Арифметическая прогрессия: формулы, свойства и примеры

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Арифметическая прогрессия» для учащихся 9 класса. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам освоить понятие числовых последовательностей, выучить все необходимые формулы $n$ -го члена и суммы, понять принципы решения практико-ориентированных задач и успешно подготовиться к контрольным работам и сдаче ОГЭ по математике.

В повседневной жизни мы регулярно сталкиваемся с процессами, которые увеличиваются или уменьшаются с равным постоянным шагом: накопительные вклады, физическое ускорение, этажи зданий, схемы выплат кредитов и даже спортивные тренировки. В математике такие последовательности называются арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия — 9 класс

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ , в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$ .

• Рекуррентная формула(формула n-го члена): $a_{n+1} = a_n + d$

• Разность прогрессии ( $d$ ): число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего:

d = a_{n+1} - a_n

Примеры арифметических последовательностей:
1) $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ — к каждому числу прибавляется $3$ ;
2) $10, 8, 6, 4, 2, \ldots$ — из каждого числа вычитается $2$ (прибавляется $-2$ );
3) $-15, -10, -5, 0, 5, \ldots$ — к каждому числу прибавляется $5$ .

Виды прогрессии по значению d:

1) если $d > 0$ , прогрессия возрастающая (например: $3, 7, 11, 15, \ldots$ , где $d = 4$ );

2) если $d < 0$ , прогрессия убывающая (например: $20, 15, 10, 5, \ldots$ , где $d = -5$ );

3) если $d = 0$ , прогрессия стационарная ( $7, 7, 7, 7, \ldots$ ).

Формулы арифметической прогрессии

Для успешного решения всех типов задач в 9 классе и на ОГЭ достаточно выучить ключевые формулы, они помогут вам на самостоятельных работах по арифметическим прогрессиям:

Название формулы

Математическая запись

Описание и когда применять

Формула $n$ -го члена

$a_n = a_1 + d(n - 1)$

Позволяет найти любой член прогрессии с номером $n$ , зная только первый член $a_1$ и разность $d$ .

Характеристическое свойство

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Каждый член (начиная со второго) равен среднему арифметическому своих соседних членов.

Сумма первых $n$ членов (Основная)

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Применяется, когда известны первый ( $a_1$ ) и последний ( $a_n$ ) члены суммы.

Сумма первых $n$ членов (Через d)

$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Применяется, когда последний член $a_n$ неизвестен, но дана разность $d$ .

Связь двух любых членов

$a_n = a_k + d(n - k)$

Позволяет выразить любой член $a_n$ через любой другой известный член $a_k$ .

Для ОГЭ по математике эти формулы запоминать не нужно, они будут в справочном материале, однако запомнить как их использовать будет очень полезно.

Арифметическая прогрессия в ОГЭ и ЕГЭ по математике

На экзаменах вы будете встречать задачи, связанные с арифметическими прогрессиями - на ОГЭ это 14 задание, а вот на ЕГЭ профильного уровня арифметическая прогрессия является просто частью задач во второй формуле

Где арифметическая прогрессия применяется в реальной жизни?

Законы арифметической прогрессии лежат в основе множества повседневных и профессиональных процессов:

1. Финансы и копилка

Вы решили откладывать деньги: в первую неделю 100 рублей, а в каждую последующую — на 50 рублей больше, чем в предыдущую (100, 150, 200, 250...).

С помощью формулы суммы $S_n$ можно за пару секунд посчитать, сколько денег накопится ровно за 52 недели (за год), не складывая 52 числа вручную!

2. Спорт

Спортсмен на тренировке увеличивает количество отжиманий каждый день на 3 раза. Количество отжиманий образует арифметическую прогрессию
Например в первый день он делал 20 отжиманий, во второй - 23, в третий 26 и так далее

3. Медицина и спорт

Врач назначает прием лекарства по схеме: начать с 5 капель и каждый день увеличивать дозу на 2 капли.
На второй день надо принять 7 капель, далее 9 и так далее

4. Архитектура и амфитеатры

В зрительных залах и амфитеатрах каждый следующий ряд содержит на фиксированное число кресел больше, чем предыдущий (например, в 1 ряду — 15 мест, во 2 — 18, в 3 — 21...).

Алгоритм решения задач на арифметическую прогрессию

Чтобы безошибочно решать задачи на самостоятельных работах по арифметическим прогрессиям и в задании №14 ОГЭ, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Выпишите известные величины из условия: определите, что дано ( $a_1$ , $d$ , $n$ , $a_n$ или $S_n$ ).

Найдите разность $d$ (если она не дана): используйте формулу $d = a_{k+1} - a_k$ или выразите $d$ через связь двух членов $a_n = a_k + d(n - k)$ .

Выберите нужную формулу:

• Если нужно найти отдельное значение в конкретный день/шаг $\to$ формула $n$ -го члена $a_n = a_1 + d(n - 1)$ .

• Если нужно найти общее количество за все дни/шаги вместе $\to$ формула суммы $S_n$ .

Подставьте данные в формулу и вычислите итоговый ответ.

Ошибки при решении задач на арифметические прогрессии

При решении задач на арифметическую прогрессию ученики 9 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка в коэффициенте при разности (n вместо n-1)

Писать в формуле $a_n = a_1 + d \cdot n$ вместо $a_1 + d(n - 1)$ . Помните: чтобы дойти от 1-го члена до $n$ -го, мы делаем ровно $n - 1$ шаг!

Путаница между отдельным членом an и суммой Sn

Путать «сколько проехали в 5-й день» ( $a_5$ ) и «сколько проехали ВСЕГО за 5 дней» ( $S_5$ ). Внимательно читайте вопрос задачи!

Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах чтобы правильно выполнять задачи

Пример решения задач на арифметическую прогрессию

Рассмотрим примеры решения и оформления задач на арифметическую последовательность формата ОГЭ по математике (задание №14) .

Пример 1: Текстовая задача про амфитеатр (Формула суммы)

Задание: В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Подробное решение:

1) Запишем дано:

• Первый член $a_1 = 20$ (мест в 1 ряду).

• Разность $d = 3$ (увеличение мест в каждом ряду).

• Количество рядов $n = 14$ .

2) Нам нужно найти общее количество мест во всех 14 рядах, то есть сумму $S_{14}$ .

3) Применим формулу суммы через $d$ :

$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

4) Подставим известные значения:

$S_{14} = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot (14 - 1)}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{40 + 3 \cdot 13}{2} \cdot 14 = \frac{40 + 39}{2} \cdot 14 = \frac{79}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553$ .

Ответ: 553 места.

Пример 2: Поиск номера члена прогрессии по его значению

Задание: Дана арифметическая прогрессия $-12, -8, -4, \ldots$ Найдите номер члена этой прогрессии, равного $40$ .

Подробное решение:

1) Запишем данные:

• Первый член $a_1 = -12$ .

• Второй член $a_2 = -8$ .

• Найдем разность: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-12) = -8 + 12 = 4$ .

• Искомый член $a_n = 40$ .

2) Используем формулу $n$ -го члена:

$a_n = a_1 + d(n - 1)$

$40 = -12 + 4(n - 1)$

3) Решим полученное уравнение относительно $n$ :

$40 + 12 = 4(n - 1)$

$52 = 4(n - 1)$

$n - 1 = 52 : 4$

$n - 1 = 13 \implies n = 14$ .

Ответ: $n = 14$ .

Задания на арифметическую прогрессию для 9 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлена база заданий и онлайн-тренажёров по теме «Арифметическая прогрессия» для 9 класса. Систематические тренировки тренажёре помогут отработать решение прототипов задания №14 из ОГЭ по математике, научиться мгновенно применять формулы суммы и $n$ -го члена прогрессии