6 задание ЕГЭ по профильной математике 2027: случайные величины и распределения

На данной странице разбираем 6 задание ЕГЭ по математике в новой версии 2027 года. Это задание связано со случайными величинами и проверяет умение находить их числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение, а также применять свойства ключевых законов распределения: равномерного, показательного (экспоненциального) и нормального (Гауссова) согласно новой спецификации ФИПИ.

На этой странице систематизирована вся необходимая теория для нового задания: определения, формулы числовых характеристик, свойства функций и плотностей распределения, а также геометрический и практический смысл каждого распределения с разобранными прототипами.

Отработать навыки решения задач нового типа можно в интерактивных тренажёрах Задания 6 ЕГЭ с подробными пошаговыми решениями.

Случайная величина в 6 задании ЕГЭ по математике

Случайная величина (СВ) — это числовая переменная, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из своих возможных значений с определённой вероятностью. Случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами ( $X$ , $Y$ , $\xi$ ), а их конкретные числовые значения — строчными ( $x_1$ , $x_2$ , $\dots$ ).

Всего выделяют две категории случайных величин, при чем согласно спецификации ФИПИ в 6 задании могут встречаться обе:

1. Дискретная случайная величина (ДСВ) 🎲

Принимает отдельные, изолированные числовые значения, которые можно пересчитать (конечное или счётное число значений).

• Примеры: число выпавших очков на игральном кубике ( $X \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ ), число бракованных деталей в партии, количество попаданий в мишень при 5 выстрелах.

2. Непрерывная случайная величина (НСВ) ⏱️

Принимает любые действительные значения из некоторого числового промежутка (интервала или всей числовой прямой).

• Примеры: время ожидания автобуса на остановке ( $T \in [0; 15]\text{ мин}$ ), погрешность измерительного прибора, срок безотказной работы лампы, рост выпускника.

Отличия в их расчете достаточно существенны, если дискретную случайную величину можно рассчитать по обыкновенным формулам суммы, то вот непрерывная случайная величина рассчитывается уже по формулам с интегралами.

Числовые характеристики случайных величин

Для описания поведения случайной величины используются два вида параметров: центр распределения (математическое ожидание) и степень разброса (дисперсия и стандартное отклонение).

Характеристика

Дискретная величина (ДСВ)

Непрерывная величина (НСВ)

Математическое ожидание ( $\mathbb{E}[X]$ или $M[X]$ )

(среднее ожидаемое значение)

\mathbb{E}[X] = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i p_i

Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на её вероятность.

\sum p_{i}=1

То есть суммарная вероятность всех величин составляет 1.

\mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx

Дисперсия ( $\mathbb{D}[X]$ или $\text{Var}(X)$ )

(мера рассеяния относительно центра)

$\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$

где $\mathbb{E}[X^2] = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$\mathbb{D}[X] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x - \mathbb{E}[X])^2 f(x)\,dx$

или $\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$

Стандартное отклонение ( $\sigma[X]$ )

$\sigma = \sqrt{\mathbb{D}[X]}$

Свойства математического ожидания и дисперсии 🎯

• Константа: $\mathbb{E}[C] = C$ , $\mathbb{D}[C] = 0$ .

• Линейность ожидания: $\mathbb{E}[aX + b] = a\mathbb{E}[X] + b$ , $\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$ .

• Свойства дисперсии: $\mathbb{D}[aX + b] = a^2 \mathbb{D}[X]$ . Для независимых величин: $\mathbb{D}[X \pm Y] = \mathbb{D}[X] + \mathbb{D}[Y]$ .

Функция распределения F(x) и плотность вероятности f(x)

Непрерывную случайную величину невозможно задать таблицей, поскольку вероятность попадания в одну точную точку равна нулю ( $P(X = x_0) = 0$ ). Для их описания используют функциональные методы.

Функция распределения $F(x)$ 📈

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, строго меньшее $x$ :

F(x) = P(X < x)

• Неубывающая: если $x_1 < x_2$ , то $F(x_1) \le F(x_2)$

• Пределы: $F(-\infty) = 0$ , $F(+\infty) = 1$

• Вероятность попадания в интервал:

P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)

Плотность вероятности $f(x)$ 📉

Производная от функции распределения:

f(x) = F'(x) если F(x $f(x) = F'(x) \iff F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$

• Условие нормировки (вся площадь равна $1$ ):

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1

• Вероятность как площадь под кривой:

P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx

Изучаемые законы распределения из спецификации

Согласно кодификатору ЕГЭ, в Задании 6 проверяются 3 непрерывных закона распределения:

Закон распределения

Плотность f(x) и функция F(x)

Параметры E[x] и D[x]

Геометрия и практический смысл

Равномерное $U[a; b]$

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & x \in [a; b] \\ 0, & x \notin [a; b] \end{cases}$

$F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}$

$\mathbb{E}[X] = \dfrac{a + b}{2}$

$\mathbb{D}[X] = \dfrac{(b - a)^2}{12}$

График $f(x)$ — прямоугольник. Вероятность равна отношению длин интервалов:

$P(c \le X \le d) = \dfrac{d - c}{b - a}$

(Время ожидания строго по расписанию).

Показательное (экспоненциальное) $\text{Exp}(\lambda)$

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$

$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$

$\mathbb{E}[X] = \dfrac{1}{\lambda}$

$\mathbb{D}[X] = \dfrac{1}{\lambda^2}$

$\sigma = \dfrac{1}{\lambda}$

Свойство отсутствия памяти. Описывает время до наступления редкого события (срок службы приборов, радиоактивный распад, время обслуживания клиента).

$P(X > t) = e^{-\lambda t}$

Нормальное (Гауссово) $N(\mu; \sigma^2)$

$f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

где $\mu$ — центр симметрии, $\sigma$ — масштаб разброса.

$\mathbb{E}[X] = \mu$

$\mathbb{D}[X] = \sigma^2$

$\sigma[X] = \sigma$

Колоколообразная кривая Гаусса. Симметрична относительно $\mu$ . Описывает большинство массовых природных явлений и погрешностей измерений.

Главное правило для нормального распределения: «Правило трёх сигм» 💡

Для нормальной величины $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ вероятности попадания в симметричные окрестности центра $\mu$ фиксированы:

1. $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx \mathbf{0{,}6827}$ (около $68{,}3\%$ всех значений попадают в диапазон $\pm 1\sigma$ ).

2. $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx \mathbf{0{,}9545}$ (около $95{,}4\%$ всех значений попадают в диапазон $\pm 2\sigma$ ).

3. $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx \mathbf{0{,}9973}$ (почти $99{,}7\%$ всех значений гарантированно лежат в пределах $\pm 3\sigma$ ).

Пошаговый алгоритм решения 6 задания 2027 года

При решении задач 6 линии ЕГЭ придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип случайной величины: если задана таблица с вероятностями — это ДСВ; если заданы интервалы, непрерывное время или график — это НСВ.

Идентифицируйте закон распределения: выделите параметры ( $a, b$ для равномерного; $\lambda$ для показательного; $\mu, \sigma$ для нормального).

Примените готовую формулу или геометрический смысл: найдите искомую вероятность через площадь под графиком/функцию распределения или вычислите числовую характеристику ( $\mathbb{E}[X]$ , $\mathbb{D}[X]$ ).

Разбор типовых задач Задания 6 из спецификации ЕГЭ

Рассмотрите решения характерных прототипов задач на различные типы распределений.

Пример 1: Математическое ожидание и дисперсия дискретной величины

Задание: Дискретная случайная величина $X$ задана законом распределения:

$X$

$1$

$3$

$5$

$P$

$0{,}2$

$0{,}5$

$p_3$

Найдите неизвестную вероятность $p_3$ , математическое ожидание $\mathbb{E}[X]$ и дисперсию $\mathbb{D}[X]$ .

Подробное решение:

1) По условию нормировки сумма всех вероятностей равна $1$ :

0{,}2 + 0{,}5 + p_3 = 1 \implies p_3 = 1 - 0{,}7 = 0{,}3

2) Вычислим математическое ожидание $\mathbb{E}[X]$ :

\mathbb{E}[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}5 + 1{,}5 = 3{,}2

3) Вычислим математическое ожидание квадрата величины $\mathbb{E}[X^2]$ :

\mathbb{E}[X^2] = 1^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}5 + 5^2 \cdot 0{,}3 = 1 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 4{,}5 + 7{,}5 = 12{,}2

4) Найдем дисперсию по формуле $\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$ :

\mathbb{D}[X] = 12{,}2 - (3{,}2)^2 = 12{,}2 - 10{,}24 = 1{,}96

Ответ: $p_3 = 0{,}3$ ; $\mathbb{E}[X] = 3{,}2$ ; $\mathbb{D}[X] = 1{,}96$ .

Пример 2: Нормальное распределение и правило сигм

Задание: Масса пакета муки, расфасованного на автоматической линии, является нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием $\mu = 1000\text{ г}$ и стандартным отклонением $\sigma = 10\text{ г}$ . Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакет имеет массу от $990\text{ г}$ до $1020\text{ г}$ .

Подробное решение:

1) Выразим границы интервала через параметры $\mu$ и $\sigma$ :
• Левая граница: $990 = 1000 - 10 = \mu - 1\sigma$ .
• Правая граница: $1020 = 1000 + 2 \cdot 10 = \mu + 2\sigma$ .

2) Разобьем искомый интервал $[\mu - 1\sigma; \mu + 2\sigma]$ на две части относительно центра симметрии $\mu$ :

P(990 \le X \le 1020) = P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu) + P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma)

3) Из свойств симметрии кривой Гаусса и правила сигм:
• Диапазон $[\mu - 1\sigma; \mu + 1\sigma]$ имеет вероятность $0{,}6827$ , значит половина диапазона:

P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu) = \dfrac{0{,}6827}{2} \approx 0{,}34135

• Диапазон $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]$ имеет вероятность $0{,}9545$ , значит половина диапазона:

P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \dfrac{0{,}9545}{2} \approx 0{,}47725

4) Сложим вероятности:

P = 0{,}34135 + 0{,}47725 = 0{,}8186 \approx 0{,}82

Ответ: $0{,}82$ (или $0{,}819$ ).

Пример 3: Равномерное распределение и время ожидания

Задание: Автобусы прибывают на остановку строго каждые 20 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что время ожидания автобуса составит от 4 до 15 минут.

Подробное решение:

1) Время ожидания $T$ распределено равномерно на отрезке $[0; 20]$ , то есть $a = 0$ , $b = 20$ .

2) Плотность вероятности постоянна на этом отрезке: $f(t) = \dfrac{1}{b - a} = \dfrac{1}{20 - 0} = \dfrac{1}{20}$ .

3) Вероятность попадания в интервал $[4; 15]$ равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего интервала:

P(4 \le T \le 15) = \dfrac{15 - 4}{20 - 0} = \dfrac{11}{20} = 0{,}55

Ответ: $0{,}55$ .

Тренажёры по Заданию 6 ЕГЭ на Экзамео

Ниже собраны тренажеры по новому формату 6 задания ЕГЭ по математике 2027 года, составленные на основе демоверсии и информации из спецификации. По мере наполнения банка заданий ФИПИ мы будем добавлять новые тренажеры, чтобы вы могли подготовиться к экзамену. Для каждого задания вы найдете подробное решение с полноценным объяснением.

Задача 1

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Темы1

Новые прототипы заданий из ЕГЭ по математике 2027 годаВариант 1

Страховая компания заключила 1 000 договоров. Выплаты по страховым случаям за год распределились следующим образом.

Размер выплаты (в рублях)502001 0005 00020 000Число договоров8020811

Найдите математическое ожидание величины «выплата на один договор». Ответ дайте в рублях.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Случайная величина в 6 задании ЕГЭ по математике

Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения F(x) и плотность вероятности f(x)

Изучаемые законы распределения из спецификации

Пошаговый алгоритм решения 6 задания 2027 года

Разбор типовых задач Задания 6 из спецификации ЕГЭ

Тренажёры по Заданию 6 ЕГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании