Логика в ЕГЭ по математике: системы, совокупности и множества

На этой странице представлен авторский систематизированный справочник по теме «Математическая логика в курсе алгебры и экзаменационных заданиях ЕГЭ». Команда методистов платформы Экзамео разработала этот материал без сложной институтской терминологии («конъюнкция», «дизъюнкция») и без схем из информатики. Здесь простым языком объясняется, как законы логики работают в реальных номерах ЕГЭ: от правильного выбора скобок в уравнениях и неравенствах до формул теории вероятностей и анализа текстовых утверждений в Базе.

В школьной программе логика связывает воедино самые разные темы. Ошибка в выборе скобки во второй части профильного экзамена способна полностью аннулировать решение уравнений или неравенств, а непонимание союзов «И» и «ИЛИ» приводит к неверным действиям в вероятностных задачах. На базовом уровне математическая логика проверяется отдельным самостоятельным заданием на анализ фактов и следствий.

Вся логика строится всего на двух союзах

Все логические операции школьной программы сводятся к двум базовым связкам:

• Связка «И» (Пересечение множеств $\cap$ ): требует одновременного выполнения условий. В алгебре это система (фигурная скобка $\{$ , пересечение штриховок, учёт ОДЗ). В теории вероятностей независимые события при союзе «И» перемножаются.

• Связка «ИЛИ» (Объединение множеств $\cup$ ): означает выполнение хотя бы одного из условий. В алгебре это совокупность (квадратная скобка $[$ , объединение решений). В теории вероятностей взаимоисключающие исходы при союзе «ИЛИ» складываются.

1. Логика в уравнениях и неравенствах: системы и совокупности

В алгебре логические связки кодируются двумя типами скобок. Выбор между ними зависит от того, ищем ли мы общую область или объединяем независимые ветки решений:

Система — фигурная скобка $\{$ (Союз «И») 🎯

Условия обязаны выполняться одновременно:

• Фиксация области допустимых значений (ОДЗ) вместе с найденными корнями.

• Двойные неравенства: $a < x \le b \iff \begin{cases} x > a \\ x \le b \end{cases}$ .

• Неравенство с модулем вида $|x| \le a$ : расстояние до начала отсчёта не превышает $a$ , то есть $\begin{cases} x \le a \\ x \ge -a \end{cases}$ .

На числовой оси мы ищем пересечение — область наложения всех штриховок.

Совокупность — квадратная скобка $[$ (Союз «ИЛИ») 🧺

Нам подходит хотя бы одно из условий (или оба сразу):

• Равенство произведения нулю: $A \cdot B = 0 \iff \left[ \begin{array}{l} A = 0 \\ B = 0 \end{array} \right.$ (при существовании обоих множителей).

• Запись двух разных корней квадратного уравнения: $\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array} \right.$ .

• Неравенство с модулем вида $|x| \ge a$ : расстояние до нуля не меньше $a$ , то есть $\left[ \begin{array}{l} x \ge a \\ x \le -a \end{array} \right.$ .

На числовой оси мы делаем объединение — забираем в ответ любые отмеченные участки.

Типичная связка системы и совокупности во второй части ЕГЭ:

Когда мы решаем дробно-рациональное выражение $\dfrac{A \cdot B}{C} = 0$ , числитель раскладывается в совокупность (достаточно зануления одного множителя), а знаменатель связывается с ней фигурной скобкой (системой), так как делить на ноль нельзя ни в коем случае:

\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} A = 0 \\ B = 0 \end{array} \right. \\ C \neq 0 \end{cases}

[ Место для иллюстрации: Числовая ось, на которой показано пересечение штриховок для фигурной скобки и объединение лучей для квадратной скобки ]

Посмотрим, как это логическое правило работает на практике в прототипах заданий профильного уровня:

Пример применения: Уравнение с ОДЗ и отбором корней

Задание: Найдите корни уравнения $\dfrac{(x^2 - 16)(x - 2)}{\sqrt{3 - x}} = 0$ .

Пошаговый разбор:

1) Зануление числителя — это выбор между множителями (союз «ИЛИ», совокупность), а условие существования корня в знаменателе строго обязательно (союз «И», система):

\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 - 16 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{array} \right. \\ 3 - x &gt; 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = 4 \\ x = -4 \\ x = 2 \end{array} \right. \\ x &lt; 3 \end{cases}

2) Ищем пересечение найденных значений с интервалом $x < 3$ :

• Значение $x = -4$ меньше трёх — подходит.

• Значение $x = 2$ меньше трёх — подходит.

• Значение $x = 4$ больше трёх — отбрасываем (при нём знаменатель не существует).

Ответ: $-4;\ 2$ .

2. Логика в теории вероятностей: правила сложения и умножения

Для безошибочного решения вероятностных задач достаточно перевести текст условия на язык союзов «И» и «ИЛИ». Логическая связка прямо указывает на необходимое арифметическое действие:

Связка

Действие

Формула

Характерные фразы в условии

Союз «И»
(Оба события вместе)

Умножение $(\cdot)$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
(для независимых событий)

• «Стрелок выстрелил дважды и оба раза попал»
• «Автоматы исправны и первый, и второй»

Союз «ИЛИ»
(Несовместные события)

Сложение $(+)$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• «Выпадет или двойка, или пятерка при одном броске кубика»
• События физически не могут совпасть по времени.

Союз «ИЛИ»
(Совместные события)

Сложение без дубля

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• «Кофе закончится хотя бы в одном из двух автоматов» (может закончиться в одном, а может и в обоих сразу).

[ Место для иллюстрации: Диаграмма Эйлера-Венна с пересекающимися кругами A и B, где зона их общего наложения вычитается при объединении ]

Посмотрим на реальном примере, как фраза «хотя бы один» переводится на язык базовых логических связок:

Пример применения: Расчёт вероятности через союз «И» и обратное событие

Задание: В торговом зале работают два независимых платежных терминала. Вероятность сбоя первого терминала в течение дня равна $0{,}1$ , а второго — $0{,}2$ . Какова вероятность того, что в течение дня исправно проработает хотя бы один терминал?

Пошаговый разбор:

1) «Исправен хотя бы один» означает: работает первый ИЛИ работает второй ИЛИ работают оба.

2) Намного быстрее вычислить вероятность противоположного события: сломались И первый, И второй аппарат одновременно.

3) Так как сбои независимы, союз «И» превращается в умножение:

P(\text{сломались оба}) = 0{,}1 \cdot 0{,}2 = 0{,}02

4) Полная сумма вероятностей взаимоисключающих исходов равна $1$ . Находим искомый ответ:

P = 1 - 0{,}02 = 0{,}98

Ответ: $0{,}98$ .

3. Анализ текстовых утверждений в Базовом ЕГЭ

В Базовом экзамене математическая логика проверяется текстовой задачей на выбор верных высказываний. В условии формулируется общее правило (например: «Каждый житель микрорайона, владеющий собакой, зарегистрирован в ветклинике»), из которого нужно отобрать строго следующие выводы.

Принцип логического вывода: «Если А, то В»

Если утверждение «При наличии свойства $A$ обязательно выполняется $B$ » истинно, из него строго следуют только два факта:

1) Прямое следствие: факт $A$ налицо $\implies$ факт $B$ тоже железно верен.
2) Закон инверсии (отрицания): признака $B$ нет $\implies$ значит, исходного признака $A$ гарантированно не было.

Главный капкан задачи: Попытка запустить стрелку в обратную сторону: «Раз выполняется $B$ , значит, было $A$ ». Это утверждение ложно. Наличие ветклиники не означает, что у человека непременно собака — у него может быть кошка или попугай.

[ Место для иллюстрации: Круги Эйлера — малый круг «Владельцы собак» целиком вложен в большой круг «Зарегистрированные в клинике» ]

Разберём на конкретном прототипе, как отсекать ложные варианты с помощью контрпримеров:

Пример применения: Логический отбор утверждений

Задание: В школьном шахматном клубе все участники младше 14 лет умеют решать двухходовки. Выберите утверждения, которые безусловно верны при указанном условии:

1. Если ученик умеет решать двухходовки, то ему обязательно меньше 14 лет.

2. Ученик шахматного клуба, который не умеет решать двухходовки, не может быть младше 14 лет.

3. В клубе не существует ни одного участника младше 14 лет, который не справился бы с двухходовкой.

4. Если участнику клуба исполнилось 15 лет, он гарантированно не умеет решать двухходовки.

Пошаговый разбор:

• Пункт 1: Ошибочен. Двухходовки могут решать и шестнадцатилетние гроссмейстеры. Обратное рассуждение не работает.

• Пункт 2: Верен. Закон отрицания: если бы ученик был младше 14, он обязан был бы уметь их решать. Раз не умеет — возраст строго от 14 лет и старше.

• Пункт 3: Верен. Полная перефразировка условия: все ребята младше 14 лет с такими задачами справляются, значит, исключений среди них нет.

• Пункт 4: Ошибочен. Условие ничего не запрещает шахматистам старшего возраста.

В ответ выписываем выбранные цифры подряд без разделителей.

Ответ: $23$ .

Сводный пошаговый алгоритм работы с логикой на экзамене

Чтобы избежать обидных потерь баллов в любых номерах с логической составляющей, придерживайтесь такой схемы:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

В алгебре — разделите поиск корней и условия ОДЗ: независимые корни произведения поместите в квадратную скобку $[$ , а ограничения знаменателей объедините с ними фигурной скобкой $\{$ .

В вероятностях — проговорите условие связками: формулируйте мысль словами. Требуется одновременность («и то, и другое») — ставьте умножение. Достаточно одного события («или то, или другое») — ставьте сложение.

Контролируйте совместность исходов: если события в связке «ИЛИ» способны произойти в один и тот же момент, обязательно вычтите вероятность их пересечения.

В текстовой логике — проверяйте тезис контрпримером: если гипотезу можно разрушить хотя бы одной реалистичной ситуацией, не спорящей с исходным правилом, такой вариант вычёркивается.

Тренажёры по логике и теории вероятностей на платформе Экзамео

На платформе Экзамео собрана база онлайн-тренажёров по разделу «Математическая логика: уравнения, вероятности и анализ утверждений». Интерактивные задания с пошаговой проверкой научат безошибочно расставлять алгебраические скобки во второй части профильного экзамена, уверенно комбинировать формулы теории вероятностей и за пару минут щёлкать текстовые логические задачи Базового уровня.

Переходите к интерактивным тренажёрам по математической логике на Экзамео. Практикуйтесь регулярно, отслеживайте прогресс в личном кабинете и набирайте максимальные баллы на ЕГЭ по математике!

Задача 1

Выбор оптимального варианта по таблицам тарифов и прейскуранту

Темы1

Курсы1

Практико-ориентированная экономическая задача на анализ табличных данных и вычисление процентов от величины (из открытого банка ФИПИ базового ЕГЭ по математике).Вариант 1

Музыкальный салон заключает договоры с производителями инструментов. В договорах указывается, сколько процентов от выручки поступает в доход салона.

Фирма-производитель

Процент от выручки, поступающий в доход салона

Примечания

«Орион»

Изделия стоимостью до 25 000 руб.

«Орион»

Изделия стоимостью свыше 25 000 руб.

«Сириус»

3,5%

Все изделия

«Вега»

6,5%

Все изделия

В прейскуранте приведены стоимости четырёх синтезаторов.

Фирма-производитель

Изделие

Стоимость (руб.)

«Орион»

Синтезатор «Аккорд»

18 500

«Орион»

Синтезатор «Гармония»

25 500

«Сириус»

Синтезатор «Мелодия»

23 000

«Вега»

Синтезатор «Темп»

20 000

Определите, от продажи какого синтезатора салон получит в доход наибольшую сумму. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого синтезатора.

Ваш ответ

Задача 2

Сравнение высоты объектов и проверка внешних условий

Темы1

Курсы1

Вариант 1

В парке стоят три фонарных столба: серый, белый и зелёный. Серый столб выше белого на 2 метра, но ниже зелёного на 1 метр. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

Любой столб, помимо указанных, который ниже серого, также ниже белого.
Серый столб выше зелёного столба.
Среди указанных столбов не найдётся двух одинаковой высоты.
Любой столб, помимо указанных, который ниже белого, также ниже серого.

В поле ввода запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Математическая логика для ЕГЭ простыми словами

Вся логика строится всего на двух союзах

1. Логика в уравнениях и неравенствах: системы и совокупности

2. Логика в теории вероятностей: правила сложения и умножения

3. Анализ текстовых утверждений в Базовом ЕГЭ

Сводный пошаговый алгоритм работы с логикой на экзамене

Популярные логические ошибки на экзамене

Тренажёры по логике и теории вероятностей на платформе Экзамео

Выбор оптимального варианта по таблицам тарифов и прейскуранту

Сравнение высоты объектов и проверка внешних условий

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше