Анализ графиков и диаграмм (базовый ЕГЭ по математике)

Задания на анализ графиков в базовом ЕГЭ по математике встречаются в двух заданиях - в 3 и 7 задании и делятся на две принципиальные категории: прикладное считывание числовых данных с координатных осей и исследование аналитических свойств функции через её производную. Главная сложность у выпускников — не путать саму функцию $f(x)$ и её производную $f'(x)$ : они отвечают за совершенно разные геометрические характеристики одного и того же чертежа.

На этой странице собрана вся теория по графикам для базового ЕГЭ: правила считывания значений по сетке, наглядное различие между поведением функции и знаком производной, а также чёткие правила определения возрастания, убывания и точек экстремума.

Отработать всю теорию по графикам в ЕГЭ базе можно в тренажерах после теории с подробными решениями и пояснениями.

Как решать задания с графиками в ЕГЭ база

В 3 задании и в 7 задании вы можете встретить самый простой вид заданий с графиком - задания на определение значений по графику. При работе с любым практическим графиком процесса (температура, биржевой курс, рождаемость, скорость) придерживайтесь трёх правил:

Инструкция по работе с координатными осями: 🎯

Цена деления: всегда проверяйте шаг одной клетки перед началом решения:

\text{Цена деления}=\dfrac{\text{Разность двух соседних подписанных чисел}}{\text{Количество клеток между ними}}

Горизонтальная ось ( $Ox$ ): задаёт время, дату, расстояние или независимую переменную $x$ .

Вертикальная ось ( $Oy$ ): показывает текущее значение величины $y = f(x)$ .

Сравнение двух графиков: если на чертеже даны две линии (например, сплошная и пунктирная), то фраза «величина А больше величины Б» означает, что линия графика А на данном интервале проходит строго выше линии графика Б.

Место под иллюстрацию: координатная сетка с ценой деления, перпендикулярами от осей к точке графика и сравнением взаимного расположения двух кривых (выше / ниже).

Функция f(x) и её производная f'(x) : в чём разница

Так же в 7 задании ЕГЭ базового уровня с графиками может понадобиться установить соответствие между графиком функции и её производной или найти значение производной в точке. В принципе это единственное задание на базе ЕГЭ, где встречается производная, поэтому нет смысла разбирать эту тему целиком - нужно просто запомнить факты из таблицы и научиться их применять в тренажерах в конце страницы. Этих знаний будет достаточно

Объект анализа

За что отвечает на чертеже

Как определить по графику $y = f(x)$

Значение функции $f(x)$

Отвечает за положение графика относительно горизонтальной оси $Ox$ (высота точки над или под землёй).

• $f(x) > 0$ (положительно): график лежит выше оси $Ox$ .

• $f(x) < 0$ (отрицательно): график лежит ниже оси $Ox$ .

• $f(x) = 0$ : точка пересечения графика с осью $Ox$ .

Производная функции $f'(x)$

Отвечает за направление движения и скорость изменения функции (идёт ли кривая вверх, вниз или замерла на вершине).

• $f'(x) > 0$ : график возрастает (идёт в горку ↗).

• $f'(x) < 0$ : график убывает (спускается с горки ↘).

• $f'(x) = 0$ : касательная горизонтальна (пик или впадина).

Возрастание, убывание и точки экстремума

График всегда анализируют строго слева направо (в направлении увеличения переменной $x$ ):

Функция возрастает 📈

• При движении слева направо линия графика поднимается вверх.

• Большему значению $x$ соответствует большее значение $y$ .

• На всём этом промежутке производная положительна: $f'(x) > 0$ .

Функция убывает 📉

• При движении слева направо линия графика опускается вниз.

• Большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$ .

• На всём этом промежутке производная отрицательна: $f'(x) < 0$ .

Точки экстремума: смена знака производной

• Точка максимума (пик горки $\wedge$ ): возрастание сменяется убыванием. Производная меняет знак с « $+$ » на « $-»$ , а в самой вершине $f'(x) = 0$ .

• Точка минимума (дно впадины $\vee$ ): убывание сменяется возрастанием. Производная меняет знак с « $-»$ на « $+$ », а в нижней точке $f'(x) = 0$ .

• Если на интервале есть и подъем, и спуск: производная на этом интервале принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Место под иллюстрацию: непрерывная кривая с обозначенными зонами $f'(x) > 0$ (стрелка вверх), $f'(x) 0$ и $f(x)

Все возможные значения функции и производной

В заданиях на сопоставление точек $A, B, C, D$ с характеристиками всегда используются ровно 4 комбинации знаков:

Комбинация

Функция $f(x)$

Производная $f'(x)$

Как выглядит на чертеже

1. $f > 0, \; f' > 0$

Положительна

Точка лежит выше оси $Ox$ , и график в ней поднимается вверх ↗.

2. $f > 0, \; f' < 0$

Положительна

Отрицательна

Точка лежит выше оси $Ox$ , но график в ней спускается вниз ↘.

3. $f < 0, \; f' > 0$

Отрицательна

Положительна

Точка лежит ниже оси $Ox$ , но график уже поднимается вверх ↗.

4. $f < 0, \; f' < 0$

Отрицательна

Точка лежит ниже оси $Ox$ , и график продолжает спускаться вниз ↘.

Коэффициенты в графиках парабол и прямой

Иногда могут так же встречаться задания, в которых нужно понять как коэффициент в графике параболы или прямой влияют на положение графика относительно координатных осей. Задания очень похожи на задачи из ОГЭ по математике, единственное в 9 классе было 3 графика на выбор и большое количество возможных функций, а в 11 классе графика 4, и только параболы и прямые, что значительно упрощает задание.

Задания на анализ графиков в базовом ЕГЭ по математкие

Закрепить теорию на практике и научиться за считанные секунды сопоставлять знаки функций и производных помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В базе собраны сотни заданий с наглядными интерактивными графиками, где можно проверять свои ответы в один клик и видеть пошаговые подсказки к каждому интервалу или точке.

Задача 1

Анализ данных по графику

Темы1

Курсы1

Задания формата базового ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с подробными объяснениямиВариант 1

На рисунке точками показано атмосферное давление в городе в течение первых 10 дней месяца. По горизонтали указан день месяца, по вертикали — давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения давления в этот период.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

А) 3–5 дни

1) давление находился в пределах от 750 мм рт. ст. до 751 мм рт. ст.

Б) 1–3 дни

2) давление увеличивался

В) 4–6 дни

3) наибольшее падение атмосферного давления

Г) 7–10 дни

4) к концу периода падение атмосферного давления остановилось

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер характеристики.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Графика скорости движения

Темы1

Курсы1

Пример задания на анализ графика скорости движенияВариант 1

На графике изображена зависимость скорости движения электросамоката от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения электросамоката на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

А) 0–4 мин.

1) скорость была не меньше 15 км/ч на всём интервале

Б) 4–8 мин.

2) электросамокат не увеличивал скорость на всём интервале

В) 8–12 мин.

3) скорость была не больше 15 км/ч на всём интервале

Г) 12–16 мин.

4) электросамокат сделал остановку длительностью 1 мин.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план