Решение задач с помощью линейных уравнений - подробный разбор

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» для учащихся 7 класса. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь семиклассникам освоить навык математического моделирования реальных ситуаций, научиться правильно составлять линейные уравнения по условию текстовых задач и успешно подготовиться к контрольным работам по алгебре.

Большинство реальных жизненных, экономических и физических проблем формулируются обычным языком. Перевод условия с обыденного языка на язык математики называется составлением математической модели (уравнения). Главный секрет решения таких задач — выбрать наиболее удобную неизвестную величину и выразить через неё все остальные условия.

Суть метода математического моделирования — 7 класс

Решение задачи с помощью уравнения — это процесс поиска неизвестной величины путем создания равенства между двумя выражениями, описывающими одну и ту же физическую или практическую величину.

• Что принимать за $x$ : за переменную $x$ чаще всего обозначают наименьшую из неизвестных величин или ту величину, о которой напрямую спрашивается в вопросе задачи.

Основные типы текстовых задач в 7 классе:

1) Задачи на движение (скорость, время, расстояние: $S = v \cdot t$ );

2) Задачи на совместную работу (объём работы, производительность, время: $A = p \cdot t$ );

3) Задачи на стоимость и количество (цена, количество, стоимость: $C = a \cdot n$ );

4) Задачи на покупки, перекладывание предметов и части.

Как переводить условия задачи на язык алгебры

При текстовом анализе условий важно точно переводить ключевые фразы в математические операции:

1. На сколько-то больше / меньше ➕ ➖

• «На $a$ больше, чем $x$ » $\to$ ** $x + a$ **

• «На $a$ меньше, чем $x$ » $\to$ ** $x - a$ **

2. В сколько-то раз больше / меньше ✖️ ➗

• «В $k$ раз больше, чем $x$ » $\to$ ** $k \cdot x$ **

• «В $k$ раз меньше, чем $x$ » $\to$ ** $\frac{x}{k}$ **

3. Сумма / Всего 🧮

• «Вместе / Всего составляет $S$ » $\to$ складываем все части: ** $x + (x + a) = S$ **

4. Разность / Насколько одна величина больше ⚖️

• «Первая величина больше второй на $D$ » $\to$ ** $\text{Большая} - \text{Меньшая} = D$ **

Универсальный пошаговый алгоритм решения задач

Чтобы без ошибок решать текстовые задачи любого уровня сложности в 7 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

**Внимательно прочитайте условие и выберите переменную $x$ :** обозначьте одну из неизвестных величин через $x$ (укажите её единицы измерения).

**Выразите остальные неизвестные величины через $x$ :** используя условия задачи («на сколько-то больше/меньше», «в сколько-то раз больше/меньше»). Удобно занести данные в краткую запись или таблицу.

Составьте линейное уравнение: свяжите полученные выражения между собой на основе ключевого условия равенства.

Решите составленное уравнение, ответьте на вопрос задачи (при необходимости найдите не только $x$ , но и вторую величину!) и обязательно проверьте смысл полученного ответа.

Типичные ошибки при решении задач уравнениями

При составлении и решении уравнений к текстовым задачам ученики 7 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Запись корня x в ответ без сверки с вопросом

Записать найденное значение $x$ сразу в ответ, не перечитав вопрос задачи. Если за $x$ была принята масса первого контейнера, а в вопросе спрашивалось «сколько всего в двух контейнерах», нужно сделать дополнительное действие!

Путаница между «на больше» и «в больше»

Записывать выражение $x + 3$ вместо $3x$ при фразе «в 3 раза больше». Помните: «на» — это сложение/вычитание, а «в» — это умножение/деление!

Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи.

Разбор примеров решения текстовых задач для 7 класса

Рассмотрите примеры решения и оформления различных типов задач из учебника алгебры 7 класса — они помогут разобраться с логикой математического моделирования.

Пример 1: Задача на покупки и соотношение величин

Задание: За тетрадь и альбомы заплатили 320 рублей. Альбом в 3 раза дороже тетради. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит альбом?

Подробное решение:

1) Введём переменную:

Пусть стоимость тетради равна ** $x$ ** рублей (так как она дешевле).

2) Выразим стоимость альбома:

Так как альбом в 3 раза дороже, он стоит ** $3x$ ** рублей.

3) Составим уравнение:

Общая стоимость всей покупки равна 320 рублей:

$x + 3x = 320$ .

4) Решим уравнение:

$4x = 320 \implies x = 320 : 4 \implies x = 80$ (рублей) — стоит тетрадь.

5) Найдем стоимость альбома:

$3 \cdot 80 = 240$ (рублей) — стоит альбом.

Ответ: тетрадь стоит 80 рублей, альбом стоит 240 рублей.

Пример 2: Задача на перекладывание предметов (два шкафа)

Задание: На первой полке было в 2 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки сняли 10 книг, а на вторую положили 14 книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Подробное решение:

1) Введём переменную:

Пусть на второй полке первоначально было ** $x$ ** книг.

Тогда на первой полке было ** $2x$ ** книг.

2) Запишем изменения:

• После того как с первой полки сняли 10 книг, на ней стало ** $2x - 10$ ** книг.

• После того как на вторую полку положили 14 книг, на ней стало ** $x + 14$ ** книг.

3) Составим уравнение:

По условию, книг на полках стало поровну:

$2x - 10 = x + 14$ .

4) Решим уравнение:

$2x - x = 14 + 10$

$x = 24$ (книги) — было на второй полке первоначально.

5) Найдем количество книг на первой полке:

$2 \cdot 24 = 48$ (книг) — было на первой полке.

Ответ: на первой полке было 48 книг, на второй — 24 книги.

Задания и тренажёры по текстовым задачам на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные тренажёры по теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» для 7 класса. Систематические тренировки помогут до автоматизма отработать составление математических моделей к задачам на движение, работу, стоимость и перекладывание предметов, что позволит сдать самостоятельные и контрольные работы по алгебре на «отлично»!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!