Предел функции в точке и на бесконечности: вычисление и свойства

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Предел функции» для учащихся 10 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь десятиклассникам освоить одно из ключевых понятий математического анализа, научиться вычислять пределы функции в точке и на бесконечности, раскрывать алгебраические неопределенности и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по алгебре.

Если предел последовательности описывал поведение дискретного ряда чисел при $n \to \infty$ , то предел функции позволяет изучать поведение непрерывного выражения $f(x)$ при приближении аргумента $x$ к любому значению $x_0$ или к бесконечности. Это фундаментальный инструмент, открывающий путь к понятиям непрерывности и производной.

Что такое предел функции в точке? — 10 класс

Определение пределом функции в точке (по Коши):

Число $A$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ (при $x \to x_0$ ), если для любого сколь угодно малого числа $\varepsilon > 0$ найдется такое число $\delta > 0$ , что для всех $x \neq x_0$ , удовлетворяющих неравенству $|x - x_0| < \delta$ , выполняется неравенство:

$|f(x) - A| < \varepsilon$

Обозначение: $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ (читается: «предел функции $f(x)$ при $x$ , стремящемся к $x_0$ , равен $A$ »).

• Геометрический смысл: Когда аргумент $x$ подбирается всё ближе и ближе к значению $x_0$ (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ всё ближе прижимаются к значению $A$ на оси $Oy$ .

• Важное замечание: Функция $f(x)$ в самой точке $x_0$ может быть даже не определена (точка выколота)! Для существования предела важно только то, как функция ведет себя в окрестности этой точки.

---

Виды пределов функций

В 10 классе выделяют два основных типа стремления аргумента при вычислении предела функции:

1. Предел функции в конечной точке ( $x \to x_0$ ) 📍

Аргумент $x$ неограниченно приближается к числу $x_0$ . Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ , значение предела находится простой подстановкой:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

2. Предел функции на бесконечности ( $x \to \infty$ ) ♾️

Аргумент $x$ уходит в $+\infty$ или $-\infty$ . Если ветви графика приближаются к горизонтальной прямой $y = A$ , эта прямая называется горизонтальной асимптотой:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$

Свойства и замечательные пределы

Для вычисления сложных пределов функций используются арифметические свойства и спецформулы:

Арифметические свойства 🧮

Если $\lim f(x) = A$ и $\lim g(x) = B$ , то:

• $\lim (f(x) \pm g(x)) = A \pm B$

• $\lim (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$

• $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ (при $B \neq 0$ )

Первый замечательный предел 📐

Предел отношения синуса малого угла к самому углу в радианах при $x \to 0$ равен 1:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Пошаговый алгоритм раскрытия неопределенности $\left[\frac{0}{0}\right]$ в точке

Если при прямой подстановке $x = x_0$ получается деление нуля на ноль $\left[\frac{0}{0}\right]$ , придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

Разложите числитель и знаменатель дроби на множители: используйте формулы сокращенного умножения, вынесение за скобки или разложение квадратного трехчлена $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Сократите «нулевую скобку» $(x - x_0)$ : именно этот множитель давал ноль в числителе и знаменателе.

Если в выражении есть иррациональность (корень): домножьте числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от корня.

Подставьте $x = x_0$ в оставшееся упрощенное выражение и найдите числовой ответ.

Типичные ошибки десятиклассников

При выполнении заданий на пределы функций старшеклассники чаще всего допускают такие ошибки:

Попытка подставить x0 сразу в готовую неопределенность

Считать, что $\left[\frac{0}{0}\right] = 1$ или $\left[\frac{0}{0}\right] = 0$ ❌. Запомните: $\left[\frac{0}{0}\right]$ — это неопределенность, её обязательно нужно раскрыть разложением на множители!

Использование первого замечательного предела не при x → 0

Применять формулу $\frac{\sin x}{x} = 1$ , когда $x \to \pi$ или $x \to \infty$ ❌. Формула первого замечательного предела работает ТОЛЬКО когда аргумент стремится к НУЛЮ ( $x \to 0$ )!

Постарайтесь обращать на это внимание при решении самостоятельных работ.

Разбор практических примеров вычисления пределов функций

Рассмотрите полные образцы решения и оформления задач из программы алгебры 10 класса.

Пример 1: Раскрытие неопределенности [0/0] через разложение на множители

Задание: Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$ .

Подробное решение:

1) Прямая подстановка $x = 3$ дает неопределенность: $\frac{3^2 - 5(3) + 6}{3^2 - 9} = \left[\frac{0}{0}\right]$ .

2) Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель по теореме Виета: $x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$ .

• Знаменатель по разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

3) Подставим в предел и сократим общую «нулевую скобку» $(x - 3)$ :

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3}$ .

4) Подставим $x = 3$ в упрощенную дробь:

$\frac{3 - 2}{3 + 3} = \frac{1}{6}$ .

Ответ: $\frac{1}{6}$ .

Пример 2: Применение первого замечательного предела

Задание: Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{5x}$ .

Подробное решение:

1) Имеем неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$ . Применим Первый замечательный предел $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ .

2) Сделаем так, чтобы в знаменателе находилось выражение $4x$ , как под синусом:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(4x)}{4x} \cdot \frac{4}{5} \right)$ .

3) Так как при $x \to 0$ выражение $4x \to 0$ , то предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = 1$ .

4) Получаем: $1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8$ .

Ответ: $0{,}8$ .

Задания и тренажёры по пределам функций на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Предел функции» для 10 класса с подробными решениями и проверкой ответов. Задачи в тренажёрах на пределы функций составлены по учебникам по алгебре за 10 класс и позволяют до автоматизма отработать разложение на множители, раскрытие неопределённостей и применение замечательных пределов!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Предел функции 10 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!