Расстояние от точки до плоскости - формулы и примеры

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Расстояние от точки до плоскости» по геометрии для 10 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь десятиклассникам досконально понять геометрическую суть расстояния в пространстве, освоить нахождение перпендикуляра, метод объёмов, а также выучить координатную формулу и без ошибок решать стереометрические задачи из контрольных работ и ЕГЭ.

Нахождение расстояния от точки до плоскости — фундаментальный навык в стереометрии 10 класса. На экзаменах и контрольных эту задачу можно решать двумя независимыми путями: наглядными геометрияческими построениями или через координаты вектора нормали.

Теоретический справочник: расстояние от точки до плоскости

Ниже подробно разобраны строгое определение, свойства перпендикуляра и два ключевых метода вычисления - через классические теоремы стереометрии и с использованием координатного метода.

Определение расстояния и геометрический смысл

Определение расстояния 🎯

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

• Если точка лежит на самой плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно $0$ .

• Длина перпендикуляра — это кратчайшее расстояние от данной точки до любой точки плоскости (любая наклонная строго длиннее перпендикуляра).

[ Место для иллюстрации: Точка M вне плоскости α, опущенный перпендикуляр MO на плоскость и основание перпендикуляра O ]

Классический метод нахождения расстояния от точки до плоскости

В классическом геометрическом подходе к вычислению расстояния от точки до плоскости применяют два основных приёма:

Прямое построение перпендикуляра

Строится вспомогательная плоскость, перпендикулярная данной, и опускается высота в плоском треугольнике (часто используется Теорема о трёх перпендикулярах).

Метод объёмов (метод вспомогательной пирамиды)

Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$ рассматривается как высота $h$ пирамиды $MABC$ , опущенная на основание $ABC$ .
Объём пирамиды вычисляется двумя способами:

V_{MABC} = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} S_{\triangle MAC} \cdot h_B

И тогда можно выразить расстояние как высоту пирамиды

h = \dfrac{3 V_{MABC}}{S_{\triangle ABC}}

Лайфхак с параллельными прямыми и плоскостями! 💡

Если прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$ , то расстояние от любой точки этой прямой до плоскости одинаково.
Вы можете заменить «неудобную» точку $A$ на «удобную» точку $B$ на той же параллельной прямой или параллельной плоскости!

Расстояние от точки до плоскости через метод координат

Если построить перпендикуляр геометрически трудно, всегда можно применить координатный метод решения задач стереометрии и воспользоваться формулой через координаты.

Формула расстояния от точки до плоскости:

Пусть в декартовой системе координат $Oxyz$ дана точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и плоскость, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ .
Тогда расстояние $d$ от точки $M_0$ до плоскости вычисляется по формуле:

d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

где $(A; B; C)$ — координаты вектора нормали плоскости, которые можно получить используя Уравнение плоскости.

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении стереометрических задач в 10 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выберите метод решения:
- Если фигура простая (куб, прямоугольный параллелепипед) — используйте метод координат.
- Если легко находится объём пирамиды — используйте метод объёмов.

Выполните математические расчёты:
- В методе координат: найдите координаты $3$ точек плоскости, составьте уравнение $Ax+By+Cz+D=0$ и подставьте координаты точки в формулу.
- В классическом методе: найдите площадь основания и объём пирамиды, а затем выразите высоту $h = \dfrac{3V}{S}$ .

Запишите ответ: извлеките квадратные корни и запишите точное числовое значение.

Разбор типовых задач из контрольных работ и ЕГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для урока стереометрии за 10 класс и контрольных работ.

Пример 1: Расстояние от вершины куба до плоскости (Метод координат)

Задание: Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$ . Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$ .

Подробное решение:

1) Поместим начало координат в точку $A(0;0;0)$ . Направим ось $Ox$ вдоль $AB$ , ось $Oy$ — вдоль $AD$ , ось $Oz$ — вдоль $AA_1$ .

2) Найдем координаты вершины $B$ и точек плоскости $ACD_1$ :
• Точка $B(1; 0; 0)$ ;
• Точка $A(0; 0; 0)$ , точка $C(1; 1; 0)$ , точка $D_1(0; 1; 1)$ .

3) Составим общее уравнение плоскости $ACD_1$ :
Так как плоскость проходит через $A(0;0;0)$ , свободный член $D = 0 \implies Ax + By + Cz = 0$ .
• Подставим $C(1; 1; 0) \implies A \cdot 1 + B \cdot 1 = 0 \implies A = -B$ ;
• Подставим $D_1(0; 1; 1) \implies B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \implies C = -B$ .
Положим $B = -1$ , тогда $A = 1, C = 1$ .
Уравнение плоскости: $x - y + z = 0$ .

4) Вычислим расстояние от точки $B(1; 0; 0)$ по формуле:
$d = \dfrac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Пример 2: Расстояние от точки до плоскости в пирамиде (Метод объёмов)

Задание: В правильной треугольной пирамиде $SABC$ стороны основания равны $6$ , а боковые рёбра равны $\sqrt{21}$ . Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ .

Подробное решение:

1) Рассмотрим пирамиду $SABC$ (она же $ASBC$ ). Найдём её объём $V$ :
• Площадь правильного треугольника основания $ABC$ : $S_{\triangle ABC} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ .
• Радиус описанной окружности основания $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ .
• Высота пирамиды $SO = \sqrt{SA^2 - R^2} = \sqrt{21 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3$ .
• Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ .

2) Найдем площадь грани $SBC$ :
• Граница $SBC$ — равнобедренный треугольник со сторонами $\sqrt{21}, \sqrt{21}, 6$ .
• Вычислим высоту $SK$ , проведённую к основанию $BC = 6$ (точка $K$ — середина $BC$ ):
$SK = \sqrt{SB^2 - BK^2} = \sqrt{21 - 3^2} = \sqrt{21 - 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .
• Площадь грани: $S_{\triangle SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ .

3) Найдем искомое расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $SBC$ через объём:
$V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle SBC} \cdot h \implies 9\sqrt{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot h \implies 9\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h \implies h = 4{,}5$ .

Ответ: $4{,}5$ .

Тренажёры по теме «Расстояние от точки до плоскости» на Экзамео

Закрепите классический и координатный методы вычисления расстояния от точки до плоскости на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все стереометрические карточки, тесты и задачи по теме «Расстояние от точки до плоскости» за 10 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО и материалами КИМ профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни вариантов задач в кубе, призме и пирамиде с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии за 10 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за контрольные работы!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы