Отношения чисел и величин - разбор темы и тренажёры. Математика 6 класс

Отношения - тема, которая чаще остальных используется в быту и проходится в курсе математики 6 класса. С помощью отношений мы сравниваем числа и величины, отвечаем на вопросы «во сколько раз больше?» или «какую часть составляет?». Отношения используются в географии (масштаб карты), в кулинарии (пропорции ингредиентов), в строительстве (соотношение цемента и песка) и даже в музыке. На этой странице вы узнаете всё об отношениях: что это такое, как их записывать, как находить отношение чисел и величин, а также познакомитесь с отношениями трёх и четырёх чисел.

Умение работать с отношениями необходимо для решения огромного количества практических задач. Без понимания отношений невозможно изучать пропорции, масштаб, проценты и многие другие темы. Начните изучение с самых основ - и вы увидите, как отношения окружают нас повсюду.

Отношение двух чисел — это их частное.

Отношение чисел $a$ и $b$ записывают как $a : b$ или $\dfrac{a}{b}$ , где $a \neq 0$ и $b \neq 0$ .

Числа $a$ и $b$ называют членами отношения.

Что такое отношение двух чисел

Отношение двух чисел - это способ сравнения чисел с помощью деления. Вместо того чтобы говорить «число A больше числа B на ...», мы можем сказать «число A относится к числу B как ...». Это позволяет нам ответить на два главных вопроса: во сколько раз одно число больше другого и какую часть одно число составляет от другого.

Например, если у вас есть 6 яблок и 3 груши, то отношение яблок к грушам равно $6 : 3$ . Это значит, что яблок в 2 раза больше, чем груш. Если мы возьмём отношение груш к яблокам ( $3 : 6$ ), то оно покажет, что груши составляют $\dfrac{1}{2}$ (половину) от количества яблок.

Что показывает отношение

Отношение двух чисел показывает во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Пример 1: $20 : 5 = 4$ . Отношение показывает, что 20 больше 5 в 4 раза.

Пример 2: $5 : 20 = \dfrac{1}{4}$ . Отношение показывает, что 5 составляет $\dfrac{1}{4}$ (четверть) от 20.

Как записывают отношения

Существует несколько способов записи отношения. Давайте разберем, какие чаще всего используются:

Способы записи

С помощью знака деления: $a : b$
С помощью дробной черты: $\dfrac{a}{b}$
В виде частного: $a$ относится к $b$ как ...

Примеры записи отношения чисел 6 и 3:

$6 : 3 = 2$ (читается: «шесть относится к трём как два»)

$\dfrac{6}{3} = 2$ (читается: «шесть третьих»)

📌 Важно запомнить: Отношение можно выражать в виде числа, обыкновенной дроби, десятичной дроби или процентов. При этом важно понимать, какое число является делимым (первым членом), а какое - делителем (вторым членом).

Отношение величин

Если мы находим отношение величин (длин, масс, скоростей, стоимостей и т. д.), важно помнить: величины должны быть выражены в одинаковых единицах измерения. Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой, а это сравнение имеет смысл только тогда, когда обе величины измерены одной и той же меркой. Если единицы измерения разные, сначала нужно перевести одну из величин в единицы другой привести их к общему виду - и только после этого составлять и вычислять отношение. Если пропустить этот шаг и сравнить числа "как есть", результат окажется неверным, даже если сами вычисления выполнены правильно

Правило для величин

Чтобы найти отношение величин, нужно сначала выразить их в одних и тех же единицах измерения.

Пример: Найдём отношение 2 дм к 5 см.

Сначала переведём всё в сантиметры: 2 дм = 20 см.

Тогда отношение: 20 см : 5 см = 4.

Или: $20 : 5 = 4$ .

Важно различать два типа отношений
Отношение однородных величин (длин, масс, стоимостей в одинаковых единицах) - это число.
Отношение разноимённых величин (например, пути ко времени) это новая величина. Например, отношение пути ко времени даёт скорость (км/ч).

Свойство отношения

Отношение обладает важным свойством, которое следует из основного свойства частного: отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Основное свойство отношения

$a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$ при $c \neq 0$

$a : b = (a : c) : (b : c)$ при $c \neq 0$

Пример: $6 : 3 = 2$

Умножим оба члена на 2: $(6 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 12 : 6 = 2$ . Отношение не изменилось.

Разделим оба члена на 3: $(6 : 3) : (3 : 3) = 2 : 1 = 2$ . Отношение не изменилось.

Это свойство позволяет заменять отношения дробных чисел отношением натуральных чисел, что часто упрощает вычисления.

Отношения трёх и более чисел

В математике часто встречаются отношения не только двух, но и трёх или четырёх чисел. Например, при смешивании ингредиентов для теста может понадобиться соотношение муки, сахара и масла 3 : 2 : 1. Это значит, что на 3 части муки нужно взять 2 части сахара и 1 часть масла.

Запись отношения трёх чисел выглядит так: $a : b : c$ . Читается: «a относится к b, как b относится к c» или «a, b и c относятся как ...».

Примеры отношений трёх чисел

Пример 1: Отношение трёх чисел

Отношение трёх чисел равно $5 : 4 : 3$ , а их сумма равна 84. Найдите эти числа.

Решение:

Отношение $5 : 4 : 3$ означает, что числа состоят из $5$ частей, $4$ частей и $3$ частей.

Всего частей: $5 + 4 + 3 = 12$ .

Одна часть равна: $84 : 12 = 7$ .

Тогда первое число: $5 \cdot 7 = 35$ .

Второе число: $4 \cdot 7 = 28$ .

Третье число: $3 \cdot 7 = 21$ .

Ответ: $35, 28, 21$ .

Примеры отношений четырёх чисел

Пример 2: Отношение четырёх чисел

Сумма четырёх чисел равна $4,2$ . Отношение первых трёх чисел равно $1,2 : 4 : 0,8$ , а четвёртое число составляет $60\%$ второго. Найдите первое число.

Решение:

Четвёртое число: $60\%$ от $4$ частей = $4 \cdot 0,6 = 2,4$ части.

Отношение всех четырёх чисел: $1,2 : 4 : 0,8 : 2,4$ .

Всего частей: $1,2 + 4 + 0,8 + 2,4 = 8,4$ .

Одна часть: $4,2 : 8,4 = 0,5$ .

Первое число: $1,2 \cdot 0,5 = 0,6$ .

Ответ: $0,6$ .

Алгоритм решения задач с отношениями нескольких чисел

При решении задач на отношения трёх и более чисел удобно использовать следующий алгоритм:

Алгоритм решения

Записать отношение чисел в виде $a : b : c : ...$ .
Найти сумму всех частей (сложить числа отношения).
Найти значение одной части (разделить общее значение на сумму частей).
Умножить каждое число отношения на значение одной части, чтобы получить искомые числа.

Отношения в жизни

Отношения используются в самых разных сферах жизни. Вот лишь несколько примеров:

Кулинария: рецепт может содержать отношение ингредиентов, например, мука, масло, сахар 3 : 2 : 1.
Строительство: отношение цемента, песка и щебня в бетонной смеси (например, 1 : 3 : 5).
География: масштаб карты — это отношение расстояния на карте к расстоянию на местности.
Экономика: отношение спроса и предложения, соотношение цены и качества.
Медицина: соотношение компонентов в лекарственных препаратах.

Типичные ошибки при работе с отношениями

Ошибка 1: Путают первый и второй члены отношения

Неправильно

Найти отношение 5 к 20:

$20 : 5 = 4$

(важно, какое число идёт первым)

Правильно

Отношение 5 к 20:

$5 : 20 = \dfrac{1}{4}$

Ошибка 2: Не приводят величины к одной единице измерения

Неправильно

Отношение 2 дм к 5 см:

$2 : 5$

Правильно

Отношение 2 дм к 5 см:

$20$ см $: 5$ см $= 4$

💡 Совет: При нахождении отношения чисел внимательно читайте условие и записывайте отношение в том порядке, в котором оно указано. При нахождении отношения величин всегда приводите их к одной единице измерения.

Тренажёры по отношениям

Экзамео предлагает целую подборку интерактивных тренажёров по теме «Отношения» для 6 класса — от простых заданий на нахождение отношения двух чисел до более сложных задач, где нужно работать с отношениями сразу трёх и четырёх величин.

Решение каждого задания сопровождается подробным разбором: вы видите не только правильный ответ, но и весь ход рассуждений, что помогает по-настоящему разобраться в теме, а не просто запомнить результат. Темп занятий вы выбираете сами, а при ошибке система тут же подскажет, в чём дело и как её исправить.

Особый упор в тренажёрах сделан на два момента, которые чаще всего вызывают сложности: правильную запись отношений и приведение величин к одной единице измерения. Присоединяйтесь и начинайте практиковаться прямо сейчас