Задание 4 ОГЭ по математике: формулы, разбор всех видов задач и тренажёр

Задание 4 в ОГЭ по математике подводит итог подготовительной части практико-ориентированного блока (номера 1–5) перед финальной комплексной задачей под номером 5. Если в первых трёх заданиях школьники сопоставляли объекты, находили отдельные параметры и считали базовые геометрические величины, то в четвёртом номере требуется выполнить полноценный составной прикладной расчёт. Здесь проверяются умение рассчитывать время движения по разным типам дорог с переводом часов в минуты, находить процентное превышение одной площади над другой, вычислять стоимость товара с учётом скидки, определять габариты листа А0 через формулу подобия или находить итоговый диаметр заводского колеса.

Главная особенность четвёртого номера — повышенная концентрация на единицах измерения и многошаговость. Например, скорость движения в условии задана в километрах в час, а ответ требуется выразить строго в минутах; размеры шины даны в миллиметрах и дюймах, а итоговый диаметр нужен в миллиметрах. Ниже подробно разобраны ключевые отличия четвёртого номера от второго и третьего, математические формулы, пошаговые эталоны решений всех 6 существующих типов четвёртого задания из банка ФИПИ и открыт доступ к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной проверкой ответов.

[Место для иллюстрации: Обзор формул четвёртого задания ОГЭ: расчёт времени t = s/v с переводом в минуты, процентное сравнение площадей и формула диаметра колеса D = d + 2H]

Ключевая суть четвёртого задания ОГЭ

Суть задания: составные вычисления, проценты и перевод времени! Четвёртое задание объединяет алгебраические пропорции и планиметрию: здесь необходимо разбить маршрут или расчёт на логические этапы и выполнить промежуточные преобразования величин.

• Расчёт времени в пути ( $t = \dfrac{s}{v}$ ): если маршрут состоит из шоссе и грунтовой дороги, время рассчитывается отдельно для каждого отрезка со своей скоростью, а затем суммируется с переводом долей часа в минуты ( $\text{мин} = \text{ч} \cdot 60$ ).

• База для расчёта процентов: во фразе «на сколько процентов величина $A$ больше величины $B$ » базой сравнения ( $100\%$ ) всегда выступает величина $B$ (то, с чем сравнивают): $P = \dfrac{A - B}{B} \cdot 100\%$ .

• Формула диаметра заводского колеса: $D = d + 2H$ , где дюймы диаметра диска $d$ переводятся в миллиметры ( $1\text{ дюйм} = 25{,}4\text{ мм}$ ), а высота боковины $H$ вычисляется в миллиметрах через ширину шины.

Чем 4 задание отличается от 2 и 3 заданий: ключевые особенности

Если сопоставить все задачи блока с 1 по 5, четвёртый номер представляет собой качественный скачок в сложности вычислений. Вот четыре главных отличия:

Разделение пути на участки

Во 2 и 3 заданиях требовалось найти расстояние по одной прямой или по одной теореме Пифагора. В 4 задании на плане местности маршрут комбинированный: часть пути проходит по шоссе с высокой скоростью (например, $50\text{ км/ч}$ ), а часть — по грунтовой дороге с меньшей скоростью ( $30\text{ км/ч}$ ). Считать среднюю скорость нельзя: время каждого участка находится строго отдельно.

Перевод часов в минуты

В задачах на движение скорость дана в $\text{км/ч}$ , поэтому деление расстояния на скорость даёт время в часах (часто в виде обыкновенной дроби, например $\dfrac{5}{6}\text{ ч}$ ). В 4 задании ответ требуют дать в минутах. Необходимо уметь безошибочно умножать полученные дроби на 60: $\dfrac{5}{6} \cdot 60 = 50\text{ минут}$ .

Процентные отношения и скидки

В 4 задании появляются проценты: вычисление цены печи после скидки ( $10\%$ ) или процентное сравнение площадей комнат (на сколько процентов спальня больше лоджии). Здесь важно не перепутать базу для сравнения в знаменателе дроби.

Итоговый диаметр колеса

Если в задании 2 искали только высоту боковины $H$ , а в задании 3 сравнивали разность, то в 4 номере часто требуется рассчитать полный диаметр заводского колеса $D = d + 2H$ , аккуратно сложив диаметр диска в миллиметрах и удвоенную боковину.

Разбор всех типов четвёртого задания ОГЭ по математике

Ниже приведены подробные решения всех разновидностей четвёртого задания из экзаменационных вариантов с формулами, графическими схемами и поэтапными вычислениями.

Планы местности: вычисление времени движения в минутах

Условие сюжета: Таня с дедушкой собираются доехать из Вересниково (1) в Дружбино (7) по маршруту мимо пруда через деревню Кузнецово (6). По шоссе автомобиль едет со скоростью $50\text{ км/ч}$ , а по просёлочным дорогам — со скоростью $30\text{ км/ч}$ . Из текста и предыдущих задач известны расстояния:

• От Вересниково (1) до Андреевки (4) по шоссе: $20\text{ км}$ .
• От Андреевки (4) до Кузнецово (6) по шоссе: $15\text{ км}$ .
• От Кузнецово (6) до Дружбино (7) по шоссе: $6\text{ км}$ .

[Место для иллюстрации: Схема маршрута Вересниково — Кузнецово — Дружбино с просёлочной дорогой (гипотенуза 25 км) и участком шоссе 6 км]

Задание 4: Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Вересниково в Дружбино, если поедут мимо пруда через Кузнецово?

Пошаговое решение:

1) Найдём длину просёлочной дороги от Вересниково до Кузнецово:
Деревни Вересниково (1), Андреевка (4) и Кузнецово (6) образуют прямоугольный треугольник с катетами $20\text{ км}$ и $15\text{ км}$ . Дорога мимо пруда — это его гипотенуза:

s_1 = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ км}

2) Вычислим время движения по просёлочной дороге:
Скорость по грунтовке равна $v_1 = 30\text{ км/ч}$ . Находим время в часах:

t_1 = \dfrac{s_1}{v_1} = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}\text{ часа}

Переведём время первого участка в минуты:

t_1 = \dfrac{5}{6} \cdot 60 = 50\text{ минут}

3) Вычислим время движения по шоссе от Кузнецово до Дружбино:
Расстояние по шоссе составляет $s_2 = 6\text{ км}$ , а скорость равна $v_2 = 50\text{ км/ч}$ :

t_2 = \dfrac{s_2}{v_2} = \dfrac{6}{50} = 0{,}12\text{ часа}

Переведём время второго участка в минуты:

t_2 = 0{,}12 \cdot 60 = 7{,}2\text{ минуты}

4) Найдём суммарное время в пути:

t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = 50 + 7{,}2 = 57{,}2\text{ минуты}

Ответ: 57,2.

Автомобильные шины: диаметр колеса, выходящего с завода

Условие сюжета: Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки $185/60\text{ R}15$ . Диаметр колеса $D$ состоит из диаметра диска $d$ и двух высот боковины $H$ ( $D = d + 2H$ ). В одном дюйме содержится $25{,}4\text{ мм}$ .

[Место для иллюстрации: Чертёж заводского колеса 185/60 R15 с разложением диаметра на диск 381 мм и две боковины по 111 мм]

Задание 4: Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Пошаговое решение:

1) Найдём диаметр металлического диска $d$ в миллиметрах:
Число после буквы R равно $15$ дюймам. Умножаем на $25{,}4$ :

d = 15 \cdot 25{,}4 = 381\text{ мм}

2) Найдём высоту боковины шины $H$ :
Ширина шины $B = 185\text{ мм}$ , второе число маркировки показывает $60\%$ :

H = 185 \cdot 0{,}60 = 111\text{ мм}

3) Вычислим общий диаметр заводского колеса:

D = d + 2H = 381 + 2 \cdot 111 = 381 + 222 = 603\text{ мм}

Ответ: 603.

Листы бумаги: нахождение ширины листа формата А0 с округлением

Условие сюжета: Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата бумаги одинаково, поэтому все листы подобны. Из первого задания известны размеры листа формата А2: длина равна $594\text{ мм}$ , ширина равна $420\text{ мм}$ . При разрезании листа пополам длина нового формата становится шириной предыдущего.

[Место для иллюстрации: Схема перехода от размеров формата А2 к А1 и А0 с сохранением пропорции сторон]

Задание 4: Найдите ширину листа бумаги формата А0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Пошаговое решение:

1) Установим связь между форматами:
• Длина листа А2 ( $594\text{ мм}$ ) равна ширине листа А1.
• Длина листа А1 равна ширине листа А0.
Значит, чтобы найти ширину А0, нам достаточно найти длину листа формата А1.

2) Найдём отношение сторон листа бумаги:
Для формата А2 отношение длины к ширине равно:

k = \dfrac{594}{420} = \dfrac{297}{210} \approx 1{,}4142 \quad (\approx \sqrt{2})

3) Вычислим длину листа А1 (ширину А0):
Так как ширина листа А1 равна $594\text{ мм}$ , умножаем её на коэффициент пропорции:

x = 594 \cdot \dfrac{297}{210} = 594 \cdot 1{,}41428... \approx 840{,}08\text{ мм}

4) Округлим до ближайшего числа, кратного 10:
Число $840{,}08$ оканчивается на ноль при округлении до десятков: $840$ .

Ответ: 840.

Планы дачных участков: расстояние между объектами по прямой

Условие сюжета: На плане дачного участка сторона каждой клетки равна $2\text{ м}$ . В первом задании определено, что жилой дом обозначен цифрой 7, а гараж — цифрой 2.

[Место для иллюстрации: План участка с прямой линией между ближайшими углами жилого дома и гаража длиной ровно 3 клетки]

Задание 4: Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Пошаговое решение:

1) Находим на плане жилой дом (7) и гараж (2).

2) Определяем две точки на контурах этих построек, которые находятся ближе всего друг к другу.

3) Соединяем эти точки прямой линией: на чертеже отрезок идёт строго по горизонтальной линии сетки и составляет ровно 3 клетки.

4) Так как сторона одной клетки плана равна $2\text{ м}$ , умножаем количество клеток на длину клетки:

s = 3 \cdot 2\text{ м} = 6\text{ метров}

Ответ: 6.

Печи для бани: расчёт стоимости со скидкой в процентах

Условие сюжета: В таблице приведены характеристики трёх печей для бани:

Номер печи

Тип

Объём помещения (м³)

Масса (кг)

Стоимость (руб.)

дровяная

8–12

18 000

дровяная

12–22

19 500

электрическая

10–25,5

15 000

Задание 4: На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Пошаговое решение:

1) Находим в таблице печь с массой $40\text{ кг}$ : это дровяная печь под номером 1, её начальная цена составляет $18\,000\text{ руб.}$

2) Находим величину скидки в $10\%$ :

\text{Скидка} = 18\,000 \cdot 0{,}10 = 1800\text{ рублей}

3) Вычисляем новую стоимость печи:

S_{\text{нов}} = 18\,000 - 1800 = 16\,200\text{ рублей}

(Быстрый способ: так как скидка равна $10\%$ , печь теперь стоит $90\%$ от исходной цены: $18\,000 \cdot 0{,}9 = 16\,200\text{ руб.}$ ).

Ответ: 16200.

Планы квартир: процентное отношение площадей комнат

Условие сюжета: На плане двухкомнатной квартиры сторона одной клетки равна $40\text{ см}$ . В первом задании определено, что спальня обозначена цифрой 4, а застеклённая лоджия — цифрой 8.

[Место для иллюстрации: Сравнение площади спальни (180 клеток) и лоджии (60 клеток) на плане квартиры]

Задание 4: На сколько процентов площадь спальни больше площади застеклённой лоджии?

Пошаговое решение:

1) Вычислим площади помещений в клетках:
Так как мы сравниваем относительную величину (проценты), переводить размеры в квадратные метры необязательно — достаточно сосчитать число клеток:
• Лоджия (8): прямоугольник $5 \times 12 = 60\text{ клеток}$ .
• Спальня (4): прямоугольник $12 \times 15 = 180\text{ клеток}$ .

2) Найдём абсолютную разницу площадей:

\Delta S = 180 - 60 = 120\text{ клеток}

3) Определим процентное превышение:
В вопросе спрашивается: «на сколько процентов больше площади лоджии». Значит, базой сравнения ( $100\%$ ) выступает площадь лоджии ( $60\text{ клеток}$ ):

P = \dfrac{\Delta S}{S_{\text{лоджии}}} \cdot 100\% = \dfrac{120}{60} \cdot 100\% = 2 \cdot 100\% = 200\%

Ответ: 200.

Типичные ошибки при выполнении четвёртого задания ОГЭ

При решении четвёртого задания школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Забытый перевод часов в минуты

В задаче на расчёт времени находят сумму $\dfrac{5}{6} + 0{,}12$ часа и пытаются внести полученную дробь в бланк ответов. Всегда внимательно перечитывайте последнее предложение вопроса: ответ требуется выразить в минутах, поэтому часы необходимо умножать на 60!

Неверный знаменатель при расчёте процентов

При вопросе «на сколько процентов спальня больше лоджии» делят разницу 120 на спальню (180), получая $\dfrac{120}{180} \cdot 100\% = 66{,}7\%$ . Это грубая ошибка: делить нужно строго на то число, с чем сравнивают (на лоджию, то есть на 60). Правильный ответ — $200\%$ .

Потеря масштаба при нахождении расстояния

Посчитав по плану дачного участка 3 клетки между домом и гаражом, число 3 сразу переносят в бланк ответов. Не забывайте умножать клетки на цену деления: сторона клетки равна $2\text{ м}$ , поэтому истинное расстояние составляет $3 \cdot 2 = 6\text{ метров}$ .

Взята цена не той печи из таблицы

В задаче со скидкой на печь массой 40 кг по ошибке берут стоимость второй дровяной печи ( $19\,500\text{ руб.}$ ) или электрической. Перед вычислением скидки обязательно перепроверьте строку таблицы: масса 40 кг соответствует только печи №1 за $18\,000\text{ руб.}$

Задания 4 из ОГЭ по математике с проверкой ответов

Задания четвёртого номера по всем экзаменационным темам (расчёт времени поездки в минутах по комбинированным маршрутам, нахождение диаметра заводского колеса, определение ширины листа бумаги А0, вычисление расстояний между постройками, расчёт скидок и процентное сравнение площадей комнат) собраны в интерактивном тренажёре Экзамео. Тренируйтесь выполнять многошаговые вычисления онлайн, проверяйте свои ответы за секунду и доводите решение блока 1–5 до автоматизма!

Задача 1

Задания с шинами

Темы1

Вариант 1

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)

Диаметр 16″

Диаметр 17″

Диаметр 18″

Диаметр 19″

195

195/70

195/65

—

205

205/65

205/60

205/55

—

215

215/60

215/55

215/45; 215/50

215/45

225

—

225/50

225/45

225/40

235

—

235/60

235/55

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Чем 4 задание отличается от 2 и 3 заданий: ключевые особенности

Разбор всех типов четвёртого задания ОГЭ по математике

Типичные ошибки при выполнении четвёртого задания ОГЭ

Задания 4 из ОГЭ по математике с проверкой ответов

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании