Числовые выражения: значение, порядок действий и скобки

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Числовые выражения» для учащихся 7 класса. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь семиклассникам глубоко понять правила составления числовых выражений, освоить алгоритмы нахождения их значений, правильно соблюдать порядок арифметических действий и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по алгебре.

С понятиями чисел и арифметических операций вы знакомы с начальной школы. В 7 классе изучение алгебры начинается именно с объединения чисел и знаков действий в единые математические конструкции — числовые выражения.

Понятие числового выражения и его значения — 7 класс

Числовым выражением называют запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий (плюс, минус, умножение, деление) и скобок, указывающих порядок действий.

• Значение числового выражения — это число, которое получается в результате выполнения всех указанных действий в заданном порядке.

Примеры числовых выражений:

1) $4 \cdot 8 - 15$ — значение выражения равно $17$ (так как $32 - 15 = 17$ );

2) $(12,5 + 3,5) : 4$ — значение выражения равно $4$ (так как $16 : 4 = 4$ );

3) $\frac{3}{5} + \frac{2}{3}$ — значение выражения равно $1 \frac{4}{15}$ .

Выражения, не имеющие смысла

Далеко не из любых чисел и знаков действий можно получить значение. В математике существует важнейшее ограничение: деление на ноль невозможно.

Выражения без смысла

Если в процессе вычислений числового выражения приходится выполнять деление на ноль, то говорят, что данное числовое выражение НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА. Найти его значение нельзя.

Пример: Выражение $\frac{18}{5 \cdot 2 - 10}$ не имеет смысла, так как в знаменателе получается ноль ( $10 - 10 = 0$ ), а делить на ноль нельзя.

Порядок действий в числовых выражениях

Чтобы правильно найти значение числового выражения, необходимо строго соблюдать математические приоритеты выполнения операций:

1. Действия первой ступени

Сложение и вычитание выполняются в последнюю очередь (или по порядку слева направо, если других действий нет).

2. Действия второй и третьей ступеней

Умножение, деление и возведение в степень выполняются раньше сложения и вычитания. При наличии скобок действия внутри них выполняются в первую очередь.

Пошаговый алгоритм нахождения значения числового выражения

Чтобы безошибочно вычислять значения даже самых длинных и сложных выражений в 7 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

Проверьте наличие деления на ноль: убедитесь, что нигде в знаменателях дробей или в делителях не получается ноль.

Выполните действия внутри скобок: соблюдая приоритеты (степени $\to$ умножение/деление $\to$ сложение/вычитание).

Выполните возведение в степень, умножение и деление слева направо вне скобок.

Выполните сложение и вычитание слева направо и запишите итоговый результат.

Типичные ошибки семиклассников

При вычислении значений числовых выражений ученики 7 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Нарушение порядка действий

Выполнять сложение раньше умножения (например, в выражении $2 + 3 \cdot 5$ сначала сложить $2 + 3 = 5$ ❌). Помните: сначала выполняется умножение $3 \cdot 5 = 15$ , и только потом сложение: $2 + 15 = 17$ !

Игнорирование отсутствия смысла при 0 в знаменателе

Пытаться вычислить выражение с нулем в знаменателе и писать в ответе $0$ ❌. Правильный ответ для таких заданий: «выражение не имеет смысла»!

Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи.

Разбор примеров нахождение значения числовых выражений для 7 класса

Рассмотрите примеры решения и оформления заданий из учебника алгебры 7 класса — они помогут разобраться с порядком действий.

Пример 1: Вычисление значения выражения с десятичными и обыкновенными дробями

Задание: Найдите значение числового выражения: $(3,6 - 1,2) \cdot \frac{5}{8} + 1,5$ .

Подробное решение:

1) Первое действие (в скобках):

$3,6 - 1,2 = 2,4$ .

2) Второе действие (умножение):

Представим $2,4$ в виде обыкновенной дроби $\frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ :

$\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{12}{8} = 1,5$ .

3) Третье действие (сложение):

$1,5 + 1,5 = 3$ .

Ответ: $3$ .

Пример 2: Проверка выражения на наличие смысла

Задание: Имеет ли смысл выражение $\frac{24}{4 \cdot 3 - 12}$ ?

Подробное решение:

1) Вычислим значение знаменателя дроби:

$4 \cdot 3 - 12 = 12 - 12 = 0$ .

2) Поскольку знаменатель равен нулю, получается деление на ноль $\frac{24}{0}$ .

3) Деление на ноль в математике не определено, следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

Тренажёры по числовым выражениям на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные тренажёры по теме «Числовые выражения» для 7 класса. Систематические тренировки помогут до автоматизма отработать соблюдение порядка действий, вычисление значений выражений с обыкновенными и десятичными дробями, сдать самостоятельные и контрольные работы по алгебре на «отлично» и сформировать прочную базу для дальнейшего изучения алгебраических выражений!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Числовые выражения» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!