2x^2 + x^2) + (3x - 2x) + (-5 + 7) = 3x^2 + x + 2$

Пример вычитания:

$(5a^3 - 2a^2 + a) - (3a^3 + a^2 - 2a) = 5a^3 - 2a^2 + a - 3a^3 - a^2 + 2a = 2a^3 - 3a^2 + 3a$

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен по распределительному закону: $a \cdot (b + c + d) = ab + ac + ad$ .

Пример:

$3x \cdot (2x^2 - 5x + 4) = 3x \cdot 2x^2 + 3x \cdot (-5x) + 3x \cdot 4 = 6x^3 - 15x^2 + 12x$

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена: $(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$ .

Пример:

$(x + 2)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Формулы сокращённого умножения — это ключевой элемент темы «Многочлены» в ОГЭ. Они используются для ускоренного упрощения выражений, разложения на множители и решения уравнений. На экзамене по математике в 9 классе вам вряд ли понадобятся все формулы, но как минимум первые 3, связанные с квадратами нужно знать наизусть.

С их неправильным применением связано большое количество ошибок на экзамене в 9 классе

Формула

Пример применения

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$(3x - 4)(3x + 4) = 9x^2 - 16$

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$27x^3 - 1 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$

Основные способы разложения на множители

Разложение многочлена на множители — одно из главных умений, проверяемых в заданиях с многочленами на ОГЭ по математике. Познакомьтесь с 4 основными способами:

1. Вынесение общего множителя

Нахождение общего делителя и одинаковых букв в наименьшей степени.

• $6x^3 + 12x^2 - 18x = 6x(x^2 + 2x - 3)$

• $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$

2. Способ группировки

Объединение слагаемых в пары с последующим вынесением общего скобочного множителя.

• $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

• $x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)$

3. Использование ФСУ

Применение формул разности квадратов, кубов или полного квадрата.

• $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

• $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

4. Квадратный трёхчлен

Использование корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ .

• $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

• $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Квадратный трёхчлен и его разложение

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$ , где $a \neq 0$ . В ОГЭ по математике постоянно встречаются задачи, требующие разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.

Формулы разложения квадратного трехчлена встречаются в основном в 21 заданиях с графиками на ОГЭ. Если вам попадется дробно-рациональная функция с квадратным многочленом в числителе или знаменателе, вы просто не сможете построить график, если не разложите квадратный трехчлен на множители по формуле:

Формула разложения квадратного трёхчлена:

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , то:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Пример: $2x^2 - 2x - 4 = 2(x - 2)(x + 1)$ (корни: $x_1 = 2$ , $x_2 = -1$ ).

Пример 1: Разложение приведенного квадратного трёхчлена

Разложите на множители трёхчлен: $x^2 - 5x + 6$ .

Решение:

1) Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ .

2) Применим формулу разложения: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$ .

Пример 2: Разложение трёхчлена с коэффициентом a ≠ 1

Разложите на множители трёхчлен: $3x^2 + 9x - 30$ .

Решение:

1) Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $3(x^2 + 3x - 10)$ .

2) Найдём корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ : $x_1 = -5$ , $x_2 = 2$ .

3) Запишем итоговое разложение: $3(x - (-5))(x - 2) = 3(x + 5)(x - 2)$ .

Ответ: $3(x + 5)(x - 2)$ .

Важный совет эксперта ОГЭ:

При разложении многочлена на множители в ОГЭ всегда первым делом проверяйте, можно ли вынести общий множитель за скобки! Это простейшее действие в разы упрощает вычисления.

Чек-лист готовности к ОГЭ по теме «Многочлены»

Чтобы быть уверенным в своих силах на экзамене, убедитесь, что вы освоили все необходимые навыки:

Базовые навыки (Часть 1)

• Выполнять действия: сложение, вычитание и умножение многочленов.

• Применять ФСУ: раскладывать разность квадратов и раскрывать квадраты суммы/разности.

• Выносить множитель: находить общий делитель в одночленах.

Продвинутые навыки (Часть 2)

• Способ группировки: раскладывать четырёхчлены в №20 ОГЭ.

• Квадратный трёхчлен: раскладывать на линейные множители $a(x-x_1)(x-x_2)$ для сокращения дробей.

• Находить корни: решать уравнения высших степеней методом разложения.

Тренажёры по многочленам в ОГЭ по математике на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Многочлены» из ОГЭ по математике. Все задания составлены на основе актуальных прототипов экзаменационных КИМ и открытого банка ФИПИ и удобным образом распределены по уровню сложности.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным пошаговым решением и объяснением, что позволяет не просто узнать правильный ответ, но и глубоко понять алгоритм выполнения. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, повышайте баллы и сдавайте ОГЭ на максимум вместе с нами

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы