Признак перпендикулярности двух плоскостей

Пошаговое доказательство:

1) По условию ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ ($SB \perp (ABC)$).

2) Рассмотрим плоскость боковой грани $(SAB)$. Прямая $SB$ целиком лежит в плоскости этой грани ($SB \subset (SAB)$).

3) Так как плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SB$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$, по признаку перпендикулярности двух плоскостей:

4) Аналогично рассмотрим плоскость боковой грани $(SBC)$. Прямая $SB$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$ ($SB \subset (SBC)$).
По признаку перпендикулярности двух плоскостей:

Обе грани взаимно перпендикулярны основанию пирамиды.

Пошаговое доказательство:

1) Докажем $(BB_1D_1D) \perp (ABC)$:
Боковое ребро куба $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ ($BB_1 \perp (ABC)$).
Прямая $BB_1$ лежит в плоскости сечения $(BB_1D_1D)$. По признаку перпендикулярности плоскостей:

2) Докажем $(BB_1D_1D) \perp (AB_1C_1D)$:

В квадрате основания $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Отрезок $AC \parallel A_1C_1$, следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $A_1C_1$.

Боковое ребро $DD_1 \perp AC$, так как $DD_1 \perp (ABC)$.

Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$ плоскости $(BB_1D_1D)$, значит:

Так как $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp (BB_1D_1D)$. Плоскость сечения $(AB_1C_1D)$ проходит через прямую $A_1C_1$, перпендикулярную плоскости $(BB_1D_1D)$.

По признаку перпендикулярности плоскостей: $(AB_1C_1D) \perp (BB_1D_1D)$.

Пошаговое решение:

1) Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Проведём плоскость $(SOM)$ через высоту $SO$ и апофему $SM$.

2) Докажем, что $(SOM) \perp (SCD)$:

• $CD \perp OM$ (в квадрате $ABCD$ отрезок $OM$ соединяет центр с серединой стороны);

• $CD \perp SM$ (апофема равнобедренного треугольника $\Delta SCD$).

Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(SOM)$, значит, $CD \perp (SOM)$.

Плоскость $(SCD)$ проходит через прямую $CD \perp (SOM)$, следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей:

3) Линия пересечения этих плоскостей — отрезок апофемы $SM$.

По следствию из признака перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $SM$ ($OH \perp SM$), является перпендикуляром ко всей плоскости $(SCD)$. Отрезок $OH$ — искомое расстояние.

4) В прямоугольном треугольнике $\Delta SOM$:
Катеты $SO = 4$, $OM = \dfrac{a}{2} = 3$. Гипотенуза $SM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
Высота $OH$, опущенная на гипотенузу:

Ответ: $2{,}4$.

Пошаговое доказательство:

1) По условию задачи:

• плоскость $(SAB) \perp (ABC)$;

• плоскость $(SBC) \perp (ABC)$.

2) Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ имеют общую точку $S$ и общую точку $B$, то есть пересекаются по прямой $SB$ ($(SAB) \cap (SBC) = SB$).

3) Применим следствие из признака перпендикулярности плоскостей: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости.

4) Следовательно, линия пересечения $SB$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$:

Отрезок $SB$ перпендикулярен основанию и опущен из вершины $S$, то есть является высотой данной пирамиды.

Пошаговое доказательство:

1) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и две его смежные грани: грань основания $(ABCD)$ и боковую грань $(ABB_1A_1)$.

2) По определению прямоугольного параллелепипеда боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$ ($AA_1 \perp (ABCD)$).

3) Ребро $AA_1$ целиком принадлежит плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$ ($AA_1 \subset (ABB_1A_1)$).

4) Так как плоскость $(ABB_1A_1)$ проходит через прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $(ABCD)$, по признаку перпендикулярности двух плоскостей:

Аналогично доказывается перпендикулярность для любой другой пары смежных граней.