8 задание ЕГЭ по математике (базовый уровень): логический анализ утверждений

Задание 8 ЕГЭ по математике базового уровня входит в блок практических задач КИМ и приносит 1 первичный балл. Это классическая текстовая задача на математическую логику и анализ высказываний. Здесь не требуется выполнять сложные арифметические расчёты или решать уравнения: проверяется умение строго рассуждать, отличать необходимое условие от достаточного, оперировать кванторами («все», «каждый», «хотя бы один», «некоторые») и делать безошибочные выводы из предложенных исходных условий.

Типичная структура восьмого номера: дано краткое описание ситуации (например, о жильцах дома, школьниках в спортивных секциях, результатах экзамена или деревьях в саду) и предложен перечень из четырёх логических утверждений. Задача выпускника — определить, какие из утверждений логически следуют из условий (являются гарантированно верными), и выписать их номера в бланк ответов без пробелов и запятых.

На этой странице детально разобраны базовые законы математической логики, метод диаграмм Эйлера–Венна, алгоритм быстрого отсева ложных высказываний методом контрпримера и эталоны решений всех видов прототипов из открытого банка ФИПИ.

Отработать все прототипы восьмой линии помогут интерактивные тренажёры Задания 8 базового ЕГЭ по математике с подробными логическими пояснениями.

Фундаментальные правила математической логики для ЕГЭ

Чтобы не попадаться в ловушки бытовой интуиции, опирайтесь на три базовых логических закона:

1. Прямое и обратное следствие («Если $A$ , то $B$ ») ➡️

Если из факта $A$ следует факт $B$ , то обратное утверждение («Если $B$ , то $A$ ») НЕ всегда верно!

• Пример: «Если идёт сильный дождь ( $A$ ), то асфальт мокрый ( $B$ )» — верно. Но утверждение «Если асфальт мокрый ( $B$ ), то обязательно идёт дождь ( $A$ )» — ложно (асфальт могла полить поливальная машина).

• Закон контрапозиции: гарантированно верно только обратное отрицание: «Если асфальт сухой ( $\text{не } B$ ), то дождь точно не идёт ( $\text{не } A$ )».

2. Кванторы «Все» и «Хотя бы один» 🎯

• «Все / каждый» ( $\forall$ ): утверждение истинно только тогда, когда условие выполняется абсолютно для каждого объекта без исключения. Для его опровержения достаточно найти всего один контрпример.

• «Хотя бы один / существует» ( $\exists$ ): утверждение истинно, если есть как минимум один подходящий объект (один, два или даже все).

• Отрицание: отрицанием к слову «все» является не слово «никто», а «хотя бы один НЕ обладает этим свойством».

Место под иллюстрацию: наглядная схема логической импликации $A \implies B$ и контрапозиции $\neg B \implies \neg A$ с перечёркнутой ложной обратной связью $B \implies A$ .

Метод кругов Эйлера (диаграммы множеств)

Самый надёжный графический способ решения 8 задания — построение кругов (диаграмм) Эйлера. Каждое свойство или группу объектов изображают в виде круга на плоскости:

Тип связи

Взаимное расположение кругов

Логический вывод

Полное включение
(«Все $A$ являются $B$ »)

Круг $A$ целиком лежит внутри круга $B$ ( $A \subset B$ ).

Если объект входит в $A$ , он гарантированно входит в $B$ . Но объект из $B$ может лежать вне круга $A$ .

Пересечение множеств
(«Некоторые $A$ являются $B$ »)

Круги $A$ и $B$ частично накладываются друг на друга ( $A \cap B \neq \varnothing$ ).

Существуют объекты, обладающие обоими свойствами одновременно, но есть и те, что обладают только одним.

Непересекающиеся множества
(«Ни один $A$ не является $B$ »)

Круги $A$ и $B$ не имеют общих точек ( $A \cap B = \varnothing$ ).

Ни один объект не может одновременно принадлежать обоим множествам.

Место под иллюстрацию: три графические схемы кругов Эйлера — круг внутри круга, пересекающиеся круги и два изолированных круга с подписями множеств.

Метод контрпримера и скрытые ловушки формулировок

Главное правило 8 задания: утверждение считается верным ТОЛЬКО тогда, когда оно выполняется ВСЕГДА при любых допустимых условиях.

Мощный приём: Метод контрпримера

Если утверждение может нарушиться хотя бы в одном гипотетическом сценарии, не противоречащем условию, — оно сразу признаётся ЛОЖНЫМ. Не нужно доказывать ложность для всех случаев: достаточно придумать одну непротиворечивую ситуацию-опровержение.

Опасные слова-маркеры в формулировках утверждений: 💡

1. «Обязательно», «всегда», «каждый»: Если утверждение категорично заявляет «обязательно будет...», ищите контрпример. Очень часто такое высказывание оказывается ложным.

2. «Найдётся хотя бы один»: Чтобы опровергнуть такое утверждение, нужно доказать, что таких объектов вообще не может существовать.

3. «Не более» / «не менее»: «Не более 5» означает «меньше либо равно 5» ( $\le 5$ ). «Не менее 3» означает «больше либо равно 3» ( $\ge 3$ ). Не путайте строгие и нестрогие ограничения!

4. Запись ответа: В бланк ответов вносятся номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и разделителей в порядке возрастания (например, $14$ или $23$ ).

Пошаговый алгоритм решения Задания 8

При выполнении Задания 8 на экзамене придерживайтесь системного алгоритма:

Порядок действий:

Внимательно прочитайте условие и нарисуйте схему: изобразите множества в виде кругов Эйлера или составьте краткую цепочку связей со стрелками.

Проанализируйте каждое из 4 утверждений по отдельности:
• попытайтесь построить контрпример (ситуацию, где условие выполнено, а утверждение ложно);
• если контрпример построен $\implies$ вычёркивайте утверждение как ложное;
• если контрпример построить невозможно в силу правил логики $\implies$ утверждайте его как истинное.

Проверьте вопрос задачи: убедитесь, требуется ли указать номера верных утверждений (в подавляющем большинстве прототипов) или номера неверных.

Запишите цифры в бланк ответов № 1: запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания слитно, в виде двузначного числа (например, $13$ , $24$ или $14$ ).

Разбор типовых прототипов Задания 8 из банка ФИПИ

Рассмотрите подробные логические разборы ключевых прототипов 8 номера открытого банка ФИПИ.

Пример 1: Школьные секции и свойства («если... то»)

Задание: В школе все отличники посещают кружок по шахматам. Некоторые ученики, посещающие кружок по шахматам, занимаются плаванием. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если ученик — отличник, то он обязательно занимается плаванием.

2) Если ученик не посещает кружок по шахматам, то он не отличник.

3) Все ученики, которые посещают кружок по шахматам, — отличники.

4) Среди отличников школы могут быть те, кто занимается плаванием.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Место под иллюстрацию: диаграмма Эйлера: большой круг «Шахматисты», внутри него маленький круг «Отличники», и третий круг «Пловцы», пересекающий круг «Шахматисты» (и потенциально задевающий «Отличников»).

Подробный логический разбор:

1) Анализ условия:
• Множество «Отличники» ( $\text{О}$ ) целиком содержится во множестве «Шахматисты» ( $\text{Ш}$ ): $\text{О} \subset \text{Ш}$ .
• Множество «Шахматисты» частично пересекается с множеством «Пловцы» ( $\text{П}$ ): $\text{Ш} \cap \text{П} \neq \varnothing$ .

2) Проверка утверждения 1: «Если ученик — отличник, то он обязательно занимается плаванием».
Ложно. Отличник обязательно ходит на шахматы, но пловцами являются лишь некоторые шахматисты. Отличник вполне может не заниматься плаванием.

3) Проверка утверждения 2: «Если ученик не посещает кружок по шахматам, то он не отличник».
Верно. Это закон контрапозиции. Так как ВСЕ отличники входят в кружок шахмат, тот, кто вне кружка шахмат, никак не может быть отличником.

4) Проверка утверждения 3: «Все ученики, которые посещают кружок по шахматам, — отличники».
Ложно. Обратное утверждение неверно. В шахматный кружок могут ходить и хорошисты, и троечники.

5) Проверка утверждения 4: «Среди отличников школы могут быть те, кто занимается плаванием».
Верно. Условие не запрещает отличнику одновременно быть тем самым шахматистом, который ходит на плавание. Слово «могут быть» отражает принципиальную возможность пересечения множеств.

Верными являются утверждения под номерами 2 и 4.

Ответ: 24.

Пример 2: Неравенства и численные параметры (рост жильцов дома)

Задание: В доме живут жильцы разного возраста и роста. Известно, что рост любого жильца старше $20$ лет превышает $170\text{ см}$ , а рост любого жильца младше $12$ лет не превышает $150\text{ см}$ . Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если рост жильца дома равен $165\text{ см}$ , то ему точно меньше $20$ лет.

2) Если жильцу дома $25$ лет, то его рост может быть равен $168\text{ см}$ .

3) Если жильцу дома $10$ лет, то его рост не превышает $150\text{ см}$ .

4) Любой жилец дома ростом выше $175\text{ см}$ старше $20$ лет.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов и знаков препинания.

Подробный логический разбор:

1) Формализация условий задачи:
• Возраст $> 20$ лет $\implies$ Рост $> 170$ см.
• Возраст $< 12$ лет $\implies$ Рост $\le 150$ см.

2) Проверка утверждения 1: «Если рост жильца дома равен $165\text{ см}$ , то ему точно меньше $20$ лет».
Верно. Если бы жильцу было больше 20 лет, его рост строго превышал бы 170 см. Поскольку его рост $165 \le 170$ см, ему не может быть больше 20 лет (он $\le 20$ лет, то есть строго не старше 20).

3) Проверка утверждения 2: «Если жильцу дома $25$ лет, то его рост может быть равен $168\text{ см}$ ».
Ложно. Жильцу 25 лет ( $> 20$ ), значит, по условию его рост строго больше $170\text{ см}$ . Он не может иметь рост $168\text{ см}$ .

4) Проверка утверждения 3: «Если жильцу дома $10$ лет, то его рост не превышает $150\text{ см}$ ».
Верно. Ребёнку 10 лет ( $< 12$ ). По условию задачи рост любого жильца младше 12 лет не превышает $150\text{ см}$ . Утверждение в точности повторяет данное условие.

5) Проверка утверждения 4: «Любой жилец дома ростом выше $175\text{ см}$ старше $20$ лет».
Ложно. В условии сказано только, что старшие имеют высокий рост. Но высокий подросток (например, 16-летний юноша ростом $180\text{ см}$ ) вполне может жить в этом доме, условие этого не запрещает.

Верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 13.

Тренажёры по 8 заданию базового ЕГЭ по математике

Научиться моментально распутывать любые логические формулировки и гарантированно забирать свой балл за Задание 8 базового ЕГЭ по математике помогут интерактивные онлайн-тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит все актуальные прототипы заданий на анализ высказываний из открытого банка ФИПИ.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени, сразу подсвечивает ошибочно выбранные пункты и предоставляет подробный логический разбор с контрпримерами и диаграммами к каждому из четырёх утверждений.

Задача 1

Если то

Темы1

Логические задания на восстановление логической цепочкиВариант 1

Когда на улице идёт дождь, Саша всегда выходит из дома с зонтом. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если на улице нет дождя, Саша обязательно выйдет без зонта.
2) Если Саша вышел с зонтом, то на улице обязательно идёт дождь.
3) Если Саша вышел без зонта, значит, на улице нет дождя.
4) Если на улице пойдет сильный ливень, Саша возьмет зонт.

В поле ввода запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Неравенства и отрицание условий на числовых интервалах

Темы1

Вариант 1

В жилых домах, в которых больше 14 этажей, установлены электрические плиты, газовые плиты не устанавливаются. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если в доме больше 18 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме меньше 15 этажей.
3) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме больше 15 этажей.
4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не больше 14 этажей.

В поле ввода запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план