Разложение числа на простые множители - это одна из важнейших тем в математике 6 класса. Она позволяет представить любое составное число в виде произведения простых чисел. Это умение необходимо для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК), сокращения дробей, решения задач и понимания более сложных разделов математики. На этой странице вы узнаете, что такое простые и составные числа, освоите алгоритм разложения и научитесь применять его на практике.
Простые числа можно назвать «кирпичиками», из которых строятся все остальные натуральные числа. Любое составное число можно разложить на такие «кирпичики» единственным способом.
Разложение числа на простые множители - это представление составного числа в виде произведения простых чисел.
Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей (с точностью до порядка множителей). Это утверждение называется основной теоремой арифметики.
Простые и составные числа
Прежде чем перейти к разложению чисел, важно вспомнить, какие числа называются простыми, а какие - составными.
Основные определения
Определение. Простое число - это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Определение. Составное число - это натуральное число, большее 1, которое имеет более двух делителей.
Примеры составных чисел: 4 (делители: 1, 2, 4), 6 (делители: 1, 2, 3, 6), 8 (делители: 1, 2, 4, 8), 9 (делители: 1, 3, 9).
Число 1 не является ни простым, ни составным, так как имеет только один делитель.
📌 Важно запомнить: Число 2 - наименьшее простое число и единственное чётное простое число. Все остальные простые числа — нечётные.
Алгоритм разложения числа на простые множители
Разложение числа на простые множители удобно выполнять с помощью деления «столбиком» (или «уголком»).
Пошаговый алгоритм
Проверить, не является ли данное число простым.
Если число составное, подобрать наименьшее простое число, на которое оно делится (начиная с 2, затем 3, 5, 7, ...).
Разделить число на это простое число и записать результат деления.
Повторять шаги 2-3 с полученным частным до тех пор, пока частное не станет простым числом.
Записать исходное число как произведение всех найденных простых делителей.
Оформление в столбик:
При разложении в столбик число записывают слева, а простой делитель - справа от вертикальной черты. Частное записывают под исходным числом, и процесс продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1.
Примеры разложения
Разложение числа 60
Разложим число 60 на простые множители.
Решение:
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |
60 = 2 2 3 5 = 2² 3 5
Пошаговое объяснение:
60 делится на 2: 60 : 2 = 30.
30 делится на 2: 30 : 2 = 15.
15 не делится на 2, проверяем 3: 15 : 3 = 5.
5 — простое число.
Разложение числа 378
Разложим число 378 на простые множители.
Решение:
378 | 2
189 | 3
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |
378 = 2 3 3 3 7 = 2 3³ 7
Пошаговое объяснение:
378 делится на 2 (оканчивается на 8): 378 : 2 = 189.
189 делится на 3 (сумма цифр 1+8+9 = 18 делится на 3): 189 : 3 = 63.
63 делится на 3: 63 : 3 = 21.
21 делится на 3: 21 : 3 = 7.
7 — простое число.
Разложение числа 2310
Разложим число 2310 на простые множители.
Решение:
2310 | 2
1155 | 3
385 | 5
77 | 7
11 | 11
1 |
2310 = 2 3 5 7 11
Пошаговое объяснение:
2310 делится на 2 (оканчивается на 0): 2310 : 2 = 1155.
1155 делится на 3 (сумма цифр 1+1+5+5 = 12 делится на 3): 1155 : 3 = 385.
385 делится на 5 (оканчивается на 5): 385 : 5 = 77.
77 делится на 7: 77 : 7 = 11.
11 - простое число.
Разложение с помощью дерева множителей
Разложение числа на простые множители можно наглядно изобразить в виде дерева множителей.
Дерево множителей для числа 48
Разложим число 48 с помощью дерева множителей.
48 = 24 2 = 6 4 2 = 2 3 2 2 2 = 2⁴ 3
48
/ \
24 2
/ \
6 4
/ \ / \
2 3 2 2
Сначала число разбивается на два множителя. Если какой-то из множителей составной, его разбивают дальше, пока все множители не станут простыми числами.
Применение разложения на простые множители
Разложение чисел на простые множители широко используется в математике.
Для чего нужно разложение
Нахождение НОД и НОК - разложение чисел на простые множители позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Сокращение дробей - разложение на множители помогает упрощать дроби.
Решение задач - многие задачи решаются с помощью разложения чисел на простые множители.
Вычисление количества делителей - по разложению числа можно определить, сколько у него делителей.
Пример нахождения делителей
Пример: нахождение числа делителей
Найдём количество натуральных делителей числа 504.
Решение:
Разложим 504 на простые множители:
504 | 2
252 | 2
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |
504 = 2³ 3² 7¹
Количество делителей: (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 4 3 2 = 24
Ответ: 24 делителя.
Типичные ошибки при разложении
Ошибка 1: Включение единицы в разложение
Неправильно
25 = 1 5 5
(единица не является простым множителем)
Правильно
25 = 5 5 = 5²
Ошибка 2: Остановка на составном частном
Неправильно
48 = 2 24
(24 — составное число, разложение не закончено)
Правильно
48 = 2 24 = 2 2 12 = 2 2 2 6 = 2⁴ 3
Ошибка 3: Использование составного делителя
💡 Совет: При разложении числа на простые множители всегда проверяйте, что каждый множитель в разложении — простое число. И помните, что единица в разложении не участвует.
Тренажёры по разложению числа на простые множители
На платформе Экзамео вас ждут интерактивные тренажёры по теме «Разложение числа на простые множители». Задания подобраны на разных уровнях сложности - от базового разложения чисел до более сложных задач на нахождение НОД и НОК с его помощью.
К каждому заданию прилагается подробное решение с объяснением, поэтому вы не просто получаете верный ответ, а разбираетесь в самом алгоритме решения. Двигайтесь в комфортном для себя темпе - если где-то закрадётся ошибка, система сразу подскажет, где искать неточность.
Начинайте тренироваться уже сейчас, чтобы уверенно раскладывать числа на множители - в школе и на экзаменах!