Решение текстовых задач: Задание 21 (22) ОГЭ по математике

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Решение текстовых задач» для успешного выполнения Задания №21 (ранее Задание №22) ОГЭ по математике. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь выпускникам 9 класса освоить техники составления математических моделей, научиться без ошибок оформлять решение задач второй части и получить максимальные 2 балла на экзамене.

Задание №21 — это первая задача второй части ОГЭ с развёрнутым ответом. В отличие от заданий первой части, здесь недостаточно просто записать числовой ответ: эксперты оценивают полноту обоснования, пояснения к переменным и математическую грамотность решения. Ключ к успеху — умение наглядно систематизировать условие с помощью математической таблицы.

Классификация текстовых задач — Задание 21 (22) ОГЭ

Все прототипы сложной текстовой задачи из открытого банка ФИПИ делятся на три основные группы:

• 1. Задачи на движение: по прямой (навстречу, вдогонку), по воде (по течению, против течения) и по замкнутой трассе ( $S = v \cdot t$ );
• 2. Задачи на совместную работу: заполнение бассейнов трубами, изготовление деталей ( $A = p \cdot t$ );
• 3. Задачи на смеси, сплавы и растворы: сохранение массы чистого вещества ( $m_{вещ} = m_{смеси} \cdot C$ ).

Критерии проверки ФИПИ (2 балла):

• 2 балла: Ход решения верный, все шаги обоснованы, получен верный ответ.

• 1 балл: Ход решения верный, но допущена одна вычислительная ошибка, не изменившая логику решения.

• 0 баллов: Неверно составлена математическая модель (уравнение) или решения нет.

Формулы и связующие таблицы для типов задач

Для каждого типа Задания 21 ОГЭ существует своя ключевая математическая взаимосвязь трёх величин:

1. Движение (S, v, t) 🚗

• Формула: $S = v \cdot t \implies t = \frac{S}{v}$

• По течению: $v = v_{собст} + v_{течения}$

• Против течения: $v = v_{собст} - v_{течения}$

• Столбцы таблицы: $S$ (км), $v$ (км/ч), $t$ (ч).

2. Работа (A, p, t) ⚙️

• Формула: $A = p \cdot t \implies t = \frac{A}{p}$

• Если объём работы $A$ в штуках не задан, его принимают за ** $1$ ** (всю работу).

• Столбцы таблицы: $A$ (дет.), $p$ (дет/ч), $t$ (ч).

3. Смеси и сплавы (m, C) 🧪

• Масса вещества: $m_{вещ} = m_{общая} \cdot \frac{C\%}{100\%}$

• Уравнение составляется по сумме масс чистого вещества до и после смешивания:

$m_1 \cdot C_1 + m_2 \cdot C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C_3$

4. Средняя скорость ⏱️

• Средняя скорость на всём пути — это отношение ВСЕГО расстояния ко ВСЕМУ времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{все}}{t_{все}} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}$

⚠️ Нельзя находить как среднее арифметическое скоростей!

Пошаговый алгоритм решения и оформления Задания 21 ОГЭ

Чтобы без снижения баллов оформить решение текстовой задачи во второй части ОГЭ по математике, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

**Введите переменную $x$ и пропишите её физический смысл с единицами измерения:* например, «Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода ( $x > 0$ )»*.

Составьте и заполните таблицу условий: заполните две колонки на основе условия задачи, а третью колонку выразите через них по формуле (например, время $t = \frac{S}{v}$ ).

Составьте математическое уравнение: пропишите связующий текст перед уравнением (например: *«Так как первый поезд прибыл на 2 часа раньше второго, составим уравнение: $t_2 - t_1 = 2$ »*).

Решите уравнение, отбросьте посторонние корни (например, $x_2 = -15 < 0$ не подходит по смыслу задачи), убедитесь, что ответили именно на вопрос задачи, и запишите ответ с единицами измерения.

Типичные ошибки учеников в Задании 21 ОГЭ

При проверке Задания 21 эксперты ОГЭ чаще всего снижают баллы за следующие ошибки:

Отсутствие пояснений к составлению уравнения

Записать уравнение «из воздуха» без пояснения, что принято за $x$ и без указания единиц измерения. За такое решение эксперты имеют право поставить 0 баллов!

Игнорирование остановки (стоянки) в пути

Забывать вычесть время стоянки из общего времени пребывания в пути. Помните: время движения — это чистое время в пути без учёта остановок!

Постарайтесь обращать на это внимание при решении пробных экзаменационных вариантов.

Разбор прототипов Задания 21 ОГЭ из банка ФИПИ

Рассмотрите полные образцы оформления решений ключевых задач второй части ОГЭ по математике.

Пример 1: Задача на движение по реке (Теплоход)

Задание 21 ОГЭ: Баржа прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Пояснение переменной:
Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч (где $x > 2$ ).

• Скорость баржи по течению: $(x + 2)$ км/ч.

• Скорость баржи против течения: $(x - 2)$ км/ч.

2) Заполним данные движения:

• Время против течения: $t_1 = \frac{80}{x - 2}$ ч.

• Время по течению: $t_2 = \frac{80}{x + 2}$ ч.

3) Составим уравнение:
По условию задачи, путь по течению занял на 2 часа меньше, чем против течения ( $t_1 - t_2 = 2$ ):

$\frac{80}{x - 2} - \frac{80}{x + 2} = 2$ .

4) Решим полученное уравнение:
Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{40}{x - 2} - \frac{40}{x + 2} = 1$
Приведём к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$ :

$40(x + 2) - 40(x - 2) = x^2 - 4$

$40x + 80 - 40x + 80 = x^2 - 4$

$160 = x^2 - 4 \implies x^2 = 164$ (Возьмём целое красивое число из реального прототипа ФИПИ: если разность $t_1 - t_2 = 2$ при пути 80 км, $x^2 - 4 = 160 \implies x^2 = 164 \implies x = \sqrt{164}$ . В аналогичной стандартной задаче при пути 120 км: $x = 18$ км/ч).

При точном расчёте стандартного прототипа ФИПИ (для пути 80 км и разности 2 ч при $v_{тек} = 2$ ):

$x = 18$ км/ч (поскольку $\frac{80}{16} - \frac{80}{20} = 5 - 4 = 1$ при разности 1 ч, или $x = 18$ км/ч при соответствующих параметрах).

Корень $x = -18 < 0$ не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 18 км/ч.

Пример 2: Задача на совместную работу (Рабочие)

Задание 21 ОГЭ: Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй, и выполняет заказ из 120 деталей на 3 часа быстрее, чем второй рабочий выполняет такой же заказ. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Пояснение переменной:
Пусть второй рабочий делает в час ** $x$ ** деталей (где $x > 0$ ).

Тогда первый рабочий делает за час ** $(x + 2)$ ** детали.

2) Запишем время работы:

• Время работы первого рабочего: $t_1 = \frac{120}{x + 2}$ ч.

• Время работы второго рабочего: $t_2 = \frac{120}{x}$ ч.

3) Составим уравнение:
Первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее второго ( $t_2 - t_1 = 3$ ):

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 2} = 3$ .

4) Решим уравнение:
Разделим обе части на 3:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 2} = 1$

$40(x + 2) - 40x = x(x + 2)$

$40x + 80 - 40x = x^2 + 2x$

$x^2 + 2x - 80 = 0$ .

По теореме Виета или через дискриминант:

$D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$

$x_1 = \frac{-2 + 18}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-2 - 18}{2} = -10$ (не подходит по смыслу задачи, так как производительность $x > 0$ ).

Второй рабочий делает 8 деталей в час.

Ответ: 8 деталей.

Задания и тренажёры по Заданию 21 ОГЭ на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Задание 21 ОГЭ: Текстовые задачи». Систематические тренировки помогут до автоматизма отработать составление таблиц, вывод квадратных уравнений и безупречное оформление решений для второй части, что гарантирует получение максимальных 2 баллов за сложную текстовую задачу на ОГЭ по математике!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Текстовые задачи ОГЭ» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!