Медиана числового набора - разбор и задания | Вероятность и статистика 7 класс

На этой странице разбираем тему «Медиана числового набора» для 7 класса, чтобы помочь семиклассникам освоить базовое понятие описательной статистики, научиться вычислять медиану для упорядоченных рядов с чётным и нечётным количеством элементов, отличать медиану от среднего арифметического и успешно подготовиться к контрольным работам и ВПР по математике.

В 7 классе курс алгебры расширяется блоком элементов теории вероятностей и статистики. Измерение центральных тенденций наборов данных — важнейший практический навык. Наряду со средним арифметическим, средним геометрическим и модой, медиана позволяет оценить «середину» числового ряда и даёт объективное представление о данных, даже если в них есть крайние аномальные значения.

После теории доступны тренажеры с подробными решениями, которые помогут отработать свойства медианы и понять как её искать в тренажерах с проверкой ответов и подробным решением.

Что такое медиана числового набора? — 7 класс

Медианой упорядоченного числового набора называется число, которое находится посередине этого ряда (делит его на две равные по количеству элементов части).

Главное условие: перед нахождением медианы числовой набор обязательно должен быть упорядочен (записан по возрастанию или неубыванию)!

• Если количество чисел в наборе НЕЧЁТНОЕ, медиана — это одно число, стоящее ровно по центру;

• Если количество чисел в наборе ЧЁТНОЕ, медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих в середине ряда.

Способы вычисления медианы

Рассмотрим два основных случая нахождения медианы в зависимости от чётности количества элементов в числовом наборе:

1. Нечётное количество чисел ( $n$ ) 🔢

• Формула позиции: Порядковый номер медианы равен $(n + 1) / 2$ .

• Пример: Набор из 5 элементов: $2, 4, \mathbf{7}, 9, 12$ .

• Медиана равна: $7$ (число ровно посередине, слева 2 числа и справа 2 числа).

2. Чётное количество чисел ( $n$ ) ⚖️

• Центральные элементы: Числа на позициях $n / 2$ и $n / 2 + 1$ .

• Пример: Набор из 6 элементов: $3, 5, \mathbf{8}, \mathbf{10}, 14, 18$ .

• Медиана равна: $(8 + 10) / 2 = 9$ (полусумма двух центральных элементов).

В чём разница между медианой и средним арифметическим?

Главное преимущество медианы заключается в её устойчивости к выбросам (крайним измеряемым значениям):

Для чего нужна медиана?

Среднее арифметическое может сильно исказиться из-за одного «странного» числа, а медиана — нет. Она показывает «типичное» значение, которое стоит в середине упорядоченного ряда.

Представим, что на физкультуре класс сдаёт подтягивания. Семь учеников подтянулись так: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 18. Один спортсмен подтянулся 18 раз, а остальные — 2–5 раз.

Среднее арифметическое:

(2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 18) ÷ 7 = 39 ÷ 7 ≈ 5,6

Медиана:
Упорядочим ряд: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 18
Число в середине — 4.

Среднее говорит «5,6 раза», хотя почти все подтянулись меньше. А медиана честно показывает: типичный результат класса — 4 раза, она не сдвигается из-за одного «выброса» — очень большого или очень маленького значения. Поэтому медиана лучше показывает, как обстоят дела «в среднем», когда в данных есть кто-то, кто сильно выбивается.

Показатель статистики

Как вычисляется

Реакция на аномальные данные (выбросы)

Среднее арифметическое

Сумма всех чисел, делённая на их количество.

Сильно меняется под влиянием одного слишком большого или маленького числа.

Медиана

Число в центре упорядоченного ряда.

НЕ меняется (или меняется незначительно), объективно показвало реальную середину.

Пошаговый алгоритм нахождения медианы

Чтобы без единой ошибки найти медиану любого числового набора на уроке математики в 7 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

Упорядочите числовой набор: выпишите все числа ряда по возрастанию (от наименьшего к наибольшему).

Посчитайте общее количество элементов ( $n$ ): определите, чётное или нечётное количество чисел содержит данный ряд.

Найдите центральный элемент или элементы:

• Если $n$ нечётное $\implies$ возьмите число, стоящее строго по центру;

• Если $n$ чётное $\implies$ возьмите два центральных числа и найдите их среднее арифметическое (сложите и разделите на 2).

Запишите ответ: убедитесь, что медиана корректно отражает центральное значение выборки.

Типичные ошибки семиклассников

При выполнении заданий по статистике ученики 7 класса чаще всего допускают следующие ошибки:

Поиск центрального числа без предварительного ранжирования

Искать число посередине в том неупорядоченном порядке, в котором они записаны в условии.

Запомните: нахождение медианы ВСЕГДА начинается с сортировки ряда по возрастанию!

Забывание деления на 2 при чётном количестве чисел

Записывать в ответ сразу два центральных числа через запятую или их сумму.

При чётном $n$ медиана — это одно число, равное полусумме двух центральных элементов !

Постарайтесь обращать на это внимание при выполнении самостоятельных и контрольных работ по вероятности и статистике

Решения заданий на вычисление медианы

Рассмотрите полные образцы решения задач из курса вероятности и статистики за 7 класс на медиану.

Пример 1: Медиана набора с нечётным количеством элементов

Задание: Найдите медиану оценок ученика за четверть: $4, 3, 5, 4, 5, 4, 3$ .

Подробное решение:

1) Упорядочим данный числовой набор по возрастанию:

$3, 3, 4, \mathbf{4}, 4, 5, 5$ .

2) Количество элементов в наборе: $n = 7$ (нечётное число).

3) Медианой является число, стоящее на 4-м месте (посередине):

Позиция: $(7 + 1) / 2 = 4$ . На 4-й позиции стоит число $4$ .

Ответ: Медиана равна $4$ .

Пример 2: Медиана набора с чётным количеством элементов

Задание: Найдите медиану измерений температуры воздуха в течение суток: $12, 18, 10, 15, 22, 19$ .

Подробное решение:

1) Упорядочим данный числовой набор по возрастанию:

$10, 12, \mathbf{15}, \mathbf{18}, 19, 22$ .

2) Количество элементов в наборе: $n = 6$ (чётное число).

3) Два центральных элемента стоят на 3-й и 4-й позициях — это числа $15$ и $18$ .

4) Вычислим их среднее арифметическое:

$$\text{Медиана} = \frac{15 + 18}{2} = \frac{33}{2} = 16{,}5$$

Ответ: Медиана равна $16{,}5$ .

Задания на медиану числового набора для 7 класса

Ниже собраны практические задания на медиану для 7 класса из самостоятельных и контрольных работ. В каждом тренажёре вы найдете подробные решения и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Медиана нечётного упорядоченного числового набора

Темы1

Курсы1

Тренажёр по теории вероятностей и статистике на нахождение медианы числового набора. Набор состоит из нечётного количества целых чисел (от 5 до 11 элементов) и изначально отсортирован по возрастанию.Вариант 1

Найдите медиану упорядоченного числового набора:

15, 19, 26, 27, 29, 35, 40, 47, 54

Ваш ответ

Задача 2

Медиана чётного упорядоченного числового набора

Темы1

Курсы1

Тренажёр на нахождение медианы числового набора с чётным количеством элементов (от 6 до 12 чисел). Числа изначально упорядочены по возрастанию.Вариант 1

Найдите медиану упорядоченного числового набора:

11, 15, 22, 23, 25, 31, 36, 43, 50, 51

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план