МатематикаМатематика 6 класс

Рациональные числа - разбор темы и тренажёры

Понятие рационального числа, множество рациональных чисел

Карта темы

Рациональные числа - это одно из самых важных понятий в курсе математики 6 класса. Это понятие объединяет все числа, которые вы изучали до этого: натуральные, целые, обыкновенные и десятичные дроби. На этой странице вы узнаете, какие числа называются рациональными, как они устроены, как их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

Вы уже знакомы с натуральными числами (1, 2, 3, ...), целыми числами (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...), обыкновенными и десятичными дробями. Все эти числа вместе образуют множество рациональных чисел. Понимание этой темы необходимо для дальнейшего изучения алгебры в старших классах и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ.

Рациональное число - это число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби mn\dfrac{m}{n}, где mm - целое число, а nn - натуральное число (n≠0n \neq 0).

Обозначение множества рациональных чисел = Q (от латинского quotient = частное).

Что такое рациональные числа

Разберёмся с основным определением на простых примерах. Рациональное число - это число, которое можно записать в виде дроби mn\dfrac{m}{n}, где mm - целое число, а nn = натуральное.

Определение

Определение. Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби mn\dfrac{m}{n}, где m∈Zm \in \mathbb{Z} (целое число), n∈Nn \in \mathbb{N} (натуральное число), n≠0n \neq 0.

Примеры рациональных чисел:


Целые числа: 5=515 = \dfrac{5}{1}, −3=−31-3 = \dfrac{-3}{1}, 0=010 = \dfrac{0}{1}
Обыкновенные дроби: 23\dfrac{2}{3}, −57-\dfrac{5}{7}, 34\dfrac{3}{4}
Десятичные дроби: 0,25=140,25 = \dfrac{1}{4}, −0,5=−12-0,5 = -\dfrac{1}{2}
Смешанные числа: 213=732\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}
Бесконечные периодические дроби: 0,(3)=130,(3) = \dfrac{1}{3}

Отношение между множествами чисел

Все изученные вами множества чисел находятся в отношении вложенности. Это значит, что каждое предыдущее множество является частью следующего.

Схема вложенности

N ⊂ Z ⊂ Q

где:
N - множество натуральных чисел (1, 2, 3, ...)
Z - множество целых чисел (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
Q - множество рациональных чисел (все дроби)

Пример: Каждое натуральное число является целым, а каждое целое — рациональным.

Свойства рациональных чисел

Множество рациональных чисел обладает несколькими важными свойствами.

Основные свойства


Замкнутость относительно арифметических действий. Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) рациональных чисел — также рациональное число.
Свойство плотности. Между любыми двумя различными рациональными числами можно найти ещё одно рациональное число.
Каждое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби .

Представление рациональных чисел

Любое рациональное число можно записать в нескольких эквивалентных формах.

Формы записи


Обыкновенная дробь
34\dfrac{3}{4}


Смешанное число
2132\dfrac{1}{3}


Конечная десятичная дробь
0,750,75


Бесконечная периодическая дробь
0,(3)=0,333...0,(3) = 0,333...

Сравнение рациональных чисел

Рациональные числа сравниваются по тем же правилам, что и целые числа и дроби.

Правила сравнения


Положительное число всегда больше отрицательного.
Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
Нуль больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного.
Для сравнения дробей их нужно привести к общему знаменателю.

Пример: −23>−34-\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4}, так как 23<34\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} (8 < 9).

Действия с рациональными числами

Со всеми рациональными числами можно выполнять арифметические действия по тем же правилам, что и с дробями.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании рациональных чисел действуют правила сложения чисел с одинаковыми и разными знаками.

Примеры

Пример 1: −23+13=−13-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{3}

Пример 2: 34−(−12)=34+12=34+24=54=114\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}

Пример 3: −2,5+3,7=1,2-2,5 + 3,7 = 1,2

Умножение и деление

При умножении и делении рациональных чисел действует правило знаков.

Примеры

Пример 1: (−23)⋅(−34)=12\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{2}

Пример 2: 45⋅(−107)=−87=−117\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{10}{7}\right) = -\dfrac{8}{7} = -1\dfrac{1}{7}

Пример 3: (−35):(−910)=23\left(-\dfrac{3}{5}\right) : \left(-\dfrac{9}{10}\right) = \dfrac{2}{3}

Пример 4: 47:(−821)=−32=−112\dfrac{4}{7} : \left(-\dfrac{8}{21}\right) = -\dfrac{3}{2} = -1\dfrac{1}{2}

Рациональные числа в жизни

Рациональные числа окружают нас повсюду. Любое измерение, любой расчёт, любое сравнение использует рациональные числа.


Цены в магазине: 99,9 рублей, 250 рублей, 3,5 кг.
Температура: −5°C, +25°C, 0°C.
Время: 2,5 часа, 1,5 минуты.
Длина: 1,75 м, 0,5 см.
Вес: 0,7 кг, 2,3 кг.
Дроби в рецептах: 12\dfrac{1}{2} стакана муки, 34\dfrac{3}{4} чайной ложки соли.

💡 Совет: Чтобы лучше понять рациональные числа, запомните простое правило: рациональное число - это число, которое можно записать в виде дроби. Если число нельзя записать в виде дроби (как 2\sqrt{2} или π\pi), оно не является рациональным.

Тренажёры по рациональным числам

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Рациональные числа» для 6 класса. Мы подготовили задания разного уровня сложности - от распознавания рациональных чисел до выполнения всех арифметических действий с ними.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.