Проценты - разбор темы, объяснение, тренажёры с решениями. Математика 6 класс

Проценты - это одно из самых важных и часто используемых математических понятий в повседневной жизни. Скидки в магазинах, налоги, банковские проценты, результаты голосования, изменение цен - всё это проценты. На этой странице вы узнаете, что такое процент, как его находить, как решать основные типы задач на проценты и как применять эти знания в реальной жизни.

Тема «Проценты» изучается в 5-6 классах, но навыки работы с процентами необходимы на протяжении всего школьного курса математики и в повседневной жизни.

Процент - это одна сотая часть числа. Обозначается знаком %.

1% = $\dfrac{1}{100}$ = 0,01

Примеры перевода процентов в десятичные дроби

Разберёмся с основными величинами, которые переводятся обычно в проценты и обратно в десятичные дроби - именно эти значения чаще всего встречаются в жизни и в задачах и для того, чтобы проще вычислять проценты нужно переводить их в дроби.

В повседневной жизни никто не вычисляет проценты через расчет одной сотой, а просто через умножение или деление на десятичную дробь, поэтому это обязательно нужно разобрать

Проценты

Обыкновенная дробь

Десятичная дробь

$\dfrac{1}{100}$

0,01

10%

$\dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10}$

0,1

25%

$\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

0,25

50%

$\dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}$

0,5

75%

$\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$

0,75

100%

$\dfrac{100}{100} = 1$

Важно запомнить: 1% - это одна сотая. Чтобы перевести проценты в дробь, нужно разделить на 100. Чтобы перевести дробь в проценты, нужно умножить на 100.

1. Нахождение процента от числа

Это самый распространённый тип задач: нужно найти, сколько составляет определённый процент от данного числа.

Правило

Чтобы найти процент от числа, нужно:

Перевести проценты в дробь (разделить на 100).
Умножить число на полученную дробь.

$a\%$ от $b$ = $b \cdot \dfrac{a}{100}$

Примеры

Пример 1: Нахождение процента от числа

Пример 1: Найдите 25% от 80.

Решение:

25% = $\dfrac{25}{100} = 0,25$

80 $\cdot$ 0,25 = 20

Ответ: 20.

Пример 2: Найдите 12% от 450.

Решение:

12% = $\dfrac{12}{100} = 0,12$

450 $\cdot$ 0,12 = 54

Ответ: 54.

2. Нахождение числа по его проценту

В этом типе задач известна часть числа (сколько процентов она составляет) и нужно найти само число.

Правило

Чтобы найти число по его проценту, нужно:

Перевести проценты в дробь (разделить на 100).
Разделить известную часть на полученную дробь.

$a\%$ числа равны $b$ => $число = b \cdot \dfrac{100}{a} = b : \dfrac{a}{100}$

Примеры

Пример 2: Нахождение числа по его проценту

Пример 1: 20% от числа равны 30. Найдите это число.

Решение:

20% = $\dfrac{20}{100} = 0,2$

30 $:$ 0,2 = 150

Ответ: 150.

Пример 2: 8% от числа равны 24. Найдите это число.

Решение:

8% = $\dfrac{8}{100} = 0,08$

24 $:$ 0,08 = 300

Ответ: 300.

3. Процентное отношение двух чисел

Этот тип задач показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Правило

Чтобы найти, сколько процентов число $a$ составляет от числа $b$ , нужно:

Разделить $a$ на $b$ .
Умножить результат на 100%.

$\dfrac{a}{b} \cdot 100\%$

Примеры

Пример 3: Процентное отношение

Пример 1: Сколько процентов составляет 15 от 60?

Решение:

$\dfrac{15}{60} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.

Пример 2: Сколько процентов составляет 8 от 200?

Решение:

$\dfrac{8}{200} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$

Ответ: 4%.

4. Изменение величины в процентах

В задачах этого типа нужно найти, на сколько процентов изменилась величина (увеличилась или уменьшилась).

Формула

Изменение в процентах вычисляется по формуле:

$\dfrac{новое - старое}{старое} \cdot 100\%$

Если результат положительный — величина увеличилась. Если отрицательный — уменьшилась.

Примеры

Пример 4: Изменение величины

Пример 1: Цена товара выросла с 200 до 250 рублей. На сколько процентов выросла цена?

Решение:

$\dfrac{250 - 200}{200} \cdot 100\% = \dfrac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: цена выросла на 25%.

Пример 2: Цена товара снизилась с 80 до 60 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

Решение:

$\dfrac{60 - 80}{80} \cdot 100\% = \dfrac{-20}{80} \cdot 100\% = -25\%$

Ответ: цена снизилась на 25%.

Проценты в реальной жизни

Где встречаются проценты

Скидки в магазинах: «Скидка 20%» означает, что товар стоит на 20% дешевле.
Банковские проценты: вклад под 10% годовых означает, что за год сумма вклада увеличится на 10%.
Налоги: НДС (налог на добавленную стоимость) — 20%.
Результаты голосования: «За кандидата проголосовали 55% избирателей».
Состав продуктов: «Содержание жира — 3,2%».

Типичные ошибки при работе с процентами

Ошибка 1: Путают процент от числа и число по проценту

Неправильно

Найти число, если 20% его равны 40:

40 $\cdot$ 0,2 = 8

Правильно

Найти число, если 20% его равны 40:

40 $:$ 0,2 = 200

Ошибка 2: Неправильный перевод процентов в дробь

Неправильно

5% = 5

(перевели в дробь без деления на 100)

Правильно

5% = $\dfrac{5}{100}$ = 0,05

Ошибка 3: Сложение процентов

Неправильно

Цена выросла на 10%, потом ещё на 20% — всего на 30%

(нельзя просто складывать проценты)

Правильно

Цена выросла на 10%, потом ещё на 20%:

Цена после первого роста: $x \cdot 1,1$

Цена после второго роста: $x \cdot 1,1 \cdot 1,2 = 1,32x$

Итого: рост на 32%

Совет: При решении задач на проценты всегда определяйте, что принимается за 100% (целое), и переводите проценты в дроби (десятичные или обыкновенные) перед вычислениями.

Тренажёры по процентам

На платформе Экзамео вас ждут интерактивные тренажёры по теме «Проценты». Задания подобраны на разных уровнях сложности - от нахождения процента от числа до более сложных задач на изменение величины и процентное отношение.

К каждому заданию прилагается подробное решение с объяснением, поэтому вы не просто получаете верный ответ, а разбираетесь в самом алгоритме решения. Двигайтесь в комфортном для себя темпе - если где-то закрадётся ошибка, система сразу подскажет, где искать неточность.На платформе Экзамео вас ждут интерактивные тренажёры по теме «Проценты». Задания подобраны на разных уровнях сложности — от нахождения процента от числа до более сложных задач на изменение величины и процентное отношение.