Алгебраические дроби 7 класс: свойства, сокращение и тренажеры с решениями

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Алгебраическая дробь» для учащихся 7 класса. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь семиклассникам глубоко понять природу дробей с переменными, освоить основное свойство, научиться выполнять сокращение, сложение и вычитание алгебраических дробей, а также успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по алгебре.

В начальной школе и 5–6 классах вы работали с обыкновенными числовыми дробями (например, $\frac{3}{5}$ ). В 7 классе математика делает важный шаг вперед: на место чисел в числителе и знаменателе приходят многочлены и переменные. Так образуется алгебраическая дробь.

Понятие алгебраической дроби — 7 класс

Будем обозначать многочлены заглавными буквами латинского алфавита: $A, B, C, D, \ldots$

Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$ — частное многочлена $A$ и ненулевого многочлена $B$ .

• Многочлен $A$ называют числителем алгебраической дроби;
• Многочлен $B$ называют знаменателем алгебраической дроби.

Примеры алгебраических дробей:

1) $\frac{x}{x + 3}$ — числитель $x$ , знаменатель $x + 3$ ;

2) $\frac{x^2 - y^2}{5}$ — числитель $x^2 - y^2$ , а в знаменателе стоит число $5$ (любое число можно рассматривать как одночлен/многочлен);

3) Если многочлен $A = -7$ , а $B = 4$ , то дробь $\frac{A}{B}$ превращается в обычное число $\frac{-7}{4}$ .

Основные свойства алгебраических дробей

Алгебраические дроби обладают свойствами, выраженными следующими фундаментальными равенствами (где $C$ — ненулевой многочлен):

$\frac{A}{1} = A \quad (1)$

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} \quad (2)$

$-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} \quad (3)$

Разберём подробно, что означает каждое из этих трёх равенств:

Равенство (1): Любой многочлен — это дробь

Частное многочлена $A$ и единицы есть тот же многочлен $A$ . Это означает, что любое целое выражение или многочлен можно записать как дробь со знаменателем 1:

$a - 3b = \frac{a - 3b}{1}$

Равенство (2): Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби домножить на один и тот же ненулевой многочлен $C$ , получится равная ей алгебраическая дробь.

(Замечание: далее для краткости вместо «алгебраическая дробь» часто говорят просто «дробь»).

💡 Равенство (3): Работа со знаком «минус» перед дробью

Знак «минус» перед всей дробью можно внести в числитель ИЛИ в знаменатель (но только в один из них!):

$-\frac{x - y}{k - p} = \frac{-(x - y)}{k - p} = \frac{-x + y}{k - p} \quad \text{или} \quad -\frac{x - y}{k - p} = \frac{x - y}{-(k - p)} = \frac{x - y}{-k + p}$

Приведение дроби к новому знаменателю

Переход от дроби $\frac{A}{B}$ к дроби $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ называется приведением дроби к новому знаменателю $B \cdot C$ .

Пример 1: Приведём дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $5b$ (дополнительный множитель равен $5$ ):

Пример 2: Приведём дробь $\frac{a + 2}{a - 2}$ к знаменателю $(a - 2)^2$ (дополнительный множитель равен $a - 2$ ):

Сокращение алгебраических дробей

Записав основное свойство дроби в обратном порядке:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$

Мы получаем правило сокращения алгебраических дробей: числитель и знаменатель дроби можно разделить на их общий ненулевой множитель $C$ .

Пример 1: Сократите дробь $\frac{3a + a^2}{4a - a^2}$ .

Вынесем за скобки общий множитель $a$ в числителе и знаменателе:

Пример 2: Сократите дробь $\frac{a^2 - 9}{(a - 3)^2}$ .

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$ :

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Действия сложения и вычитания над алгебраическими дробями выполняются по тем же правилам, что и для обыкновенных числовых дробей:

1. Одинаковые знаменатели 🎯

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, складывают (вычитают) их числители, а знаменатель оставляют прежним:

$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$

2. Разные знаменатели 🧩

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Пошаговый алгоритм сложения и вычитания дробей

Чтобы без ошибок выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей в 7 классе, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Разложите знаменатели всех дробей на множители: используйте вынесение общего множителя за скобки, группировку или формулы сокращенного умножения (ФСУ).

Найдите общий знаменатель: составьте наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов и найдите наименьший общий многочлен, содержащий все множители знаменателей.

Найдите дополнительные множители для каждой дроби: разделите общий знаменатель на знаменатель каждой дроби и домножьте числители на эти множители.

Раскройте скобки в числителе, приведите подобные слагаемые и (если возможно) сократите итоговую дробь.

Типичные ошибки семиклассников

При выполнении преобразоаний алгебраических дробей ученики 7 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Сокращение слагаемых вместо множителей ❌

Пытаться зачеркивать слагаемые в числителе и знаменателе (например, в дроби $\frac{a + 5}{a + 2}$ зачёркивать букву $a$ ❌). Запомните: сокращать можно только МНОЖИТЕЛИ! Сначала раскладываем на множители, и только потом сокращаем!

Ошибка в знаках при вычитании дробей ❌

Забывать, что минус перед второй дробью относиться ко ВСЕМУ её числителю! Записывайте числитель второй дроби в скобках: $\frac{A}{C} - \frac{B + D}{C} = \frac{A - (B + D)}{C} = \frac{A - B - D}{C}$ ✅.

Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи.

Подробный разбор практических примеров

Рассмотрите примеры решения и оформления типовых задач по теме «Алгебраические дроби» из курса алгебры 7 класса.

Пример 1: Выполнение сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Задание: Выполните сложение и вычитание дробей: $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x(x - 2)}$ .

Подробное решение:

1) Найдем общий знаменатель: в знаменателе первой дроби стоит $x - 2$ , в знаменателе второй — $x(x - 2)$ . Общий знаменатель равен $x(x - 2)$ .

2) Найдем дополнительный множитель: для первой дроби дополнительным множителем является $x$ , для второй — $1$ .

3) Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{x \cdot x}{x(x - 2)} - \frac{4}{x(x - 2)} = \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)}$ .

4) Разложим числитель на множители и сократим дробь:

По формуле разности квадратов $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x}$ .

Ответ: $\frac{x + 2}{x}$ .

Пример 2: Упрощение выражения с изменением знака в знаменателе

Задание: Упростите выражение: $\frac{2a}{a - b} + \frac{2b}{b - a}$ .

Подробное решение:

1) Обратим внимание на знаменатели: $a - b$ и $b - a$ отличаются только знаком.
2) Вынесем минус из второго знаменателя: $b - a = -(a - b)$ и вынесем этот минус перед второй дробью:

$\frac{2a}{a - b} - \frac{2b}{a - b}$ .

3) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2a - 2b}{a - b} = \frac{2(a - b)}{a - b} = 2$ .

Ответ: $2$ .

Тренажёры по алгебраическим дробям за 7 класс на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлена база заданий и онлайн-тренажёров по теме «Алгебраическая дробь» для 7 класса. Систематические тренировки на нашем тренажёре помогут до автоматизма отработать сокращение дробей, приведение к общему знаменателю, сложение и вычитание сложных алгебраических дробей, сдать самостоятельные и контрольные работы по алгебре на «отлично» и сформировать прочную базу для 8–9 классов!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Алгебраическая дробь 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!