Задания 1-5 ОГЭ по математике: разбор всех видов задач, решения и тренажёры

Первый блок в экзаменационном киме — это 1-5 задания ОГЭ по математике, представляющие собой комплекс практико-ориентированных задач. Девятиклассникам предлагается единый прикладной сюжет (исходный текст, масштабная схема или таблица данных), на основе которого строится цепочка последовательных вопросов. Знание того, какие бывают типы заданий 1-5 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ, позволяет гарантированно забрать 5 первичных баллов в самом начале экзамена.

На этой странице представлен исчерпывающий разбор заданий 1-5 из ОГЭ по математике: анализ исходных текстов, ключевые расчётные формулы, пошаговые решения официальных прототипов (шины, дороги и планы местности, форматы бумаги, участки, печи, квартиры) и переход к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео для отработки каждого сюжета.

Актуальные сюжеты 1-5 задач ОГЭ по математике

В открытом банке заданий ФИПИ представлены следующие прикладные темы:

• Автомобильные шины: расшифровка заводской маркировки, вычисление радиуса диска, высоты боковины, общего диаметра колеса и изменения пробега при одном обороте.

• Планы местности с дорогами: определение деревень по описанию маршрутов, вычисление расстояний по шоссе и просёлочным дорогам через теорему Пифагора, время в пути и расход топлива.

• Листы бумаги (форматы от А0 до А6): соотношение сторон, площади подобных прямоугольников, масса пачки бумаги и пропорции.

• Планы дачных участков: распознавание объектов по номерам, расчёт упаковок плитки для дорожек и площадок, периметр фундамента и окупаемость газового отопления.

• Печи для бани: объём парного отделения, экономия при покупке дровяной печи вместо электрической с учётом кабеля, процентные скидки и радиус закругления арки кожуха.

• Планы квартир: сопоставление комнат, расчёт упаковок паркетной доски, вычисление площади санузла в квадратных метрах, сравнение площадей в процентах и подбор бытовой техники по критериям.

• Тарифы мобильной связи: графики абонентской платы, перерасход минут разговора и гигабайтов мобильного интернета по месяцам.

Основные методы решения заданий с текстом в ОГЭ по математике

Главная специфика блока 1-5 заключается в том, что все вычисления строго опираются на приведённый текст и таблицы. В них нет скрытых абстрактных правил — достаточно внимательно проанализировать условие и текст

Принцип опоры на текст

Вас никогда не будут спрашивать о том, чего нет в тексте или таблице. Если суть вопроса непонятна — перечитайте вводный текст. Все расчётные формулы (высота боковины шины, правило деления листов бумаги, габариты бани) уже сформулированы составителями.

Связанность вычислений

Задания блока решаются строго по порядку. Результаты вычислений из заданий 1 и 2 (стороны комнат, радиус колеса, расстояния между деревнями) регулярно становятся исходными данными для заданий 3, 4 и 5. Фиксируйте промежуточные расчёты на черновике.

Пошаговый алгоритм выполнения заданий 1-5

Чтобы избежать обидных ошибок при решении, следуйте проверенному алгоритму:

Чтение и выделение ключевых чисел:
Прочитайте вводный текст и выделите карандашом размер стороны клетки (например, 2 м на участке или 40 см в квартире), заводскую маркировку шин, скорость на шоссе и просёлочной дороге, габариты помещений.

Разметка объектов (Задание №1):
Сопоставьте номера на плане с названиями населённых пунктов, комнат или хозяйственных построек. Подпишите все объекты прямо на чертеже кима.

Метрические расчёты (Задания №2–3):
Найдите площади, периметры, расстояния по теореме Пифагора или количество плитки. Обязательно переводите размеры клеток в реальные метры или сантиметры перед расчётом площадей.

Экономика и проценты (Задания №4–5):
Выполните финальные прикладные расчёты: время пути, расход бензина, разницу в процентах, выбор наиболее выгодного тарифа или модели техники с учётом доставки и монтажа.

Разбор всех видов задач 1-5 из ОГЭ по математике

Ниже приведены подробные пошаговые решения типовых вариантов практико-ориентированных заданий из банка ФИПИ с полными математическими выкладками:

1. Разбор заданий с шинами

Текст к заданиям 1-5 про шины:

Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15. Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер $B$ ). Второе число — высота боковины шины $H$ в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину $B = 195\text{ мм}$ и высоту боковины $H = 195 \cdot 0{,}65 = 126{,}75\text{ мм}$ .

Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.

За буквой R следует диаметр диска $d$ в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса $D$ можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины: $D = d + 2H$ .

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R15.

Задание №1

Условие: Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)

14 дюймов

15 дюймов

16 дюймов

17 дюймов

175

175/70

175/65

—

185

185/70

185/60

185/55

—

195

195/65

195/60

195/50; 195/55

195/45

205

205/60

205/55

205/50

205/45

215

—

215/45

215/40

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Внимательно изучаем правила маркировки шин: первое число — ширина $B$ в миллиметрах.
2) Находим в таблице столбец «16 дюймов».
3) Смотрим строки, где для 16 дюймов разрешена установка: доступны варианты с шириной 185 мм (185/55), 195 мм (195/50 и 195/55), 205 мм (205/50) и 215 мм (215/45). Для ширины 175 стоит прочерк.
4) Из доступных вариантов наименьшая ширина равна 185 мм.

Ответ: 185.

Задание №2

Условие: Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?

Подробное пошаговое решение:
1) Из начального текста берём формулу зависимости высоты боковины $H$ от ширины $B$ :

\text{«второе число маркировки»} = 100 \cdot \dfrac{H}{B}

2) Для маркировки 205/55 R15 ширина шины $B = 205\text{ мм}$ , а второе число равно 55:

55 = 100 \cdot \dfrac{H}{205}

3) Выражаем высоту боковины $H$ :

H = \dfrac{55}{100} \cdot 205 = 205 \cdot 0{,}55 = 112{,}75\text{ мм}

Ответ: 112,75.

Задание №3

Условие: На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 205/45 R17?

Подробное пошаговое решение:
1) Диаметр любого колеса вычисляется по формуле:

D = d + 2H

2) Переведём диаметры металлических дисков из дюймов в миллиметры ( $1\text{ дюйм} = 25{,}4\text{ мм}$ ):

• Заводской диск (15 дюймов): $d_1 = 15 \cdot 25{,}4 = 381\text{ мм}$

• Новый диск (17 дюймов): $d_2 = 17 \cdot 25{,}4 = 431{,}8\text{ мм}$

3) Рассчитаем высоты боковин $H$ :

• Заводская шина 185/60 R15:

H_1=185\cdot0{,}60=111\text{ мм}

• Новая шина 205/45 R17:

H_2=205\cdot0{,}45=92{,}25\text{ мм}

4) Вычислим полные диаметры колёс:

D_1 = d_1 + 2H_1 = 381 + 2 \cdot 111 = 381 + 222 = 603\text{ мм}

D_2=d_2+2H_2=431{,}8+2\cdot92{,}25=431{,}8+184{,}5=616{,}3\text{ мм}

5) Находим разницу между диаметрами:

D_2 - D_1 = 616{,}3 - 603 = 13{,}3\text{ мм}

Ответ: 13,3.

Задание №4

Условие: Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Подробное пошаговое решение:

1) Завод производит легковые автомобили с шинами 185/60 R15.

2) Диаметр колеса равен сумме диаметра диска и двух высот боковины:

D = d + 2H

3) Диаметр диска:

d=15\cdot25{,}4=381\text{ мм}

4) Высота боковины:

H=185\cdot0{,}60=111\text{ мм}

5) Диаметр колеса:

D = 381 + 2 \cdot 111 = 381 + 222 = 603\text{ мм}

Ответ: 603.

Задание №5

Условие: На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 205/45 R17? Результат округлите до десятых.

Подробное пошаговое решение:

1) Один оборот колеса — это длина окружности колеса $L = \pi D$ .

2) Пробег за один оборот прямо пропорционален диаметру:

• Для заводского колеса: $L_1 = \pi \cdot D_1 = \pi \cdot 603$

• Для нового колеса: $L_2 = \pi \cdot D_2 = \pi \cdot 616{,}3$

3) Составляем пропорцию, принимая заводской пробег за 100%:

L_1{\longrightarrow} 100\%

L_2{\longrightarrow} x\%

x = \dfrac{L_2 \cdot 100}{L_1} = \dfrac{\pi \cdot 616{,}3 \cdot 100}{\pi \cdot 603} = \dfrac{61\,630}{603} \approx 102{,}2056\dots\%

4) Пробег увеличится на:

102{,}2\% - 100\% = 2{,}2\%

(Примечание: в вариантах ФИПИ, где на заводе устанавливается резина 175/70 R14 с $D_1 = 492\text{ мм}$ , а замена даёт $D_2 = 524{,}05\text{ мм}$ , соотношение $\dfrac{524{,}05 \cdot 100}{492} \approx 106{,}51\%$ даёт увеличение на 6,5%).

Ответ: 2,2 (или 6,5).

2. Разбор заданий с планами местности

Текст к заданиям 1-5 с планами местности и дорогами:

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Вересниково (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Дружбино.

Из Вересниково в Дружбино можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Андреевка, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Дружбино. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Кузнецово, где можно свернуть на шоссе до Дружбино. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Кирюхино, от Кирюхино до Кузнецово по просёлочной дороге мимо конюшни и от Кузнецово до Дружбино по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Никитино, по просёлочной дороге мимо конюшни от Никитино до Алмакаевки и по шоссе от Алмакаевки до Дружбино.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Вересниково до Кирюхино равно 12 км, от Кирюхино до Никитино — 4 км, от Никитино до Андреевки — 12 км, от Кузнецово до Андреевки — 15 км, от Андреевки до Алмакаевки — 9 км, а от Алмакаевки до Дружбино — 12 км.

Задание №1

Условие: Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Дружбино

Андреевка

Никитино

Алмакаевка

Подробное пошаговое решение:
1) Пунктирными линиями обозначены просёлочные дороги, широкой серой линией — шоссе.
2) В условии сказано: Вересниково обозначено цифрой 1.
3) Из 1 по просёлку мимо реки путь идёт в Дружбино. Смотрим на пунктир вдоль извилистой реки: он приводит в пункт 7. Значит, 7 — Дружбино.
4) Путь по шоссе от 1 с поворотом под прямым углом налево до Дружбино: поворот находится в пункте 4. Значит, 4 — Андреевка.
5) Из Вересниково (1) выходит второй просёлок мимо круглого пруда до Кузнецово. Пункт 6 — Кузнецово.
6) По шоссе между 1 и 4 находятся промежуточные деревни 2 и 3. Из пункта 3 просёлок мимо конюшни ведёт в Кузнецово (6), следовательно, 3 — Кирюхино.
7) Оставшаяся деревня на этой ветке шоссе под номером 2 — Никитино. От неё просёлок мимо конюшни ведёт в пункт 5 — Алмакаевку.
8) Получаем итоговое соответствие: Дружбино — 7, Андреевка — 4, Никитино — 2, Алмакаевка — 5.

Ответ: 7425.

Задание №2

Условие: Найдите расстояние от Вересниково до Никитино по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Нанесём все данные из условия расстояния на ветку шоссе между Вересниково (1) и Андреевкой (4):
• От Вересниково (1) до Кирюхино (3) = 12 км.
• От Кирюхино (3) до Никитино (2) = 4 км.
• От Никитино (2) до Андреевки (4) = 12 км.
2) Полная длина ветки шоссе 1–4 равна: $12 + 16 = 28\text{ км}$ (или при расположении Никитино между 1 и 3 отрезок равен $12 - 4 = 8\text{ км}$ ).
3) По схеме пункта 2 (Никитино) расположен между 1 и 3, расстояние от Вересниково до Никитино равно:

12 - 4 = 8\text{ км}

(Если порядок населённых пунктов 1 $\to$ 3 $\to$ 2, то расстояние равно $12 + 4 = 16\text{ км}$ ).

Ответ: 8 (или 16).

Задание №3

Условие: Найдите расстояние от Никитино до Алмакаевки по прямой. Ответ дайте в километрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Населённые пункты Никитино (2), Андреевка (4) и Алмакаевка (5) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в Андреевке.
2) Катет от Никитино до Андреевки по шоссе равен 12 км (дано в условии).
3) Катет от Андреевки до Алмакаевки по шоссе равен 9 км (дано в условии).
4) Просёлочная дорога от Никитино до Алмакаевки идёт по прямой и является гипотенузой. По теореме Пифагора:

S = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ км}

Ответ: 15.

Задание №4

Условие: Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Вересниково в Дружбино, если поедут мимо пруда через Кузнецово?

Подробное пошаговое решение:
1) Маршрут состоит из двух участков: просёлочной дороги от Вересниково (1) до Кузнецово (6) и шоссе от Кузнецово (6) до Дружбино (7).
2) Найдём длину просёлка 1–6. Деревни Вересниково (1), Андреевка (4) и Кузнецово (6) образуют прямоугольный треугольник:
• Катет от Вересниково до Андреевки: $12 + 8 = 20\text{ км}$
• Катет от Кузнецово до Андреевки: $15\text{ км}$
• Гипотенуза по теореме Пифагора:

S_1 = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ км}

3) Вычислим время движения по просёлку ( $v = 30\text{ км/ч}$ ):

t_1 = \dfrac{S_1}{v_1} = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}\text{ часа}

Переводим в минуты (умножаем на 60):

t_1 = \dfrac{5}{6} \cdot 60 = 50\text{ минут}

4) Найдём длину шоссе от Кузнецово (6) до Дружбино (7). Всё шоссе от Андреевки до Дружбино равно $9 + 12 = 21\text{ км}$ . От Андреевки до Кузнецово 15 км, значит:

S_2 = 21 - 15 = 6\text{ км}

5) Вычислим время движения по шоссе ( $v = 50\text{ км/ч}$ ):

t_2 = \dfrac{S_2}{v_2} = \dfrac{6}{50} = 0{,}12\text{ часа}

Переводим в минуты:

t_2 = 0{,}12 \cdot 60 = 7{,}2\text{ минут}

6) Общее время на весь путь:

t = 50 + 7{,}2 = 57{,}2\text{ минут}

Ответ: 57,2.

Задание №5

Условие: На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Вересниково до Дружбино через Андреевку и путь через Кирюхино и Кузнецово мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Подробное пошаговое решение:
1) Первый маршрут (Вересниково $\to$ Андреевка $\to$ Дружбино) проходит исключительно по шоссе:
$$S = 20 + 21 = 41\text{ км}$$
• Расход бензина на 1 км шоссе: $6{,}8 : 100 = 0{,}068\text{ л}$ .
• Общий расход бензина на первый маршрут:
$$V_1 = 0{,}068 \cdot 41 = 2{,}788\text{ литра}$$
2) Второй маршрут (Вересниково $\to$ Кирюхино $\to$ Кузнецово $\to$ Дружбино):
• Шоссейный участок 1: от Вересниково до Кирюхино = 12 км.
• Шоссейный участок 2: от Кузнецово до Дружбино = 6 км.
• Суммарный пробег по шоссе: $12 + 6 = 18\text{ км}$ .
• Расход бензина на шоссе во втором маршруте:
$$V_{\text{шоссе}} = 0{,}068 \cdot 18 = 1{,}224\text{ литра}$$
3) Рассчитаем длину просёлочной дороги от Кирюхино до Кузнецово. Пункты Кирюхино, Андреевка и Кузнецово образуют прямоугольный треугольник:
• Катет от Кирюхино до Андреевки: $20 - 12 = 8\text{ км}$ .
• Катет от Андреевки до Кузнецово: 15 км.
• Длина просёлка по теореме Пифагора:
$$S_{\text{прос}} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\text{ км}$$
4) Так как суммарный объём бензина на оба маршрута одинаков, находим расход топлива на просёлочный участок в 17 км:
$$V_{\text{прос}} = 2{,}788 - 1{,}224 = 1{,}564\text{ литра}$$
5) На 1 км просёлка расходуется:
$$1{,}564 : 17 = 0{,}092\text{ литра}$$
6) На 100 км просёлочной дороги расход составит:
$$0{,}092 \cdot 100 = 9{,}2\text{ литра}$$

Ответ: 9,2.

3. Разбор заданий с листами бумаги

Текст к заданиям 1-5 про листы бумаги:

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т. д.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А2, А3, А5 и А6:

Номер листа

Длина (мм)

Ширина (мм)

210

148

594

420

148

105

420

297

Задание №1

Условие: Для листов бумаги форматов А2, А3, А5 и А6 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

А2

А3

А5

А6

Подробное пошаговое решение:
1) Из правила деления листов следует: чем меньше цифра в названии формата, тем больше лист.
2) Упорядочим форматы по убыванию их площади: $\text{А}2 > \text{А}3 > \text{А}5 > \text{А}6$ .
3) Упорядочим длины листов из таблицы по убыванию:
• 594 мм (номер 2) — самый большой лист $\implies$ формат А2.
• 420 мм (номер 4) — следующий по размеру $\implies$ формат А3.
• 210 мм (номер 1) — средний по размеру $\implies$ формат А5.
• 148 мм (номер 3) — самый маленький лист $\implies$ формат А6.
4) Записываем последовательность номеров для форматов А2, А3, А5, А6: 2413.

Ответ: 2413.

Задание №2

Условие: Сколько листов формата А5 получится из одного листа формата А3?

Подробное пошаговое решение:
1) По условию каждый лист делится пополам с образованием двух листов следующего формата.
2) Из 1 листа формата А3 получается 2 листа формата А4.
3) Из каждого листа А4 получается по 2 листа формата А5.
4) Общее количество листов А5 равно:
$$N = 2 \cdot 2 = 4\text{ листа}$$

Ответ: 4.

Задание №3

Условие: Найдите площадь листа формата А3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Площадь листа А0 равна $1\text{ м}^2$ .
2) Найдём площадь листа А3 в квадратных метрах последовательным делением пополам:
• $A0 \to A1: \dfrac{1}{2} = 0{,}5\text{ м}^2$

• $A1 \to A2: \dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25\text{ м}^2$

• $A2 \to A3: \dfrac{0{,}25}{2} = 0{,}125\text{ м}^2$
3) Переведём квадратные метры в квадратные сантиметры ( $1\text{ м} = 100\text{ см}$ ):

1\text{ м}^2 = 100\text{ см} \cdot 100\text{ см} = 10\,000\text{ см}^2

4) Вычисляем площадь:

S = 0{,}125 \cdot 10\,000 = \dfrac{10\,000}{8} = 1250\text{ см}^2

Ответ: 1250.

Задание №4

Условие: Найдите ширину листа бумаги формата А0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Подробное пошаговое решение:

1) Из геометрических свойств серии А: длина меньшего формата равна ширине предыдущего большего формата. Длина формата А2 равна 594 мм, значит ширина формата А1 равна 594 мм.

2) Отношение большей стороны к меньшей стороне остаётся строго постоянным. Найдём это отношение по размерам листа А2 ( $594 \times 420\text{ мм}$ ):

\dfrac{\text{Длина}}{\text{Ширина}} = \dfrac{594}{420} = \dfrac{297}{210}

3) Вычислим длину формата А1, обозначив её за $x$ :

\dfrac{x}{594} = \dfrac{297}{210} \implies x = \dfrac{297}{210} \cdot 594 \approx 840{,}0857\text{ мм}

4) Длина листа А1 равна ширине листа А0 ( $840{,}0857\text{ мм}$ ).

5) Округляем результат до ближайшего целого числа, кратного 10 (делящегося на 10): 840 мм.

Ответ: 840.

Задание №5

Условие: Бумагу формата А5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Подробное пошаговое решение:
1) По таблице размеры листа А5 составляют 210 мм на 148 мм. Переведём стороны в метры ( $1\text{ м} = 1000\text{ мм}$ ):

• Длина: $210\text{ мм} = 0{,}21\text{ м}$

• Ширина: $148\text{ мм} = 0{,}148\text{ м}$

2) Площадь одного листа формата А5:

S_1 = 0{,}21 \cdot 0{,}148 = 0{,}03108\text{ м}^2

3) Суммарная площадь всей пачки из 500 листов:

S_{\text{пачки}} = 0{,}03108 \cdot 500 = 15{,}54\text{ м}^2

4) Масса 1 кв. м равна 80 граммам. Составляем пропорцию:

1\text{ м}^2 {\longrightarrow} 80\text{ г}

15{,}54\text{ м}^2 {\longrightarrow} x\text{ г}

x = 80 \cdot 15{,}54 = 1243{,}2\text{ грамма}

Ответ: 1243,2.

4. Разбор заданий с планами участков

Текст к заданиям 1-5 с планами участков:

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).

Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Условие: Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане: жилой дом, баня, гараж, теплица. Заполните таблицу, перенесите последовательность четырёх цифр в бланк ответов без пробелов и запятых.

жилой дом

баня

гараж

теплица

Подробное пошаговое решение:
1) Находим ворота на плане. Представляем вход на участок через ворота:

• Слева от ворот небольшое здание под цифрой 2 $\implies$ это гараж.

• Справа от ворот при входе здание под цифрой 1 $\implies$ это сарай.

2) Чуть дальше сарая стоит крупное здание под цифрой 7 $\implies$ это жилой дом.

3) Напротив жилого дома расположены деревья (яблоневые посадки под цифрой 3).

4) Вымощенная серыми квадратиками дорожка ведёт к зданию под цифрой 4 $\implies$ это баня.

5) Огород отмечен цифрой 6, внутри него расположено прямоугольное сооружение под цифрой 5 $\implies$ это теплица.

6) Заполняем таблицу цифрами: 7, 4, 2, 5.

Ответ: 7425.

Задание №2

Условие: Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Подробное пошаговое решение:

1) Подсчитываем количество тротуарных плиток $1 \times 1\text{ м}$ на плане:

• На всех садовых дорожках уложено 25 плиток.

• На въездной площадке между гаражом и сараем уложено 40 плиток.

2) Общее число необходимых плиток: $25 + 40 = 65\text{ штук}$

3) В одной упаковке содержится 10 плиток. Делим количество плиток на вместимость упаковки:

\dfrac{65}{10} = 6{,}5\text{ упаковок}

4) Если купить 6 упаковок (60 штук), не хватит 5 плиток. Следовательно, необходимо приобрести 7 упаковок.

Ответ: 7.

Задание №3

Условие: Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Подробное пошаговое решение:
1) По условию сторона одной клетки плана равна 2 м.
2) Подсчитаем длины всех внешних стен жилого дома в клетках по замкнутому контуру:

4 + 5 + 3 + 3 + 1 + 2 = 18\text{ клеток}

3) Каждая клетка имеет длину 2 метра. Умножаем количество клеток на длину стороны:

P = 18 \cdot 2 = 36\text{ метров}

Ответ: 36.

Задание №4

Условие: Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Находим на чертеже две точки жилого дома (7) и гаража (2), которые расположены ближе всего друг к другу.
2) Соединяем эти точки отрезком: отрезок проходит строго по горизонтальной линии сетки и составляет ровно 3 клетки.
3) Так как сторона клетки равна 2 м, вычисляем расстояние в метрах:

S = 3 \cdot 2 = 6\text{ метров}

Ответ: 6.

Задание №5

Условие: Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице:

Тип отопления

Нагреватель (котёл)

Прочее оборудование и монтаж

Средний расход / мощность

Стоимость ресурса

Газовое

20 000 руб.

15 370 руб.

1,6 куб. м/ч

4,9 руб./куб. м

Электрическое

15 000 руб.

14 000 руб.

4,9 кВт

4,2 руб./(кВт·ч)

Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Подробное пошаговое решение:

1) Рассчитаем общую стоимость покупки и установки каждого вида оборудования:

• Газовое отопление: $20\,000 + 15\,370 = 35\,370\text{ рублей}$

• Электрическое отопление: $15\,000 + 14\,000 = 29\,000\text{ рублей}$

• Разница в первоначальных затратах:

35\,370 - 29\,000 = 6370\text{ рублей}

2) Вычислим стоимость 1 часа непрерывной работы газового отопления:

1{,}6\text{ м}^3/\text{ч} \cdot 4{,}9\text{ руб./м}^3 = 7{,}84\text{ руб./ч}

3) Вычислим стоимость 1 часа непрерывной работы электрического отопления:

4{,}9\text{ кВт} \cdot 4{,}2\text{ руб./(кВт}\cdot\text{ч)} = 20{,}58\text{ руб./ч}

4) Найдём почасовую экономию при использовании газа:

20{,}58 - 7{,}84 = 12{,}74\text{ руб./ч}

5) Найдём количество часов, необходимое для покрытия разницы в 6370 рублей:

\dfrac{6370}{12{,}74} = 500\text{ часов}

Ответ: 500.

5. Разбор заданий с печками

Текст к заданиям 1-5 про печки:

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 4,2 м, ширина 2,5 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м.

Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей:

Номер печи

Тип

Объём помещения (куб. м)

Масса (кг)

Стоимость (руб.)

дровяная

8–12

18 000

дровяная

12–22

19 500

электрическая

10–25,5

15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 7500 руб.

Задание №1

Условие: Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов и запятых.

15 000 руб.

19 500 руб.

18 000 руб.

Подробное пошаговое решение:

1) Смотрим в столбец стоимостей исходной таблицы:

• Печь стоимостью 15 000 руб. — это электрическая модель под номером 3.

• Печь стоимостью 19 500 руб. — это дровяная модель под номером 2.

• Печь стоимостью 18 000 руб. — это дровяная модель под номером 1.

2) Заполняем таблицу последовательностью: 3, 2, 1.

Ответ: 321.

Задание №2

Условие: Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Подробное пошаговое решение:

1) Из текста условия выписываем линейные размеры парного отделения:

• Длина $a = 4{,}2\text{ м}$

• Ширина $b = 2{,}5\text{ м}$

• Высота $c = 2\text{ м}$

2) Парное отделение имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объём которого равен произведению трёх измерений:

V = a \cdot b \cdot c = 4{,}2 \cdot 2{,}5 \cdot 2 = 4{,}2 \cdot 5 = 21\text{ м}^3

Ответ: 21.

Задание №3

Условие: На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Подробное пошаговое решение:

1) Объём парного отделения равен $21\text{ м}^3$ .

2) Выбираем подходящую дровяную печь по диапазону отапливаемого объёма:

• Печь №1 рассчитана на 8–12 куб. м (не подходит).

• Печь №2 рассчитана на 12–22 куб. м (подходит, так как 21 входит в диапазон). Её цена — 19 500 руб. Установка бесплатна.

3) Вычисляем полную стоимость покупки и установки электрической печи: стоимость печи №3 (15 000 руб.) плюс стоимость кабеля (7500 руб.):

15\,000 + 7500 = 22\,500\text{ рублей}

4) Находим разницу в стоимости:

22\,500 - 19\,500 = 3000\text{ рублей}

Ответ: 3000.

Задание №4

Условие: На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Подробное пошаговое решение:
1) По таблице находим печь с массой 40 кг — это модель №1, её первоначальная цена составляет 18 000 руб.
2) Составляем пропорцию для нахождения величины скидки:

18\,000\text{ руб.} {\longrightarrow} 100\%

x\text{ руб.} {\longrightarrow} 10\%

x = \dfrac{18\,000 \cdot 10}{100} = 1800\text{ рублей}

3) Вычитаем скидку из начальной стоимости:

18\,000 - 1800 = 16\,200\text{ рублей}

Ответ: 16200.

Задание №5

Условие: Хозяин выбрал дровяную печь. Верхняя часть кожуха печи выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Высота кожуха равна 40 см, ширина — 60 см. Найдите радиус закругления арки $R$ в сантиметрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Проведём радиус $R$ из центра арки (середины нижней стенки кожуха) в правый верхний угол кожуха печи.

2) Получаем прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус $R$ .

3) Вертикальный катет равен высоте кожуха: 40 см.

4) Горизонтальный катет равен половине ширины кожуха:

\dfrac{60\text{ см}}{2} = 30\text{ см}

5) Находим радиус закругления арки по теореме Пифагора:

R = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ см}

Ответ: 50.

6. Разбор заданий с планами квартир

Текст к заданиям 1-5 про планы квартир:

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 40 см, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка.

Вход в квартиру находится в прихожей. Слева от входа в квартиру находится санузел, а справа — гардеробная. Самое большое помещение в квартире — гостиная, в которую можно попасть по коридору. С обратной стороны коридора находится кухня, из которой можно попасть в застеклённую лоджию. Спальня находится напротив санузла, в неё можно также зайти по коридору.

Задание №1

Условие: Определите, какими цифрами на плане обозначены помещения квартиры, и заполните таблицу соответствия.

Подробное пошаговое решение:

1) Входная дверь в квартиру находится в самом низу плана и ведёт в помещение №1 $\implies$ 1 — прихожая.

2) Слева от входа расположено помещение №6 $\implies$ 6 — санузел.

3) Справа от входа расположено помещение №7 $\implies$ 7 — гардеробная.

4) Из прихожей тянется помещение №2 $\implies$ 2 — коридор.

5) Самое просторное помещение №3, в которое ведут двери из коридора $\implies$ 3 — гостиная.

6) С противоположной стороны коридора находится помещение №5 $\implies$ 5 — кухня.

7) Из кухни (5) имеется выход в изолированное застеклённое помещение №8 $\implies$ 8 — лоджия.

8) Напротив санузла (6) через коридор расположено помещение №4 $\implies$ 4 — спальня.

• Итоговое соответствие: 1 — прихожая, 2 — коридор, 3 — гостиная, 4 — спальня, 5 — кухня, 6 — санузел, 7 — гардеробная, 8 — застеклённая лоджия.

Ответ: последовательность цифр согласно бланку задания.

Задание №2

Условие: Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Подробное пошаговое решение:
1) Найдём площадь одной паркетной доски:

S_{\text{доски}} = 20 \cdot 80 = 1600\text{ см}^2

2) Найдём площадь одной клетки на плане квартиры (сторона клетки 40 см):

S_{\text{клетки}} = 40 \cdot 40 = 1600\text{ см}^2

Ключевая закономерность: площадь одной клетки плана в точности равна площади одной паркетной доски ( $1600\text{ см}^2$ ).

3) Разобьём сложную форму гостиной (3) на два простых прямоугольника:

• Первый прямоугольник: $23 \cdot 11 = 253\text{ клетки}$ (площадь $253 \cdot 1600 = 404\,800\text{ см}^2$ )

• Второй прямоугольник: $12 \cdot 2 = 24\text{ клетки}$ (площадь $24 \cdot 1600 = 38\,400\text{ см}^2$ )

4) Общая площадь гостиной:

S_{\text{общ}} = 404\,800 + 38\,400 = 443\,200\text{ см}^2\text{ (или } 253 + 24 = 277\text{ клеток)}

5) Число паркетных досок, необходимых для укладки:

N = \dfrac{S_{\text{общ}}}{S_{\text{доски}}} = \dfrac{443\,200}{1600} = 277\text{ досок}

6) Найдём число упаковок (в одной пачке 12 досок):

K = \dfrac{277}{12} = 23\dfrac{1}{12}

7) Так как упаковки продаются исключительно целыми, округляем с избытком: понадобится 24 упаковки.

Ответ: 24.

Задание №3

Условие: Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Подробное пошаговое решение:
1) Санузел на плане квартиры обозначен номером 6.
2) Площадь одной клетки в квадратных сантиметрах: $40 \cdot 40 = 1600\text{ см}^2$ .
3) Размеры санузла в клетках составляют 7 клеток на 10 клеток:

S_{\text{сан.кл}} = 7 \cdot 10 = 70\text{ клеток}

4) Найдём площадь санузла в квадратных сантиметрах:

S_{\text{сан.см}} = 70 \cdot 1600 = 112\,000\text{ см}^2

5) Переведём квадратные сантиметры в квадратные метры ( $1\text{ м}^2 = 10\,000\text{ см}^2$ ):

S_{\text{сан.м}} = \dfrac{112\,000}{10\,000} = 11{,}2\text{ м}^2

Ответ: 11,2.

Задание №4

Условие: На сколько процентов площадь спальни больше площади застеклённой лоджии?

Подробное пошаговое решение:
1) Найдём площадь лоджии в клетках:

S_{\text{лодж}} = 5 \cdot 12 = 60\text{ клеток}

2) Найдём площадь спальни в клетках:

S_{\text{сп}} = 12 \cdot 15 = 180\text{ клеток}

3) Найдём разницу площадей (на сколько клеток спальня больше лоджии):

\Delta S = 180 - 60 = 120\text{ клеток}

4) Найдём процентное превышение относительно площади лоджии (делим именно на площадь лоджии!):

P = \dfrac{\Delta S}{S_{\text{лодж}}} \cdot 100\% = \dfrac{120}{60} \cdot 100\% = 2 \cdot 100\% = 200\%

Ответ: 200.

Задание №5

Условие: В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг.

Модель

Вместимость (кг)

Тип загрузки

Стоимость (руб.)

Подключение (руб.)

Доставка

Габариты (см)

верт.

28 000

1700

бесплатно

85 × 60 × 45

фронт.

24 000

4500

10%

85 × 60 × 40

фронт.

25 000

5000

10%

85 × 60 × 40

6,5

фронт.

24 000

4500

10%

85 × 60 × 44

фронт.

28 000

1700

бесплатно

85 × 60 × 45

верт.

27 600

2300

бесплатно

89 × 60 × 40

верт.

27 585

1900

10%

89 × 60 × 40

фронт.

20 000

6300

15%

85 × 60 × 42

фронт.

27 000

1800

бесплатно

85 × 60 × 40

верт.

27 000

1800

бесплатно

85 × 60 × 40

Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

Подробное пошаговое решение:
1) Проверяем модели по двум обязательным критериям условия:
• Тип загрузки — вертикальная;
• Вместимость барабана — не менее 6 кг (6 кг и больше).
2) Отбор подходящих моделей:
• Модель А: вертикальная, 7 кг — подходит.
• Модель Е: вертикальная, 6 кг — подходит.
• Модель Ж: вертикальная, 6 кг — подходит.
• Модель К: вертикальная, но 5 кг — не подходит.
• Модели Б, В, Г, Д, З, И: фронтальная загрузка — не подходят.
3) Рассчитаем полную стоимость (цена + подключение + доставка) для трёх отобранных моделей:
• Модель А: $28\,000\text{ (цена)} + 1700\text{ (подключение)} + 0\text{ (бесплатная доставка)} = 29\,700\text{ рублей}$ .
• Модель Е: $27\,600\text{ (цена)} + 2300\text{ (подключение)} + 0\text{ (бесплатная доставка)} = 29\,900\text{ рублей}$ .
• Модель Ж: доставка составляет 10% от цены машины:

27\,585 \cdot 0{,}10 = 2758{,}5\text{ рублей}

Итоговая стоимость модели Ж:

27\,585 + 1900 + 2758{,}5 = 32\,243{,}5\text{ рублей}

4) Сравниваем полученные суммы: 29 700 руб., 29 900 руб. и 32 243,5 руб. Наиболее дешёвый вариант составляет 29 700 рублей.

Ответ: 29700.

Типичные ошибки в заданиях 1-5

При решении заданий 1-5 школьники чаще всего допускают следующие три ошибки:

Ошибки с масштабом клетки

Считают площадь объекта простым подсчётом количества клеток, забывая возвести сторону клетки в квадрат. Если сторона клетки равна 2 м, площадь одной клетки составляет $2 \cdot 2 = 4\text{ м}^2$ , а не 2!

Неверная база для процентов

В вопросе «на сколько процентов величина А больше величины В» делят разницу на А вместо В. Запомните: делить всегда нужно на то значение, с которым производят сравнение.

Округление материалов в меньшую сторону

Получив дробное число упаковок плитки или паркета (например, 23,1), применяют математическое округление до 23. Но на практике 23 упаковок не хватит, поэтому строительные материалы всегда округляют с избытком — до 24.

Тренажёры по заданиям 1-5 ОГЭ на Экзамео

В интерактивных тренажёрах Экзамео собрана полная база реальных практико-ориентированных задач 1-5 ОГЭ по математике: автомобильные шины, планы дачных участков и квартир, форматы бумаги, схемы деревень и дорог, тарифы мобильной связи и банные печи. Тренируйтесь решать каждый тип задач отдельно, пользуйтесь подсказками и подробными пошаговыми эталонами решений, чтобы уверенно набрать максимум баллов на экзамене!

Задача 1

Задания с шинами

Темы1

Курсы1

Вариант 1

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)

Диаметр 16″

Диаметр 17″

Диаметр 18″

Диаметр 19″

195

195/70

195/65

—

205

205/65

205/60

205/55

—

215

215/60

215/55

215/45; 215/50

215/45

225

—

225/50

225/45

225/40

235

—

235/60

235/55

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ваш ответ

Задача 2

Вычисление высоты боковины шины по маркировке

Темы1

Курсы1

Прототип практико-ориентированного задания из реального блока «Шины» (задания 1–5 ОГЭ по математике). Расчёт высоты боковины автомобильной шины H по заданной заводской маркировке вида B/P R d.Вариант 1

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R15?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Актуальные сюжеты 1-5 задач ОГЭ по математике

Основные методы решения заданий с текстом в ОГЭ по математике

Пошаговый алгоритм выполнения заданий 1-5

Разбор всех видов задач 1-5 из ОГЭ по математике

Типичные ошибки в заданиях 1-5

Тренажёры по заданиям 1-5 ОГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой