Производная сложной и обратной функции - понятный разбор и примеры

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции» для учащихся 10 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с пошаговыми алгоритмами, чтобы сделать даже самые закрученные темы математического анализа наглядными, простыми и понятными для каждого десятиклассника.

На первых порах дифференцирование сложных («многоэтажных») функций кажется школьникам запутанным. Главный секрет успеха здесь — относиться к функции как к матрешке или порядку арифметических действий: определять, какая операция выполняется последней (внешняя функция), берется её производная, а затем результат умножается на производную внутренней функции.

Что такое сложная функция и её производная?

Сложная функция (композиция функций) — это функция от функции, то есть выражение вида $y = f(g(x))$ , где значению $x$ сначала сопоставляется число $u = g(x)$ (внутренняя функция), а затем к полученному числу $u$ применяется функция $f$ (внешняя функция).

• Внутренняя функция $g(x)$ : то действие, которое выполняется ПЕРВЫМ, если бы мы подставили конкретное число вместо $x$ .
• Внешняя функция $f(u)$ : то действие, которое выполняется ПОСЛЕДНИМ.

Аналогия с порядком действий:

Рассмотрим выражение $y = \sin(x^2 + 1)$ . Если взять $x = 2$ :

1) Сначала считаем $2^2 + 1 = 5$ — это внутренняя часть $u = x^2 + 1$ .

2) Затем берем синус от 5 ( $\sin 5$ ) — это внешняя оболочка $y = \sin u$ .

Формула производной сложной функции

Чтобы взять производную от сложной функции, используется правило цепочки, когда производные берутся по порядку начиная со внешней функции по цепочке до самой внутренней:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Словесное правило: Производная сложной функции равна производной внешней функции (вычисленной относительно внутренней) УМНОЖЕННОЙ на производную внутренней функции.

Техника взятия производной сложной функции

Чтобы никогда не путаться в случае вычисления производной сложной функции, расставляйте порядок действий и двигайтесь снаружи внутрь по этой пошаговой цепочке:

Шаг 1. Расставьте порядок действий 🔍

Представьте, что вы вычисляете значение выражения при заданном $x$ .

Определите, какое действие выполняется последним (внешняя функция $f$ ), а какое — внутри (внутренняя функция $g$ ).

Шаг 2. Возьмите производную ВНЕШНЕЙ функции 🧅

Возьмите производную от внешней оболочки по таблице производных, сохраняя внутреннюю часть нетронутой (как единую переменную $u$ ).

Шаг 3. Возьмите производную ВНУТРЕННЕЙ функции ⚙️

Отдельно найдите производную от того выражения, которое находилось внутри ( $g'(x)$ ).

Шаг 4. Перемножьте полученные результаты ✖️

Соедините результаты знаком умножения: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и приведите выражение к упрощенному виду.

Дифференцирование обратной функции

Если функция $y = f(x)$ строго монотонна на интервале, то для неё существует обратная функция $x = g(y)$ (обозначается $f^{-1}$ ).

Теорема о производной обратной функции

Если функция $y = f(x)$ имеет непрерывную и ненулевую производную $f'(x) \neq 0$ в точке $x_0$ , то обратная функция $x = g(y)$ также имеет производную в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$ , равную обратной величине:

g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{или} \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}

• Геометрический смысл: Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$ . Поэтому тангенсы углов наклона их касательных являются взаимно обратными числами ( $\tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha}$ ).

Типичные ошибки при вычислении производной сложной функции

При дифференцировании сложных и обратных функций старшеклассники чаще всего допускают такие ошибки:

Забывание домножить на производную внутренней части

Взять производную внешнего действия и «потерять» внутреннее (например, написать $((3x - 5)^4)' = 4(3x - 5)^3$ ❌). Запомните: обязательно домножаем на производную внутренней скобки $\cdot (3x - 5)' = \cdot 3$ ✅!

Изменение внутреннего выражения при внешнем шаге

Одновременно дифференцировать и внешнюю, и внутреннюю функции (написать $(\sin(x^2))' = \cos(2x)$ ❌). Внутренняя часть при взятии производной от внешней остается абсолютно неизменной: $\cos(x^2) \cdot 2x$ ✅!

Постарайтесь обращать на это внимание при решении самостоятельных работ и вариантов ЕГЭ. В 12 задании ЕГЭ по математике вы будете редко встречать прямо очень сложные функции, чаще всего проблема будет в коэффициенте при переменной, который нужно будет обязательно учитывать.

Разбор практических примеров с пошаговой расстановкой действий

Рассмотрите полные образцы решения задач на дифференцирование сложных и обратных функций.

Пример 1: Пошаговое вычисление производной сложной степени

Задание: Найдите производную функции $y = (5x^3 - 2x + 7)^4$ .

Разбор по шагам:

1) Шаг 1. Определим порядок действий:

• Внутренняя функция: $u = 5x^3 - 2x + 7$ (считаем в первую очередь).

• Внешняя функция: $y = u^4$ (возведение в 4-ю степень — последнее действие).

2) Шаг 2. Берем производную ВНЕШНЕЙ функции $u^4$ :

По таблице $(u^4)' = 4u^3 = 4(5x^3 - 2x + 7)^3$ .

3) Шаг 3. Берем производную ВНУТРЕННЕЙ функции $u$ :

$(5x^3 - 2x + 7)' = 15x^2 - 2$ .

4) Шаг 4. Перемножаем результаты:

$y' = 4(5x^3 - 2x + 7)^3 \cdot (15x^2 - 2)$ .

Ответ: $y' = 4(15x^2 - 2)(5x^3 - 2x + 7)^3$ .

Важно отметить, что в подобных задачах на производную сложной функции вы можете так же просто раскрыть скобки и взять производную суммы.

Пример 2: Сложная тригонометрическая функция со встроенным корнем

Задание: Найдите производную функции $y = \cos(\sqrt{x})$ .

Разбор по шагам:

1) Порядок действий:

• Внутренняя: $u = \sqrt{x}$ .

• Внешняя: $y = \cos(u)$ .

2) Производная ВНЕШНЕЙ функции:

$(\cos u)' = -\sin u = -\sin(\sqrt{x})$ .

3) Производная ВНУТРЕННЕЙ функции:

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

4) Перемножаем результаты:

$y' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$ .

Ответ: $y' = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$ .

Пример 3: Нахождение производной обратной функции

Задание: Пусть задана функция $f(x) = x^3 + 2x$ . Найти производную обратной функции $(f^{-1})'(y)$ в точке $y_0 = 3$ .

Подробное решение:

1) Найдем значение $x_0$ , соответствующее $y_0 = 3$ :

$x^3 + 2x = 3 \implies x^3 + 2x - 3 = 0$ .
Подбором находим корень $x_0 = 1$ (так как $1^3 + 2(1) = 3$ ).

2) Найдем производную исходной функции $f'(x)$ :

$f'(x) = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$ .

3) Вычислим значение $f'(x_0)$ при $x_0 = 1$ :

$f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .

4) Применим формулу производной обратной функции:

$(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$ .

Задания на производную сложной функции на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Дифференцирование сложной и обратной функции» для 10 класса с подробными решениями и проверкой ответов. Задачи в тренажерах на производную сложной функции составлены по учебникам по алгебре за 10 класс и на основании материалов открытого банка заданий ФИПИ профильного ЕГЭ по математике(Задание 12 профильного ЕГЭ).