Наименьшее общее кратное (НОК) натуральных чисел - это важнейшее понятие в математике 6 класса, которое широко применяется при решении задач на дроби, нахождение общего знаменателя, а также в задачах на движение, работу и многие другие. Понимание НОК необходимо для успешного изучения алгебры в старших классах и для сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с задачами, где нужно найти общее время, общий объём или общее количество. Например, если два события происходят с разной периодичностью, нам нужно найти момент, когда они совпадут. Именно для этого и используется наименьшее общее кратное. На этой странице вы узнаете, что такое НОК, как его находить разными способами, и научитесь применять эти знания на практике.
Наименьшее общее кратное тесно связано с наибольшим общим делителем (НОД) и разложением чисел на простые множители - навыками, которые вы уже освоили. Умение находить НОК пригодится вам на протяжении всего школьного курса математики, особенно при работе с дробями, решении уравнений и выполнении практических задач.
Наименьшее общее кратное (НОК) - это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел .
Что такое наименьшее общее кратное
Прежде чем перейти к формальному определению, разберём идею на простом примере. Представьте, что вам нужно найти число, в которое одинаково укладываются сразу несколько других чисел - без остатка. Именно это число и называют наименьшим общим кратным. Такое свойство делает НОК незаменимым при работе с дробями и с любыми повторяющимися и периодическими процессами.
Определение
Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел .
Пример: Найдём НОК чисел 4 и 6.
Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Общие кратные: 12, 24, 36, ...
Наименьшее общее кратное: 12.
Запись: НОК(4, 6) = 12.
📌 Важно запомнить: НОК всегда больше или равен каждому из чисел, для которых он находится. НОК двух чисел не может быть меньше большего из них.
НОК используется в самых разных ситуациях. Например, если один автобус приезжает на остановку каждые 12 минут, а другой - каждые 18 минут, то через сколько минут они встретятся на остановке одновременно? Для ответа на этот вопрос нужно найти НОК чисел 12 и 18. Это число покажет, через сколько минут оба автобуса окажутся на остановке в одно и то же время.
Способы нахождения НОК
Существует два основных способа нахождения НОК: перебором кратных и с помощью разложения на простые множители.
Перебор кратных - самый интуитивно понятный способ: вы просто выписываете кратные каждого числа, пока не найдёте первое совпадение. Такой метод отлично подходит для небольших чисел и часто используется в начале изучения темы, а также в устном счёте и на первых по сложности заданиях ОГЭ.
Разложение на простые множители работает надёжно с любыми числами и особенно выручает, когда числа большие или их несколько. Этот способ чаще встречается в более сложных задачах, при работе с дробями, а также в заданиях, где перебор занял бы слишком много времени.
Разберем подробно каждый из способов нахождения НОК
Способ 1: Перебор кратных
Этот способ основан на выписывании кратных чисел до тех пор, пока не будет найдено общее кратное. Он хорошо работает для небольших чисел и помогает понять суть понятия НОК.
В силу его простоты, им удобно пользоваться при решении небольших задач и для быстрого поиска ответа, что очень полезно в условиях ограниченного времени, например при решении самостоятельных работ на НОК в 6 классе.
Алгоритм перебора
Выписать несколько первых кратных каждого числа.
Найти общие кратные.
Выбрать наименьшее из общих кратных.
Пример: Найдём НОК(8, 12).
Кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
Кратные 12: 12, 24, 36, 48, ...
Общие кратные: 24, 48, ...
НОК(8, 12) = 24.
Способ 2: Разложение на простые множители
Этот способ является более универсальным и эффективным для любых чисел. Он основан на разложении чисел на простые множители и позволяет находить НОК быстро и без ошибок. Именно этот способ чаще всего используется в старших классах и на экзаменах.
Алгоритм разложения
Разложить каждое число на простые множители .
Выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях.
Каждый множитель взять с наибольшим показателем степени, встречающимся в разложениях .
Перемножить выбранные множители.
Примеры нахождения НОК через разложение
Пример 1: НОК(12, 18)
Решение:
Разложим числа на простые множители:
12 = 2² 3
18 = 2 3²
Выписываем все множители: 2 и 3.
Берём каждый с наибольшим показателем: 2² и 3².
НОК(12, 18) = 2² 3² = 4 9 = 36
Пример 2: НОК(72, 96)
Решение:
Разложим числа на простые множители:
72 = 2³ 3²
96 = 2⁵ 3
Выписываем все множители: 2 и 3.
Берём каждый с наибольшим показателем: 2⁵ и 3².
НОК(72, 96) = 2⁵ 3² = 32 9 = 288
НОК трёх и более чисел
Пример 3: НОК(48, 72, 120)
Решение:
Разложим числа на простые множители:
48 = 2⁴ 3
72 = 2³ 3²
120 = 2³ 3 5
Выписываем все множители: 2, 3, 5.
Берём каждый с наибольшим показателем: 2⁴, 3², 5.
НОК(48, 72, 120) = 2⁴ 3² 5 = 16 9 5 = 720
Связь между НОД и НОК
Между наибольшим общим делителем (НОД) и наименьшим общим кратным (НОК) существует важная связь, которая позволяет находить одно через другое. Это соотношение часто используется при решении задач, так как позволяет сэкономить время и избежать лишних вычислений.
Формула связи НОД и НОК
Для любых двух натуральных чисел и выполняется равенство:
Пример: Для чисел 12 и 18:
НОД(12, 18) = 6, НОК(12, 18) = 36.
НОД НОК = 6 36 = 216.
12 18 = 216. Равенство верно.
Применение НОК
Наименьшее общее кратное широко используется в математике и повседневной жизни. Особенно часто оно применяется при работе с дробями, решении задач на периодические процессы и в задачах на движение.
Где применяется НОК
Приведение дробей к общему знаменателю - общий знаменатель двух или нескольких дробей - это их НОК .
Решение задач на движение - определение момента встречи движущихся объектов .
Решение задач на периодические процессы - определение момента совпадения событий с разной периодичностью.
Нахождение общей продолжительности - вычисление времени, когда несколько процессов совпадают.
Пример задачи на НОК
Пример: задача на периодичность
Один светофор загорается зелёным каждые 15 секунд, а другой - каждые 25 секунд. Они загорелись одновременно в некоторый момент. Через сколько секунд они снова загорятся одновременно?
Решение:
Нужно найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 25.
15 = 3 5
25 = 5²
НОК(15, 25) = 3 5² = 3 25 = 75
Ответ: через 75 секунд.
Пример применения в дробях
Пример: приведение дробей к общему знаменателю
Приведите дроби и к общему знаменателю.
Решение:
Общий знаменатель - это НОК(12, 18).
12 = 2² 3
18 = 2 3²
НОК(12, 18) = 2² 3² = 4 9 = 36
Ответ: и .
Типичные ошибки при нахождении НОК
Ошибка 1: Путают НОД и НОК
Неправильно
НОК(12, 18) = 6
(это НОД, а не НОК)
Правильно
НОК(12, 18) = 36
Ошибка 2: Берут наименьшие показатели вместо наибольших
Неправильно
24 = 2³ 3, 36 = 2² 3²
НОК = 2² 3 = 12
(взяли наименьшие показатели)
Правильно
НОК = 2³ 3² = 72
Ошибка 3: Забывают про множитель, встречающийся только в одном числе
💡 Совет: При нахождении НОК через разложение всегда берите все множители, встречающиеся в разложениях, каждый с наибольшим показателем степени. И не путайте НОК (наименьшее общее кратное) с НОД (наибольшим общим делителем)!
Тренажёры по наименьшему общему кратному
На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Наименьшее общее кратное натуральных чисел». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от нахождения НОК двух чисел до решения сложных задач на применение НОК.
Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.
Начните тренироваться прямо сейчас, чтобы уверенно решать задачи на НОК в школе и на экзаменах!