19 задание ЕГЭ по математике база

Пошаговый разбор:

1) Разложим делитель 15 на множители: $15 = 3 \cdot 5$. Число обязано делиться на 5 и на 3 одновременно.

2) Шаг 1: Обеспечим делимость на 5.

Число должно оканчиваться на 0 или на 5. В исходном числе $26583542$ нулей нет, но есть цифры 5. Последняя цифра сейчас 2, перед ней 4. Значит, цифры 4 и 2 на конце нужно обязательно вычеркнуть!

После вычёркивания двух последних цифр число оканчивается на вторую пятёрку: $265835\dots$

Мы уже вычеркнули две цифры, осталось вычеркнуть ровно одну цифру.

3) Шаг 2: Обеспечим делимость на 3.

Сейчас перед нами цифры: $2, 6, 5, 8, 3, 5$.

Посчитаем их сумму: $2 + 6 + 5 + 8 + 3 + 5 = 29$.

Чтобы число делилось на 3, новая сумма цифр после удаления одной цифры должна делиться на 3.

Ближайшие числа, кратные 3 и меньшие 29: это 27, 24, 21.

• Если вычесть из 29 цифру 2, получим $29 - 2 = 27$ (делится на 3).

Вычеркнем первую двойку! Останутся цифры: $6, 5, 8, 3, 5$.

Число: $65835$.

Проверим: оканчивается на 5 (делится на 5), сумма цифр $6+5+8+3+5 = 27$ (делится на 3). Значит, $65835$ делится на 15.

• Если бы мы вычеркнули цифру 5 (первую или вторую), сумма стала бы $29 - 5 = 24$ (тоже делится на 3), что дало бы числа $26835$ или $26583$. Но $26583$ оканчивается на 3 и на 15 не делится, а $26835$ оканчивается на 5 и подходит!

Ответ: 65835 (или 26835).

Пошаговый разбор:

1) Обозначим остаток через $r$.

По правилу деления с остатком остаток строго меньше делителя: при делении на 5 остаток $r < 5$, а при делении на 16 остаток $r < 16$.

Так как остатки равны и ненулевые, возможные значения остатка: $r \in \{1, 2, 3, 4\}$.

2) Если число даёт одинаковый остаток $r$ при делении на 5 и на 16, то при вычитании $r$ число делится и на 5, и на 16.

Так как числа 5 и 16 взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно:

Общий вид такого числа:

3) Число $N$ трёхзначное (от 100 до 999). Переберём значения $80k$:

• $k = 2 \implies 80 \cdot 2 = 160$

• $k = 3 \implies 80 \cdot 3 = 240$

• $k = 4 \implies 80 \cdot 4 = 320$

• $k = 5 \implies 80 \cdot 5 = 400$

• $k = 6 \implies 80 \cdot 6 = 480$

4) Проверим условие по цифрам: «первая цифра равна сумме двух других» ($a = b + c$ для числа $\overline{abc}$):

• Возьмём базу $240$: первая цифра 2, сумма двух других $4 + r$. Но $4 + r \ge 5 > 2$ — не подходит.

• Возьмём базу $320$: первая цифра 3, сумма двух других $2 + r$.

Если положить остаток $r = 1$, получим число:

Проверяем: первая цифра равна $3$, две другие цифры $2$ и $1$.

Их сумма: $2 + 1 = 3$. Условие $3 = 2 + 1$ выполняется идеально!

Проверим остатки:

$321 = 5 \cdot 64 + 1$ (остаток 1).

$321 = 16 \cdot 20 + 1$ (остаток 1).

• Возьмём базу $480$: $N = 480 + r$. Если $r = 4$, $N = 484$ — не подходит.

• Возьмём базу $400$: $N = 400 + r \implies r = 4 \implies N = 404$. Первая цифра 4, сумма двух других $0 + 4 = 4$.

$404 = 5 \cdot 80 + 4$ (остаток 4).

$404 = 16 \cdot 25 + 4$ (остаток 4). Число $404$ тоже подходит!

Ответ: 321 (или 404).

Пошаговый разбор:

1) Число четырёхзначное и лежит в границах от 1500 до 2000. Значит, его первая цифра гарантированно равна 1: $\overline{1bcd}$.

2) Сумма всех четырёх цифр равна 21:

3) Разложим делитель 24 на взаимно простые множители: $24 = 3 \cdot 8$.

• Так как сумма цифр равна 21, а 21 делится на 3, то признак делимости на 3 выполняется автоматически для любых цифр с такой суммой!

• Число обязано делиться на 8. По признаку делимости на 8 число из трёх последних цифр $\overline{bcd}$ должно делиться на 8 (и обязательно оканчиваться на чётную цифру).

4) Так как число больше 1500, цифра сотен $b \ge 5$.

Переберём возможные значения $b$:

• Пусть сотни $b = 9$:

Тогда $c + d = 20 - 9 = 11$.

Цифра $d$ чётная. Возможные пары $(c; d)$: $(9; 2)$, $(7; 4)$, $(5; 6)$, $(3; 8)$.

Составим трёхзначные числа $\overline{9cd}$ и проверим их делимость на 8:

$992 : 8 = 124$ — делится нацело!

Проверяем исходное четырёхзначное число: 1992.

• $1500 < 1992 < 2000$ — верно.

• Сумма цифр: $1 + 9 + 9 + 2 = 21$ — верно.

• Делимость на 24: $1992 : 24 = 83$ — делится нацело!

• Проверим пару $(5; 6) \implies 956 : 8 = 119{,}5$ (нет).

• Проверим пару $(3; 8) \implies 938 : 8 = 117{,}25$ (нет).

• Проверим пару $(7; 4) \implies 974 : 8 = 121{,}75$ (нет).

• Пусть сотни $b = 7 \implies c + d = 13 \implies (5; 8) \implies 758 : 8$ (нет), $(7; 6) \implies 776 : 8 = 97$ (делится!).

Число 1776: сумма цифр $1 + 7 + 7 + 6 = 21$, $1776 : 24 = 74$. Число 1776 тоже подходит!

Ответ: 1992 (или 1776).

Пошаговый разбор:

1) Обозначим цифры числа: $a, b, c, d, e$.

Число чётное, значит его последняя цифра $e \in \{2, 4, 6, 8\}$ (ноль быть не может, иначе произведение всех цифр станет 0, а сумма пяти цифр натурального числа всегда больше 0).

2) Произведение пяти цифр растёт очень быстро при увеличении цифр. Чтобы произведение не превысило сумму, подавляющее большинство цифр обязано быть единицами (умножение на 1 не увеличивает произведение, но прибавляет 1 к сумме).

3) Пусть три цифры равны 1: $a = 1, b = 1, c = 1$.

Тогда оставшиеся цифры обозначим как $x$ и $y$ (одна из которых чётная):

Приравняем их:

4) Решим это уравнение в целых числах. Перенесём переменные в одну сторону:

Прибавим к обеим частям 1 для разложения на множители:

5) Разложим число 4 на два целых множителя:

• Вариант: $1 \cdot 4 = 4 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$, а $y - 1 = 4 \implies y = 5$.

Цифры числа: $1, 1, 1, 2, 5$.

Сумма: $1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 10$.

Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$.

Сумма равна произведению!

• Вариант: $2 \cdot 2 = 4 \implies x - 1 = 2 \implies x = 3$, $y - 1 = 2 \implies y = 3$.

Цифры: $1, 1, 1, 3, 3$. Сумма $9$, произведение $9$. Но здесь нет ни одной чётной цифры, число не сможет быть чётным.

6) Составим чётное число из цифр $1, 1, 1, 5, 2$.

Чтобы число было чётным, цифра 2 обязана стоять на последнем месте.

Получаем число: 11152 (или 11512, 15112, 51112).

Ответ: 11152.

Пошаговый разбор:

1) Пусть сумма трёх чисел равна $S$.

По условию $S$ делится на 10, значит её последняя цифра равна $0$.

При этом $S$ не делится на 20.

Вспомним: числа, кратные 20, оканчиваются на чётный десяток ($00, 20, 40, 60, 80$).

Значит, чтобы число делилось на 10, но не делилось на 20, оно должно оканчиваться на нечётный десяток: $10, 30, 50, 70, 90$!

2) Сумма трёх слагаемых формируется из однозначного числа $a$, двузначного $\overline{bc}$ и трёхзначного $\overline{def}$:

3) Последняя цифра суммы определяется суммой последних цифр трёх слагаемых: $a + c + f$.

Сумма $a + c + f$ должна оканчиваться на 0 (то есть быть равна 10 или 20).

Среди карточек $\{5, 5, 6, 7, 8, 9\}$ выберем три цифры с суммой, оканчивающейся на 0:

• Возьмём $5 + 6 + 9 = 20$.

Тогда три последние цифры — это $5, 6, 9$.

Сумма единиц равна $20$, то есть $0$ пишем в разряд единиц, а $2$ переносим в разряд десятков!

4) Оставшиеся три карточки для старших разрядов: $\{5, 7, 8\}$.

Определим разряд десятков: он равен сумме $b + e$ плюс 2 из переноса.

Нам необходимо, чтобы десяток был нечётным (чтобы не делилось на 20).

Возьмём в разряд десятков цифры $5$ и $8$:

Сумма десятков: $5 + 8 + 2 (\text{перенос}) = 15$. Пятёрка нечётная! Переносим 1 в разряд сотен.

Тогда оставшаяся карточка $7$ пойдёт в разряд сотен $d = 7$.

5) Составим числа:

Однозначное: $9$.

Двузначное: $56$.

Трёхзначное: $785$.

Сложим их:

Проверим полученное число 850:

• $850 : 10 = 85$ (делится на 10 нацело).

• $850 : 20 = 42{,}5$ (не делится на 20).

Все условия выполнены! В ответ записываем саму сумму — число 850.

Ответ: 850.