Задание 2 ЕГЭ по математике профиль 2026: векторы, формулы и все типы задач

На этой странице представлен полный разбор теории и задачи из открытого банка ФИПИ и составителей ЕГЭ по векторам для успешного выполнения 2 задания ЕГЭ по математике профильного уровня. Методисты платформы Экзамео подготовили этот материал, охватывающий все типы задач из банка ФИПИ: от поиска координат и длины вектора на клетчатой бумаге до скалярного произведения, разложения по базису и нахождения косинуса угла между векторами.

Задание №2 — это гарантированный 1 первичный балл в первой части профильного ЕГЭ по математике. Векторный аппарат из этого задания также закладывает фундамент для координатного метода решения трехмерной стереометрии (Задание №14) и задач с параметром.

2 задание ЕГЭ по математике - разбор теории по векторам

Любая задача Задания 2 ЕГЭ основывается на умении находить координаты и длину (модуль) вектора. Во втором задании ЕГЭ векторы обычно задаются координатами точек или изображаются на клетчатой бумаге (сетке). Давайте разберем как находить основные величины вектора.

Вектор и его координаты во втором задании ЕГЭ по математике

Прежде всего, подготовку ко второму заданию ЕГЭ по математике профильного уровня стоит начинать с определения вектора

Что такое вектор? 🎯

Вектор (направленный отрезок) — это отрезок, у которого зафиксированы начало (точка $A$ ) и конец (точка $B$ ). Обозначается как $\vec{AB}$ или одной малой буквой $\vec{a} = \{x; y\}$ .

В ЕГЭ используются два основных метода вычисления координат вектора:

Способ 1 (Алгебраический — через разность координат точек):

Если заданы точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ , то координаты вектора вычисляются строго по правилу: «из координат КОНЦА вычитаем координаты НАЧАЛА»:

\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}

Способ 2 (Геометрический — через прямоугольный треугольник на клетках):

Если вектор нарисован на сетке без явных координат осей, отпустите проекции: достройте вектор до прямоугольного треугольника, где вектор служит гипотенузой. Длины катетов по горизонтали и вертикали задают модули координат $x$ и $y$ :

• Координата $x$ : равна длине горизонтального катета (знак «+», если вектор направлен вправо; знак «-», если влево).

• Координата $y$ : равна длине вертикального катета (знак «+», если вектор направлен вверх; знак «-», если вниз).

Вычисление длины (модуля) вектора во 2 задании ЕГЭ

Длина (модуль) вектора $\vec{a} = \{x; y\}$ обозначается $|\vec{a}|$ и вычисляется по теореме Пифагора:

Формула длины вектора:

|\vec{a}|=\sqrt{x^2 + y^2}

Выглядит на задании на экзамене это следующим образом:

То есть вы можете посчитать координаты через координаты точки начала и конца, а затем вычесть их, либо посчитать длину катетов прямоугольного треугольника - только не забывайте, что если по оси абсцисс

Операции с векторами - 2 задание ЕГЭ

При выполнении 2 задания профильного ЕГЭ по математике абсолютное большинство задач на сложение, вычитание или умножение на число быстрее и надежнее решать в координатах, чем использовать правила треугольника и параллелограмма.

Операции с векторами в координатной форме

Если даны два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ , а также число $k$ , то линейные операции выполняются почленно:

• Сложение векторов:

\vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}

• Вычитание векторов:

\vec{a}-\vec{b}=\{x_1-x_2;y_1-y_2\}

• Умножение вектора на число:

k \cdot \vec{a} = \{k \cdot x_1; k \cdot y_1\}

Главное преимущество координатного метода на ЕГЭ! 💡

Если в задаче требуется найти длину сложной комбинации векторов (например, $|\vec{c}| = |2\vec{a} - 3\vec{b}|$ ):
1. Найдите координаты вектора $\vec{c}$ : $x_c = 2x_a - 3x_b$ и $y_c = 2y_a - 3y_b$ .
2. Вычислите его длину по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$ .
Это избавляет от необходимости делать геометрические построения на сетке!

Геометрические правила сложения векторов (Правило треугольника и параллелограмма)

Если задача требует геометрического построения суммы или вычитания:

1. Правило треугольника: чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , отложите вектор $\vec{b}$ из конца вектора $\vec{a}$ . Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

2. Правило параллелограмма: чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , отложите их из одной общей точки и достройте до параллелограмма. Диагональ, выходящая из этой общей точки, является вектором суммы $\vec{a} + \vec{b}$ .

3. Вычитание векторов: вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ откладывается из одной точки и направлен из конца вычитаемого ( $\vec{b}$ ) в конец уменьшаемого ( $\vec{a}$ ).

Тут важно отметить, что задачи на графическое сложение/вычитание векторов встречаются только в пробниках, а на настоящих экзаменах их не было

Разложение вектора по базису

В прямоугольной системе координат вводятся единичные векторы (орты): $\vec{i} = \{1; 0\}$ (вдоль оси $Ox$ ) и $\vec{j} = \{0; 1\}$ (вдоль оси $Oy$ ). Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ образуют базис на плоскости.

Любой вектор $\vec{a} = \{x; y\}$ можно единственным образом разложить по базису:

\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}

Коэффициенты при базисных векторах $x$ и $y$ — это и есть координаты вектора.
Пример: Запись $\vec{a} = 4\vec{i} - 7\vec{j}$ означает, что вектор имеет координаты $\vec{a} = \{4; -7\}$ .

Скалярное произведение и косинус угла между векторами

Нахождение скалярного произведения и угла между векторами — самый популярный и зачастую самый сложный блок задач в открытом банке ФИПИ Задании 2 ЕГЭ. Такие задачи бывают двух типов и решаются при помощи всего лишь трёх формул, давайте разберём их.

Нахождение скалярного произведения векторов

Первый тип второго задания ЕГЭ по математике связан с поиском скалярного произведения, в зависимости от условий задачи используйте одну из двух формул:

• Через координаты (если известны координаты векторов):

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2

• Через длины и угол (если известны длины векторов и угол $\alpha$ между векторами):

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha

Нахождение косинуса угла между векторами

Приравнивая обе формулы, получаем универсальную формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

Формула косинуса угла:

\cos\alpha=\dfrac{\vec{a} \cdot\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}

Она тоже используется при решении вторых заданий на ЕГЭ по математике, но так же очень полезна в стереометрических задачах во второй части ЕГЭ

Разбор 2 заданий ЕГЭ профильного уровня

Рассмотрите решения прототипов заданий, взятых из открытого банка задач ФИПИ для КИМ ЕГЭ 2026 года, чтобы лучше понять тему.

Прототип 1: Вычисление длины комбинации векторов по координатам

Задание: Даны векторы $\vec{a} = \{3; -4\}$ и $\vec{b} = \{-1; 2\}$ . Найдите длину вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ .

Подробное решение:

1) Находим координаты вектора $2\vec{a}$ :
$2\vec{a} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot (-4)\} = \{6; -8\}$

2) Находим координаты вектора $3\vec{b}$ :
$3\vec{b} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 2\} = \{-3; 6\}$

3) Складываем векторы $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ почленно для нахождения координат вектора $\vec{c}$ :
$x_c = 6 + (-3) = 3$
$y_c = -8 + 6 = -2$
Получаем координаты вектора $\vec{c} = \{3; -2\}$ .

4) Находим длину (модуль) вектора $\vec{c}$ :
$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$ (или опустите корень, если в вопросе требовалось указать квадрат длины).

Прототип 2: Вычисление скалярного произведения векторов на сетке

Задание: На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с концами в узлах сетки. Вектор $\vec{a}$ направлен из точки $(1; 2)$ в точку $(5; 6)$ . Вектор $\vec{b}$ направлен из точки $(2; 1)$ в точку $(6; 2)$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Подробное решение:

1) Находим координаты вектора $\vec{a}$ (конец минус начало):
$\vec{a} = \{5 - 1; 6 - 2\} = \{4; 4\}$

2) Находим координаты вектора $\vec{b}$ :
$\vec{b} = \{6 - 2; 2 - 1\} = \{4; 1\}$

3) Вычисляем скалярное произведение по координатной формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 16 + 4 = 20$

Ответ: $20$ .

Прототип 3: Нахождение косинуса угла между векторами

Задание: Даны векторы $\vec{a} = \{2; 4\}$ и $\vec{b} = \{3; -1\}$ . Найдите косинус угла между ними.

Подробное решение:

1) Вычисляем скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$

2) Находим длины векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

3) Вычисляем косинус угла по формуле:
$\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{2}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} = 0{,}1 \sqrt{2}$

Ответ: $0{,}1 \sqrt{2}$ .

Тренажеры по 2 заданию ЕГЭ по математике

Ниже собраны все прототипы 2 задания ЕГЭ по математике профильного уровня на вектора и операции с ними из открытого банка ФИПИ, спецификатора и демоверсий прошлых лет. К каждому заданию-тренажеру вы найдете подробное решение, которое поможет лучше разобраться в теме и подготовиться к экзамену по математике на платформе Экзамео.