Уравнение плоскости в пространстве: общее уравнение, построение и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Уравнение плоскости в пространстве» для 11 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь старшеклассникам освоить векторно-координатный метод стереометрии, научиться составлять общее уравнение плоскости по вектору нормали или трём точкам, вычислять расстояния и углы в пространстве и без ошибок решать Задание 13 профильного ЕГЭ по математике.

Составление уравнения плоскости — ключевой элемент координатного метода в пространстве. В отличие от планиметрии, где линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую, в пространственной системе координат $Oxyz$ любое линейное уравнение с переменными $x, y, z$ задаёт двумерную плоскость.

Теоретический справочник: уравнение плоскости в пространстве $Oxyz$

Рассмотрите общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов, вектор нормали и способы построения плоскости через точки.

Общее уравнение плоскости и вектор нормали

Общее уравнение плоскости

В прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$ общее уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа $A, B, C$ не равны нулю одновременно ( $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$ ).

Геометрический смысл коэффициентов A, B, C:

Коэффициенты $(A; B; C)$ при переменных $x, y, z$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ — ненулевого вектора, перпендикулярного данной плоскости!

Частные случаи общего уравнения плоскости:

• Если $D = 0$ ( $Ax + By + Cz = 0$ ), плоскость проходит через начало координат $(0; 0; 0)$ .

• Если $A = 0$ ( $By + Cz + D = 0$ ), плоскость параллельна оси $Ox$ .

• Если $B = 0$ ( $Ax + Cz + D = 0$ ), плоскость параллельна оси $Oy$ .

• Если $C = 0$ ( $Ax + By + D = 0$ ), плоскость параллельна оси $Oz$ .

• Уравнения координатных плоскостей: $Oxy \implies z = 0$ ; $Oxz \implies y = 0$ ; $Oyz \implies x = 0$ .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

Если известна точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ , лежащая на плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ , уравнение плоскости записывается в виде:

Уравнение плоскости через точку и вектор нормали 🎯

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

При раскрытии скобок и обозначении $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$ получаем общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Через три точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ , $M_2(x_2; y_2; z_2)$ и $M_3(x_3; y_3; z_3)$ , не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Её уравнение задаётся матричным определителем $3 \times 3$ :

Формула через определитель матрицы:

\begin{vmatrix} x - x_1 &amp; y - y_1 &amp; z - z_1 \\ x_2 - x_1 &amp; y_2 - y_1 &amp; z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 &amp; y_3 - y_1 &amp; z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

Также коэффициенты $A, B, C, D$ можно найти, подставив координаты $3$ точек в систему $3$ уравнений:

\begin{cases} Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0, \\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0, \\ Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0. \end{cases}

Формула расстояния от точки до плоскости! 💡

Расстояние $d$ от любой точки $K(x_k; y_k; z_k)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Эта формула спасет вас в Задании 13 профильного ЕГЭ при вычислении расстояний от вершины до секущей плоскости!

Пошаговый алгоритм составления уравнения плоскости

При решении стереометрических задач координатным методом придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Введение системы координат $Oxyz$ : выберите удобное начало координат (вершину куба, призмы или пирамиды) и найдите координаты $3$ точек плоскости.

Составьте систему или определитель: подставьте координаты $3$ точек в уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ .

Найдите коэффициенты и вектор нормали: выразите $A, B, C$ через свободный член $D$ , сократите его и запишите общее уравнение плоскости.

Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения задач, характерных для Задания 13 профильного ЕГЭ по математике.

Пример 1: Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

Задание: Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(1; 0; 2)$ , $M_2(2; 1; 0)$ и $M_3(0; 2; 1)$ .

Подробное решение:

1) Подставим координаты точек в общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ :
• $M_1(1; 0; 2) \implies A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 2 + D = 0 \implies A + 2C + D = 0$ ;
• $M_2(2; 1; 0) \implies 2A + B + D = 0$ ;
• $M_3(0; 2; 1) \implies 2B + C + D = 0$ .

2) Положим $D = -3$ (выберем удобную константу) и решим систему:
• Из первого уравнения: $A + 2C = 3 \implies A = 3 - 2C$ ;
• Из второго уравнения: $2A + B = 3 \implies B = 3 - 2A = 3 - 2(3 - 2C) = 4C - 3$ ;
• Из третьего уравнения: $2B + C = 3 \implies 2(4C - 3) + C = 3 \implies 9C - 6 = 3 \implies 9C = 9 \implies C = 1$ .

3) Найдем оставшиеся коэффициенты:
$A = 3 - 2 \cdot 1 = 1$ ;
$B = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ ;
$C = 1$ , $D = -3$ .

4) Запишем общее уравнение плоскости: $x + y + z - 3 = 0$ .

Ответ: $x + y + z - 3 = 0$ .

Пример 2: Расстояние от точки до плоскости (Задание 13 ЕГЭ)

Задание: Найдите расстояние от точки $P(2; -1; 4)$ до плоскости, заданной уравнением $2x - 2y + z + 3 = 0$ .

Подробное решение:

1) Из уравнения плоскости $2x - 2y + z + 3 = 0$ имеем коэффициенты:
$A = 2, B = -2, C = 1, D = 3$ .

2) Воспользуемся формулой расстояния $d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ :
$d = \dfrac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$ .

3) Вычислим значение в числителе и знаменателе:
Числитель: $|4 + 2 + 4 + 3| = |13| = 13$ ;
Знаменатель: $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ .

4) Получаем расстояние: $d = \dfrac{13}{3} = 4\dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $4\dfrac{1}{3}$ .

Тренажёры по теме «Уравнение плоскости» на Экзамео

Закрепите векторы и составление уравнений плоскостей на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все стереометрические карточки, тесты и задачи координатного метода по теме «Уравнение плоскости в пространстве» за 11 класс составлены строго в соответствии с актуальным банком заданий ФИПИ и КИМ профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни прототипов Задания 13 с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии за 11 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и гарантированно получайте максимальные баллы на ЕГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Теоретический справочник: уравнение плоскости в пространстве OxyzOxyzOxyz