Испытание, успех и неудача в теории вероятностей - разбор темы

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Испытание, успех и неудача» для учащихся 9 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот справочник, чтобы помочь школьникам освоить математические модели повторных независимых опытов, научиться рассчитывать вероятности противоположных событий, находить шансы наступления успеха и неудачи в реальных статистических ситуациях и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В теории вероятностей любое действие, эксперимент или наблюдение, результат которого заранее не предопределён, называется случайным экспериментом или испытанием. В простых вероятностных моделях нас часто интересует только один конкретный результат: наступило ли интересующее нас событие или нет.

🔍 Ключевые понятия испытания

• Испытание (опыт) — проведение эксперимента с непредсказуемым исходом.

• Успех (У) — наступление интересующего нас события $A$ в данном испытании.

• Неудача (Н) — ненаступление события $A$ (наступление противоположного события $\bar{A}$ ) в данном испытании.

Вероятность успеха и неудачи в испытании: основное соотношение

Если в результате испытания возможны только два исхода (успех или неудача), то эти исходы образуют полную группу противоположных событий.

Обозначим вероятность успеха через $p$ , а вероятность неудачи через $q$ . Поскольку одно из этих двух событий происходит обязательно, их сумма всегда равна единице (или 100%):

$p + q = 1 \implies q = 1 - p$

Ситуация / Испытание

Что считается «Успехом»?

Вероятность успеха $p$

Вероятность неудачи $q = 1 - p$

Бросок симметричной монеты

Выпадение орла

$p = 0{,}5$

$q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$

Бросок игрального кубика

Выпадение 6 очков

$p = \frac{1}{6}$

$q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Выстрел биатлониста

Точное попадание в мишень

$p = 0{,}8$

$q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

Контроль качества на заводе

Обнаружение бракованной детали

$p = 0{,}03$

$q = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$

Последовательность независимых испытаний

Когда одно и то же испытание повторяется несколько раз и результаты предыдущих опытов никак не влияют на последующие, такие испытания называются независимыми.

Для нахождения вероятности конкретной цепочки успехов и неудач применяется правило умножения вероятностей независимых событий. То есть вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.

Именно это правило лежит в основе формулы Бернулли, Серия испытаний Бернулли которая используется, когда нужно найти вероятность не конкретной цепочки, а определённого числа успехов (в любом порядке) в серии из n независимых испытаний.

Пример 1. Цепочка «Успех — Неудача — Успех»

Стрелок делает 3 выстрела. Вероятность попадания (успех) $p = 0{,}7$ , промаха (неудача) $q = 0{,}3$ .

Найдем вероятность цепочки (У, Н, У):
$P(\text{У, Н, У}) = p \cdot q \cdot p = 0{,}7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}147$ .

Пример 2. По крайней мере один успех

Какова вероятность того, что из 3 выстрелов стрелок попадет хотя бы один раз?

Противоположное событие — 3 неудачи подряд (Н, Н, Н):
$P(\text{Н, Н, Н}) = 0{,}3^3 = 0{,}027$ .

$P(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - 0{,}027 = 0{,}973$ .

Пошаговый алгоритм решения задач на успехи и неудачи

Чтобы безошибочно решать задачи на вероятности успехов и неудач в 9 классе, пользуйтесь этой инструкцией:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Чётко сформулируйте, что является «успехом»: определите событие $A$ и найдите его вероятность $p$ .

Вычислите вероятность «неудачи»: найдите вероятность противоположного события $q = 1 - p$ .

Запишите требуемую комбинацию или последовательность результатов: например, (У, У, Н) или (Н, У).

Перемножьте вероятности независимых исходов: для подсчета вероятности всей цепочки перемножьте соответствующие $p$ и $q$ .

Типичные ошибки при решении задач

При анализе условий испытаний девятиклассники чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Забывание вероятности неудачи ❌

При вычислении вероятности ровно одного успеха из двух испытаний считать только $p \cdot p$ вместо учета неудач: нужно рассматривать комбинации (У, Н) и (Н, У)!

Ошибка 2: Сложение вероятностей вместо умножения ❌

Складывать вероятности независимых испытаний вместо их перемножения («вероятность двух успехов равна p + p» ❌ $\to$ **верно: $p \cdot p$ ** ✅).

Подробный разбор практических задач

Рассмотри примеры решения задач формата ОГЭ по теме «Испытания, успех и неудача».

Пример 1: Вероятность ровно одного успеха в двух испытаниях

Задание: Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}9$ . Покупатель приобрел два таких чайника. Найдите вероятность того, что ровно один из них прослужит больше года.

Подробное решение:

1) Успех (У): чайник прослужил больше года, $p = 0{,}9$ .
2) Неудача (Н): чайник прослужил год или меньше, $q = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ .
3) Событие «ровно один чайник прослужит больше года» состоит из двух несовместных вариантов:

• Первый прослужил, второй нет (У, Н): $P(\text{У, Н}) = 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09$ .

• Первый не прослужил, второй прослужил (Н, У): $P(\text{Н, У}) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09$ .
4) Складываем вероятности этих вариантов: $P = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18$ .

Ответ: $0{,}18$ .

Пример 2: Оценка вероятности при нескольких испытаниях

Задание: Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0{,}02$ . Покупатель в магазине выбирает упаковку из двух батареек. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными (успех).

Подробное решение:

1) Неудача (Н): батарейка бракованная, вероятность равна $0{,}02$ .
2) Успех (У): батарейка исправная, $p = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .
3) Событие «обе батарейки исправны» соответствует комбинации (У, У).
4) По правилу умножения независимых событий: $P(\text{У, У}) = 0{,}98 \cdot 0{,}98 = 0{,}9604$ .

Ответ: $0{,}9604$ .

Тренажёры по теме «Испытание, успех и неудача» для 9 класса

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Испытание, успех и неудача» для 9 класса. Систематическая отработка задач на независимые испытания поможет довести навык расчёта вероятностей до автоматизма, легко справляться с элементами теории вероятностей на ОГЭ по математике и гарантированно получить высший балл на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Испытание, успех и неудача» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте отличных результатов вместе с нами!