Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Геометрическая прогрессия» для учащихся 9 класса. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам освоить понятие числовых последовательностей, выучить все необходимые формулы $n$ -го члена и суммы, понять принципы решения практико-ориентированных задач и успешно подготовиться к контрольным работам и сдаче ОГЭ по математике.

В повседневной жизни мы регулярно сталкиваемся с процессами, которые увеличиваются или уменьшаются в одно и то же количество раз: сложный процент по вкладам, размножение бактерий, деление клеток, распространение информации в соцсетях и динамика эпидемий. В математике такие последовательности называются геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия — 9 класс

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n$ ( $b_1 \neq 0$ ), в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$ .

• Рекуррентная формула: $b_{n+1} = b_n \cdot q$

• Знаменатель прогрессии ( $q$ ): число, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего:

q = \frac{b_{n+1}}{b_n}

Примеры геометрических последовательностей:
1) $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ — каждое число умножается на $3$ ;
2) $64, 32, 16, 8, 4, \ldots$ — каждое число умножается на $\frac{1}{2}$ (уменьшается в 2 раза);
3) $5, -10, 20, -40, 80, \ldots$ — каждое число умножается на $-2$ (знакочередующаяся прогрессия).

Виды прогрессии по значению q (при $b_1 > 0$ ):

1) если $q > 1$ , прогрессия возрастающая (например: $3, 6, 12, 24, \ldots$ , где $q = 2$ );

2) если $0 < q < 1$ , прогрессия бесконечно убывающая (например: $100, 10, 1, 0{,}1, \ldots$ , где $q = 0{,}1$ );

3) если $q < 0$ , прогрессия знакочередующаяся ( $2, -6, 18, -54, \ldots$ ).

Формулы геометрической прогрессии

Для успешного решения всех типов задач в 9 классе и на ОГЭ достаточно выучить ключевые формулы, они помогут вам на самостоятельных работах по геометрическим прогрессиям:

Название формулы

Математическая запись

Описание и когда применять

Формула $n$ -го члена

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Позволяет найти любой член прогрессии с номером $n$ , зная только первый член $b_1$ и знаменатель $q$ .

Характеристическое свойство

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ или $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$

Квадрат любого члена (начиная со второго) равен произведению его соседних членов (среднее геометрическое).

Сумма первых $n$ членов (Основная)

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$ )

Применяется для быстрого подсчёта суммы первых $n$ членов через $b_1$ и $q$ .

Сумма через последний член

$S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ (при $q \neq 1$ )

Удобно использовать, если известный последний член суммы $b_n$ .

Связь двух любых членов

$b_n = b_k \cdot q^{n-k}$

Позволяет выразить любой член $b_n$ через любой другой известный член $b_k$ .

Для ОГЭ по математике эти формулы запоминать не нужно, они будут в справочном материале, однако запомнить как их использовать будет очень полезно.

Геометрическая прогрессия в ОГЭ и ЕГЭ по математике

На экзаменах вы будете встречать задачи, связанные с геометрическими прогрессиями — на ОГЭ это задание №14, а на ЕГЭ профильного уровня геометрическая прогрессия активно используется в экономических задачах (№16) и задачах с параметром.

Где геометрическая прогрессия применяется в реальной жизни?

Законы геометрической прогрессии описывают процессы взрывного (экспоненциального) роста или быстрого затухания:

1. Банки и сложные проценты

При открытии вклада с капитализацией процентов сумма на счёте увеличивается каждый год в одно и то же число раз. Например, под 10% годовых сумма ежегодно умножается на 1,1.

2. Биология и бактерии

Одна бактерия делится пополам каждые 20 минут. Количество бактерий образует геометрическую прогрессию: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... со знаменателем $q = 2$ .

3. Соцсети и вирусный контент

Вы отправляете репост 3 друзьям, каждый из них отправляет ещё 3 своим знакомым. Количество просмотров растёт как геометрическая прогрессия: 3, 9, 27, 81, 243...

4. Физика и полураспад

При радиоактивном распаде или охлаждении тела величина уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое количество раз (знаменатель $0 < q < 1$ ).

Алгоритм решения задач на геометрическую прогрессию

Чтобы безошибочно решать задачи на самостоятельных работах по геометрическим прогрессиям и в задании №14 ОГЭ, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий при решении задач на геометрические прогрессии

Выпишите известные величины из условия: определите, что дано ( $b_1$ , $q$ , $n$ , $b_n$ или $S_n$ ).

Найдите знаменатель $q$ (если он не дан): используйте формулу $q = \frac{b_{k+1}}{b_k}$ или выразите $q$ через связь двух членов $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$ .

Выберите нужную формулу:

• Если нужно найти отдельное значение в конкретный шаг/период $\to$ формула $n$ -го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ .

• Если нужно найти общее количество за все периоды вместе $\to$ формула суммы $S_n$ .

Подставьте данные в формулу и аккуратно вычисления со степенями.

Ошибки при решении задач на геометрические прогрессии

При решении задач на геометрическую прогрессию ученики 9 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка в показателе степени (n вместо n-1)

Писать в формуле $b_n = b_1 \cdot q^n$ вместо $b_1 \cdot q^{n-1}$ . Помните: чтобы дойти от 1-го члена до $n$ -го, мы умножаем на знаменатель $q$ ровно $n - 1$ раз!

Путаница между сложением и умножением

Применять правила арифметической прогрессии вместо геометрической (прибавлять разность $d$ вместо умножения на знаменатель $q$ ). Внимательно проверяйте тип последовательности!

Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи.

Пример решения задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим примеры решения и оформления задач на геометрическую последовательность формата ОГЭ по математике (задание №14).

Пример 1: Текстовая задача про бактерии (Формула n-го члена)

Задание: В пробирке находится 5 бактерий. Каждую минуту каждая бактерия делится на две. Сколько бактерий будет в пробирке через 6 минут?

Подробное решение:

1) Запишем дано:

• Исходное количество в момент времени 0 минут: $b_1 = 5$ .

• Бактерии удваиваются каждые 60 секунд: знаменатель $q = 2$ .

• Проходит 6 периодов деления. Обратите внимание: в начальный момент ( $n=1$ ) прошло 0 минут, а через 6 минут мы ищем 7-й член последовательности ( $n = 7$ ).

2) Применим формулу $n$ -го члена:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

3) Подставим известные значения:

$b_7 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$ .

Ответ: 320 бактерий.

Пример 2: Нахождение суммы первых членов геометрической прогрессии

Задание: Вычислите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 3$ , а знаменатель $q = 2$ .

Подробное решение:

1) Запишем данные:

• Первый член $b_1 = 3$ .

• Знаменатель $q = 2$ .

• Количество членов $n = 5$ .

2) Используем формулу суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

3) Подставим данные и вычислим:

$S_5 = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$ .

Ответ: $S_5 = 93$ .

Задания на геометрическую прогрессию для 9 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлена база заданий и онлайн-тренажёров по теме «Геометрическая прогрессия» для 9 класса. Систематические тренировки на тренажёре помогут отработать решение прототипов задания №14 из ОГЭ по математике, научиться мгновенно применять формулы суммы и $n$ -го члена прогрессии