Деление смешанных чисел - разбор теории и тренажёры. Математика 6 класс

Деление смешанных чисел - это одна из самых важных и часто вызывающих трудности тем в курсе математики 6 класса. Многие ученики путают деление смешанных чисел с делением обыкновенных дробей или пытаются делить «по частям», как при сложении. Запомните главное правило: деление смешанных чисел всегда выполняется через превращение в неправильные дроби, после чего деление заменяется умножением на обратную дробь. На этой странице мы разберём всё, что нужно знать о делении смешанных чисел, от основного правила до сложных примеров и задач.

В 5 классе вы уже научились делить обыкновенные дроби. В 6 классе это умение расширяется: теперь вы будете делить числа, которые содержат целую часть. Умение быстро и без ошибок делить смешанные числа необходимо для решения задач на движение, работу, нахождение стороны по площади и многие другие практические задачи, а также для успешной сдачи ВПР и ОГЭ в будущем.

Деление смешанных чисел - это действие, которое выполняется по правилу деления обыкновенных дробей, но предварительно смешанные числа нужно превратить в неправильные дроби.

$a\dfrac{b}{c} : d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \cdot c + b}{c} \cdot \dfrac{f}{d \cdot f + e}$

То есть сначала превращаем в неправильные дроби, затем деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю.

Основное правило деления смешанных чисел

Самое важное правило, которое нужно запомнить раз и навсегда: смешанные числа нельзя делить «по частям» (отдельно целые части и отдельно дробные). При делении смешанных чисел нужно превратить их в неправильные дроби, а затем применить правило деления дробей: деление заменить умножением на дробь, обратную делителю.

Алгоритм деления смешанных чисел

Превратить каждое смешанное число в неправильную дробь.
Заменить деление умножением на дробь, обратную делителю (перевернуть вторую дробь).
Перемножить дроби по правилу умножения дробей.
Сократить полученную дробь, если это возможно.
Представить результат в виде смешанного числа (если он больше 1).

📌 Важно запомнить: Смешанные числа нельзя делить по частям! $2\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4} \neq (2 : 1) + \left(\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4}\right)$ . Это одна из самых частых ошибок!

Примеры деления смешанных чисел

Пример 1: Деление смешанных чисел

Выполните деление: $2\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4}$ .

Решение:

Шаг 1. Превращаем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ , $1\dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$

Шаг 2. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю:

$\dfrac{5}{2} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{7}$

Шаг 3. Перемножаем дроби:

$\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 7} = \dfrac{20}{14} = \dfrac{10}{7}$

Шаг 4. Представляем результат в виде смешанного числа:

$\dfrac{10}{7} = 10 : 7 = 1$ (остаток 3) $\Rightarrow 1\dfrac{3}{7}$

Ответ: $1\dfrac{3}{7}$ .

Пример 2: Деление смешанного числа на натуральное

Выполните деление: $3\dfrac{2}{5} : 4$ .

Решение:

Натуральное число 4 можно представить как $\dfrac{4}{1}$ .

$3\dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}$ , $4 = \dfrac{4}{1}$

$\dfrac{17}{5} : \dfrac{4}{1} = \dfrac{17}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{20}$

Ответ: $\dfrac{17}{20}$ .

Пример 3: Деление натурального числа на смешанное

Выполните деление: $10 : 3\dfrac{1}{3}$ .

Решение:

$10 = \dfrac{10}{1}$ , $3\dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$

$\dfrac{10}{1} : \dfrac{10}{3} = \dfrac{10}{1} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{10} = 3$

Ответ: 3.

Деление смешанных чисел с сокращением

Чтобы упростить вычисления, можно сокращать дроби до перемножения. Это позволяет работать с меньшими числами и снижает риск ошибок. Смысл в том, что числитель одной дроби и знаменатель другой можно сократить на общий множитель ещё до того, как вы перемножите числители и знаменатели между собой - результат от этого не изменится, а вот числа в процессе вычисления станут заметно меньше и удобнее. Это особенно полезно, когда в примере встречаются крупные числа: сократив их заранее, вы избежите громоздкого умножения больших значений и последующего сокращения уже итоговой, часто ещё более громоздкой дроби.

Правило сокращения при делении

При делении дробей, после замены деления умножением на обратную дробь, можно сокращать любой числитель с любым знаменателем:

числитель первой дроби со знаменателем второй;
числитель второй дроби со знаменателем первой;
числитель со знаменателем той же дроби.

Пример с сокращением

Пример 4: Деление с сокращением

Выполните деление с сокращением: $2\dfrac{2}{3} : 3\dfrac{3}{4}$ .

Решение:

Превращаем в неправильные дроби:

$2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}$ , $3\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{4}$

$\dfrac{8}{3} : \dfrac{15}{4} = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{4}{15}$

Сокращаем: 8 и 4 делятся на 4 → $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{15}$

Сокращаем: 3 и 15 делятся на 3 → $\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} = 1\dfrac{3}{5}$

Ответ: $1\dfrac{3}{5}$ .

Деление смешанных чисел в задачах

Деление смешанных чисел часто встречается в задачах на движение, нахождение стороны по площади, деление на равные части и другие практические задачи. Это связано с тем, что многие реальные величины - время в пути, длины сторон, объёмы, части целого редко выражаются круглыми числами и часто получаются в виде смешанных чисел, то есть с целой и дробной частью одновременно. Поэтому умение уверенно делить такие числа нужно не только для решения примеров «в столбик», но и для практических вычислений, которые встречаются в самых разных жизненных ситуациях.

Задача 1: Нахождение времени

Пример 5: Задача на движение

Расстояние между городами 42 км. Велосипедист едет со скоростью $11\dfrac{2}{3}$ км/ч. За сколько часов он проедет это расстояние?

Решение:

Время = расстояние : скорость

$t = 42 : 11\dfrac{2}{3}$

$11\dfrac{2}{3} = \dfrac{35}{3}$

$42 : \dfrac{35}{3} = \dfrac{42}{1} \cdot \dfrac{3}{35} = \dfrac{126}{35} = \dfrac{18}{5} = 3\dfrac{3}{5}$ (ч)

Ответ: $3\dfrac{3}{5}$ часа.

Задача 2: Нахождение длины стороны

Пример 6: Задача на площадь

Площадь прямоугольника равна $12\dfrac{1}{2}$ м², а ширина равна $2\dfrac{1}{2}$ м. Найдите длину прямоугольника.

Решение:

Длина = площадь : ширина

$12\dfrac{1}{2} = \dfrac{25}{2}$ , $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

$a = \dfrac{25}{2} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{50}{10} = 5$ (м)

Ответ: 5 м.

Задача 3: Деление на равные части

Пример 7: Деление на равные части

Бревно длиной $8\dfrac{1}{4}$ м распилили на 3 равные части. Какова длина каждой части?

Решение:

Длина каждой части = $8\dfrac{1}{4} : 3$

$8\dfrac{1}{4} = \dfrac{33}{4}$ , $3 = \dfrac{3}{1}$

$\dfrac{33}{4} : \dfrac{3}{1} = \dfrac{33}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{33}{12} = \dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4}$ (м)

Ответ: $2\dfrac{3}{4}$ м.

Типичные ошибки при делении смешанных чисел

Ошибка 1: Делят целые и дробные части отдельно

Неправильно

$2\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4} = (2 : 1) + \left(\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4}\right) = 2 + \dfrac{2}{3} = 2\dfrac{2}{3}$

Правильно

$2\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{14} = 1\dfrac{3}{7}$

Ошибка 2: Переворачивают не ту дробь

Неправильно

$\dfrac{5}{2} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{4} \cdot \dfrac{2}{5}$

(перевернули первую дробь вместо второй)

Правильно

$\dfrac{5}{2} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{7}$

Ошибка 3: Не сокращают дроби

💡 Совет: Всегда ищите возможность сократить дроби после замены деления умножением. Это значительно упрощает вычисления и снижает вероятность ошибок. Запомните: деление смешанных чисел - это умножение на обратную дробь!

Тренажёры по делению смешанных чисел

На платформе Экзамео собрано множество интерактивных тренажёров по теме «Деление смешанных чисел» для 6 класса. В подборке — задания разного уровня сложности: от простых примеров до более сложных задач, где встречаются сокращение дробей и смешанные числа в реальных жизненных ситуациях.

К каждому заданию прилагается подробное решение с объяснением — это помогает не просто узнать ответ, а разобраться в самом алгоритме вычислений. Решайте задания в своём темпе: если где-то ошибётесь, система сразу подскажет, что нужно исправить.