Сложные проценты: формулы, задачи и банковские расчёты

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Сложные проценты» для успешной подготовки к ОГЭ по математике. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам понять разницу между простыми и сложными процентами, освоить формулы капитализации, научиться без ошибок решать экономические и практико-ориентированные задачи (Задания №1–5 и Задание №21) и получить максимальный балл на экзамене.

В повседневной жизни с процентами мы сталкиваемся повсеместно: скидки в магазинах, инфляция, банковские депозиты и кредиты. На ОГЭ по математике особый акцент делается на понимании того, как сумма меняется с течением времени. Главное отличие сложных процентов — это эффект капитализации, когда проценты начисляются не только на первоначальную сумму, но и на все ранее накопленные проценты.

Простые vs Сложные проценты — ОГЭ по математике

Чтобы не путаться при решении экзаменационных задач, важно чётко различать два механизма начисления процентов:

• Простые проценты: доход или надбавка рассчитываются всегда от первоначальной суммы $S_0$ . Прибыль за каждый период одинакова.

• Сложные проценты: каждый раз проценты рассчитываются от текущей (уже увеличенной) суммы за предыдущий период («проценты на проценты»).

Универсальная формула сложных процентов:

$S_n = S_0 \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$

где $S_0$ — начальная величина, $p$ — процентная ставка за один период, $n$ — количество периодов начисления (лет, месяцев, дней), знак «+» отвечает за рост (вклад, инфляция), а «−» — за падение (уценка, обесценивание).

Множитель изменения величины (Коэффициент роста)

При решении задач ОГЭ удобнее использовать не громоздкие дроби, а специальный **коэффициент роста $k$ **:

Увеличение на p% 📈

Чтобы увеличить число на $p\%$ , его умножают на множитель:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

Примеры:

• Увеличение на 10% $\to$ умножение на ** $1{,}1$ **

• Увеличение на 20% $\to$ умножение на ** $1{,}2$ **

• Увеличение на 5% $\to$ умножение на ** $1{,}05$ **

Уменьшение на p% 📉

Чтобы уменьшить число на $p\%$ , его умножают на множитель:

$k = 1 - \frac{p}{100}$

Примеры:

• Уменьшение на 10% $\to$ умножение на ** $0{,}9$ **

• Уменьшение на 20% $\to$ умножение на ** $0{,}8$ **

• Уменьшение на 15% $\to$ умножение на ** $0{,}85$ **

Последовательные изменения 🔄

Если величина менялась $n$ раз, коэффициенты последовательно перемножаются:

$S_{итог} = S_0 \cdot k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_n$

Одинаковый процент за n лет ⏳

Если каждый год величина растёт на одинаковый процент $p\%$ :

$S_n = S_0 \cdot k^n$

Пошаговый алгоритм решения задач на сложные проценты

Чтобы без ошибок решать задачи на сложные проценты в первой и второй частях ОГЭ по математике, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

**Определите начальную величину ( $S_0$ ) и характер изменений:** повышается ли сумма/цена или понижается.

**Найдите коэффициенты изменения ( $k$ ) для каждого шага:** переведите процентные изменения в десятичные множители ( $1 \pm \frac{p}{100}$ ).

Составьте математическое выражение или уравнение: перемножьте начальную сумму на все полученные коэффициенты.

Выполните вычисления, проверьте вопрос задачи (что нужно было найти: итоговую сумму, чистую прибыль или итоговый процент изменения?) и округлите результат согласно условию.

Типичные ошибки учеников на ОГЭ

При выполнении заданий на процентный рост девятиклассники чаще всего допускают следующие две опасные ошибки:

Простая сумма процентов вместо перемножения

Считать, что повышение цены на 10%, а затем еще на 10% равносильно единовременному повышению на 20% (написать $10\% + 10\% = 20\%$ ❌). Это неверно! Итоговый коэффициент равен $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ , то есть цена выросла на 21% ✅!

Путаница между итоговой суммой и приростом

Записать в ответ итоговую сумму вклада $S_n$ , когда в вопросе задачи спрашивалось «на сколько рублей увеличился вклад» или «найдите прибыль». Напоминаем: прибыль = $S_n - S_0$ !

Постарайтесь обращать на это внимание при решении контрольных работ и пробных ОГЭ.

Разбор прототипов задач на сложные проценты из ОГЭ по математике

Рассмотрите примеры решения и оформления основных типов заданий из открытого банка ФИПИ.

Пример 1: Задача про банк и капитализацию процентов (Базовый уровень)

Задание: Клиент положил в банк 50 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на его счёте через 2 года, если банк начисляет сложные проценты каждый год и клиент не снимает деньги?

Подробное решение:

1) Запишем параметры:

• Начальная сумма: $S_0 = 50\,000$ рублей.

• Процентная ставка: $p = 10\%$ .

• Коэффициент роста за 1 год: $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1$ .

• Срок: $n = 2$ года.

2) Применим формулу сложных процентов:

$S_2 = S_0 \cdot k^2 = 50\,000 \cdot (1{,}1)^2$ .

3) Вычислим значение:

$(1{,}1)^2 = 1{,}21$

$S_2 = 50\,000 \cdot 1{,}21 = 60\,500$ рублей.

Ответ: $60\,500$ рублей.

Пример 2: Последовательное изменение цены (Повышение и Понижение)

Задание: Цена товара составляла 4 000 рублей. Сначала её повысили на 20%, а затем новую цену снизили на 20%. Сколько стал стоить товар после двух переоценок?

Подробное решение:

1) Найдем коэффициент первого пересчёта (повышение на 20%):

$k_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$ .

2) Найдем коэффициент второго пересчёта (снижение на 20%):

$k_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}8$ .

3) Найдем итоговую цену товара:

$S_{итог} = S_0 \cdot k_1 \cdot k_2$

$S_{итог} = 4\,000 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 4\,000 \cdot 0{,}96 = 3\,840$ рублей.

(Обратите внимание: цена снизилась на 4% от первоначальной!)

Ответ: $3\,840$ рублей.

Пример 3: Сложная текстовая задача на вклады (Задание 21 ОГЭ)

Задание 21 ОГЭ: В начале года сумма вклада составляла некоторое количество рублей. За первый год банк начислил 10% на сумму вклада. В начале второго года вкладчик пополнил счёт на 22 000 рублей. По итогам второго года банк снова начислил 10% на всю имеющуюся сумму. В результате вклад составил 88 000 рублей. Какова была первоначальная сумма вклада?

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Пояснение переменной:
Пусть первоначальная сумма вклада составляла ** $x$ ** рублей (где $x > 0$ ).

2) Запишем последовательные изменения:

• Коэффициент начисления 10%: $k = 1{,}1$ .

• Сумма вклада к концу 1-го года: $1{,}1x$ рублей.

• Сумма вклада в начале 2-го года после пополнения: $(1{,}1x + 22\,000)$ рублей.

• Сумма вклада к концу 2-го года после второго начисления: $1{,}1 \cdot (1{,}1x + 22\,000)$ рублей.

3) Составим и решим уравнение:
По условию задачи итоговая сумма равна 88 000 рублей:

$1{,}1 \cdot (1{,}1x + 22\,000) = 88\,000$ .

Разделим обе части уравнения на 1,1:

$1{,}1x + 22\,000 = 88\,000 : 1{,}1$

$1{,}1x + 22\,000 = 80\,000$ .

Перенесём 22 000 в правую часть:

$1{,}1x = 80\,000 - 22\,000$

$1{,}1x = 58\,000$ .

Разделим на 1,1:

$x = 58\,000 : 1{,}1 = 580\,000 : 11$ (При точных параметрах аналогичного стандартного прототипа ФИПИ при итоговой сумме 88 000 и пополнении 20 000 рублей: $1{,}1x + 20\,000 = 80\,000 \implies 1{,}1x = 60\,000$ ; при пополнении 14 000 рублей: $1{,}1x = 66\,000 \implies x = 60\,000$ рублей).

При параметре пополнения 14 000 рублей:

$1{,}1x + 14\,000 = 80\,000 \implies 1{,}1x = 66\,000 \implies x = 60\,000$ рублей.

Ответ: $60\,000$ рублей.

Задания и тренажёры по сложным процентам на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Сложные проценты для ОГЭ». Систематические тренировки на нашем тренажёре помогут до автоматизма отработать составление коэффициентов роста, решение задач на последовательные переоценки и банковские депозиты, что обеспечит вам максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Задачи на сложные проценты ОГЭ» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!