Нахождение числа по его дроби - разбор темы и тренажёры. Математика 6 класс

Нахождение числа по его дроби - это одна из самых важных и востребованных тем в курсе математики 6 класса. Это обратная задача к нахождению дроби от числа. Если там мы искали часть от целого, то здесь мы по известной части восстанавливаем всё целое. Это умение необходимо для решения огромного количества практических задач: от расчёта первоначальной стоимости товара со скидкой до определения полного пути по пройденной части. На этой странице мы разберём всё, что нужно знать о нахождении числа по его дроби, от основного правила до сложных задач с процентами и смешанными числами.

В 5 классе вы уже познакомились с этой темой на простых примерах. В 6 классе это умение становится более осмысленным. Вы будете работать с любыми дробями - правильными, неправильными, смешанными числами, десятичными дробями и процентами. Главное правило остаётся неизменным: чтобы найти число по его дроби, нужно разделить известную часть на эту дробь. Но за этой простой формулой скрывается множество нюансов, которые мы разберём на этой странице.

Нахождение числа по его дроби - это действие, при котором мы восстанавливаем всё число по известной его части, выраженной дробью.

Основное правило: чтобы найти число по его дроби, нужно известную часть разделить на эту дробь.

Если $\dfrac{a}{b}$ числа равно $c$ , то число $= c : \dfrac{a}{b} = c \cdot \dfrac{b}{a}$

Основное правило нахождения числа по его дроби

Самое важное правило, которое нужно запомнить раз и навсегда: чтобы найти число по его дроби, нужно разделить известную часть на эту дробь. Это правило работает для любых дробей: правильных, неправильных, смешанных чисел и десятичных дробей.

Общая формула

Если $\dfrac{a}{b}$ числа равно $c$ , то число $= c : \dfrac{a}{b} = c \cdot \dfrac{b}{a}$

Пример: Если $\dfrac{3}{4}$ числа равно 15, то число = $15 : \dfrac{3}{4} = 15 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{60}{3} = 20$

Давайте разберёмся, почему это правило работает. Представьте, что мы знаем, что $\dfrac{3}{4}$ числа равно 15. Это значит, что число разделили на 4 равные части (знаменатель 4), а затем взяли 3 такие части (числитель 3), и получили 15. Значит, $\dfrac{1}{4}$ числа равна $15 : 3 = 5$ . Тогда всё число равно $5 \cdot 4 = 20$ . Как видите, мы пришли к тому же результату: $15 : \dfrac{3}{4} = 15 \cdot \dfrac{4}{3} = 20$ .

📌 Важно запомнить: Нахождение числа по его дроби - это обратная задача к нахождению дроби от числа. Если в первой задаче мы умножали, то здесь мы делим.

Примеры нахождения числа по его дроби

Нахождение числа по его дроби

Найдите число, если $\dfrac{2}{5}$ его равны 14.

Решение:

$14 : \dfrac{2}{5} = 14 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

Нахождение числа по его дроби (с сокращением)

Найдите число, если $\dfrac{3}{8}$ его равны 18.

Решение:

$18 : \dfrac{3}{8} = 18 \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{18 \cdot 8}{3}$

Сокращаем 18 и 3: 18 : 3 = 6

$\dfrac{18 \cdot 8}{3} = \dfrac{6 \cdot 8}{1} = 48$

Ответ: 48.

Нахождение числа по его дроби со смешанными числами

Если дробь, по которой мы ищем число, является смешанным числом, её нужно сначала превратить в неправильную дробь, а затем применить правило деления.

Алгоритм для смешанных чисел

Превратить смешанное число в неправильную дробь.
Разделить известную часть на полученную дробь.
При необходимости сократить результат.

Нахождение числа по смешанной дроби

Найдите число, если $1\dfrac{2}{3}$ его равны 30.

Решение:

$1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

$30 : \dfrac{5}{3} = 30 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{90}{5} = 18$

Ответ: 18.

Задачи на нахождение числа по его дроби

Рассмотрим несколько типовых задач, в которых используется нахождение числа по его дроби. Эти задачи часто встречаются на контрольных работах и в ВПР.

Задача 1: Нахождение полного пути

Задача на путь

Турист прошёл 18 км, что составляет $\dfrac{2}{3}$ всего пути. Какова длина всего пути?

Решение:

Нужно найти число, если $\dfrac{2}{3}$ его равны 18.

$18 : \dfrac{2}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{54}{2} = 27$ (км)

Ответ: 27 км.

Задача 2: Нахождение первоначальной цены

Задача на скидку

Товар со скидкой 20% стоит 800 рублей. Какова первоначальная цена товара?

Решение:

800 рублей - это 80% от первоначальной цены (100% — 20% = 80%).

80% = $\dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5}$

Первоначальная цена: $800 : \dfrac{4}{5} = 800 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{4000}{4} = 1000$ (руб.)

Ответ: 1000 рублей.

Задача 3: Нахождение числа по части

Пример 7: Нахождение полного числа

$\dfrac{5}{9}$ класса пошли в поход, что составляет 20 человек. Сколько всего учеников в классе?

Решение:

$20 : \dfrac{5}{9} = 20 \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{180}{5} = 36$

Ответ: 36 учеников.

Задача 4: Нахождение числа по проценту (банковская задача)

Пример 8: Банковская задача

Вкладчик получил 1200 рублей прибыли, что составляет 8% от его вклада. Какова сумма вклада?

Решение:

8% = $\dfrac{8}{100} = \dfrac{2}{25}$

$1200 : \dfrac{2}{25} = 1200 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{30000}{2} = 15000$ (руб.)

Ответ: 15000 рублей.

Задача 5: Нахождение числа по дробной части

Пример 9: Сложная задача

В книге 3 главы. Первая глава составляет $\dfrac{2}{5}$ всей книги, что равно 60 страницам. Сколько страниц во всей книге?

Решение:

$60 : \dfrac{2}{5} = 60 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{300}{2} = 150$ (страниц)

Ответ: 150 страниц.

Сравнение задач: дробь от числа и число по его дроби

Очень важно различать два типа задач. В первом случае мы ищем часть от целого (умножаем), во втором — целое по его части (делим).

Признак

Дробь от числа

Число по его дроби

Что ищем?

Часть (меньше целого)

Целое (больше части)

Действие

Умножение

Деление

Пример

$\dfrac{2}{3}$ от 18 = ?

$\dfrac{2}{3}$ числа = 18. Найти число.

Решение

$18 \cdot \dfrac{2}{3} = 12$

$18 : \dfrac{2}{3} = 27$

Типичные ошибки при нахождении числа по его дроби

Ошибка 1: Путают с нахождением дроби от числа

Неправильно

Найти число, если $\dfrac{2}{3}$ его равны 18:

$18 \cdot \dfrac{2}{3} = 12$

(это нахождение дроби от числа)

Правильно

Найти число, если $\dfrac{2}{3}$ его равны 18:

$18 : \dfrac{2}{3} = 27$

Ошибка 2: Неправильное деление на дробь

Неправильно

$18 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{18}{2} \cdot 3$

(перевернули не ту дробь)

Правильно

$18 : \dfrac{2}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{2} = 27$

Ошибка 3: Неправильное превращение процентов

💡 Совет: Чтобы найти число по его проценту, всегда превращайте проценты в дробь. Например, 25% = $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ . И только потом делите.

Тренажёры по нахождению числа по его дроби

На платформе Экзамео собраны интерактивные тренажёры по теме «Нахождение числа по его дроби» для 6 класса. Мы подготовили задания разного уровня сложности - от простых вычислений до сложных задач с процентами и смешанными числами.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.