Уравнение плоскости в пространстве: общее уравнение, построение и задачи

На этой странице представлен полный справочник по теме «Уравнение плоскости в пространстве» для 11 класса, который призван помочь научиться составлять общее уравнение плоскости по вектору нормали или трём точкам, вычислять расстояния и углы в пространстве и без ошибок решать стереометрические задачи в 11 классе или на профильном ЕГЭ по математике с использованием метода координат.

Составление уравнения плоскости — ключевой элемент координатного метода в пространстве. В отличие от планиметрии, где линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую, в пространственной системе координат $Oxyz$ любое линейное уравнение с переменными $x, y, z$ задаёт двумерную плоскость.

Теоретический справочник: уравнение плоскости в пространстве

Рассмотрим общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов, вектор нормали или по-другому нормальный и способы построения плоскости через 3 точки. Все это можно использовать при решении сложных сетереометрических задач на углы между плоскостями, на расстояние от точки до плоскости, на угол между прямой и плоскостью.

Общее уравнение плоскости и вектор нормали

Общее уравнение плоскости

В прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$ общее уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа $A, B, C$ не равны нулю одновременно ( $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$ ).

Геометрический смысл коэффициентов A, B, C:

Коэффициенты $(A; B; C)$ при переменных $x, y, z$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ — ненулевого вектора, перпендикулярного данной плоскости!

Частные случаи общего уравнения плоскости:

Если $D = 0$

Ax + By + Cz = 0

плоскость проходит через начало координат $(0; 0; 0)$

Если $A = 0$

By + Cz + D = 0

плоскость параллельна оси $Ox$ .

Если $B = 0$

Ax+Cz+D=0

плоскость параллельна оси $Oy$ .

Если $\text{С}=0$

Ax+By+D=0

плоскость параллельна оси $Oz$ .

Уравнения координатных плоскостей:

$Oxy \implies z = 0$ ; $Oxz \implies y = 0$ ; $Oyz \implies x = 0$ .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

Если известна точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ , лежащая на плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ , уравнение плоскости записывается в виде:

Уравнение плоскости через точку и вектор нормали 🎯

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

При раскрытии скобок и обозначении $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$ получаем общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Через три точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ , $M_2(x_2; y_2; z_2)$ и $M_3(x_3; y_3; z_3)$ , не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Уравнение плоскости через 3 точки - самый популярный способ найти уравнение плоскости при решении стереометрических задач координатным способом в 11 классе и во второй части ЕГЭ по математике,

Её уравнение задаётся матричным определителем $3 \times 3$ или при помощи системы уравнений

Формула через определитель матрицы:

\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0

Формула через систему уравнений

\begin{cases} Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0, \\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0, \\ Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0. \end{cases}

В основном на ЕГЭ по математике пользуются системой уравнений, но её решение может занимать много времени. Последние года практика показывает, что стереометрия во второй части специально такая, чтобы она сложно решалась через системы уравнений, поэтому дополнительно советуем разобраться в теме: Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы - это поможет быстрее находить коэффициенты.

Давайте рассмотрим примеры, как найти уравнение плоскости, зная 3 точки, принадлежащие этой плоскости.

Пример 1: Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

Задание: Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(1; 0; 2)$ , $M_2(2; 1; 0)$ и $M_3(0; 2; 1)$ .

Подробное решение:

1) Подставим координаты точек в общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ :
• $M_1(1; 0; 2) \implies A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 2 + D = 0 \implies A + 2C + D = 0$ ;
• $M_2(2; 1; 0) \implies 2A + B + D = 0$ ;
• $M_3(0; 2; 1) \implies 2B + C + D = 0$ .

2) Положим $D = -3$ (выберем удобную константу) и решим систему:
• Из первого уравнения: $A + 2C = 3 \implies A = 3 - 2C$ ;
• Из второго уравнения: $2A + B = 3 \implies B = 3 - 2A = 3 - 2(3 - 2C) = 4C - 3$ ;
• Из третьего уравнения: $2B + C = 3 \implies 2(4C - 3) + C = 3 \implies 9C - 6 = 3 \implies 9C = 9 \implies C = 1$ .

3) Найдем оставшиеся коэффициенты:
$A = 3 - 2 \cdot 1 = 1$ ;
$B = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ ;
$C = 1$ , $D = -3$ .

4) Запишем общее уравнение плоскости: $x + y + z - 3 = 0$ .

Ответ: $x + y + z - 3 = 0$ .

Для чего нужно уравнение плоскости?

Уравнение плоскости позволяет значительно упростить доказательную часть в стереометрии благодаря тому, что уравнение плоскости и координатный метод переводят геометрическую задачу на строгий язык линейной алгебры. Это даёт возможность заменить сложные логические рассуждения о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей формализованными вычислительными алгоритмами.

Простыми словами это означает, что если вы решаете задачу при помощи координатного метода можно упустить доказательство взаимного расположения прямых и плоскостей - вместо этого у вас есть координаты.

Помимо всего вышеперечисленного уравнение плоскости позволяет пользоваться следующими формулами:

Угол между прямой и плоскостью

\sin \alpha = \frac{|A l + B m + C n|} {\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Где A,B,C - коэффициенты из уравнения плоскости, а l,m,n - координаты направляющего вектора прямой

Угол между плоскостями

\cos \varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|} {\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

где $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ - коэффициенты из уравнений двух плоскостей
(координаты нормальных векторов)

Параллельность плоскостей

\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}

где $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ - коэффициенты из уравнений двух плоскостей
(координаты нормальных векторов)

Формула расстояния от точки до плоскости! 💡

Расстояние $d$ от любой точки $K(x_k; y_k; z_k)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Эта формула - одна из главных причин, почему используют метод координат при решении второй части ЕГЭ по математике. Она позволяет быстро находить расстояние от вершины до секущей плоскости!

Рассмотрим пример как найти расстояние от точки с известными координатами, до плоскости с известным уравнением

Пример 2: Расстояние от точки до плоскости

Задание: Найдите расстояние от точки $P(2; -1; 4)$ до плоскости, заданной уравнением $2x - 2y + z + 3 = 0$ .

Подробное решение:

1) Из уравнения плоскости $2x - 2y + z + 3 = 0$ имеем коэффициенты:
$A = 2, B = -2, C = 1, D = 3$ .

2) Воспользуемся формулой расстояния $d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ :
$d = \dfrac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$ .

3) Вычислим значение в числителе и знаменателе:
Числитель: $|4 + 2 + 4 + 3| = |13| = 13$ ;
Знаменатель: $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ .

4) Получаем расстояние: $d = \dfrac{13}{3} = 4\dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $4\dfrac{1}{3}$ .

Пошаговый алгоритм составления уравнения плоскости

При решении задач с уравнением плоскости в 11 классе или во второй части профильного ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Введение системы координат $Oxyz$ : выберите удобное начало координат (вершину куба, призмы или пирамиды) и найдите координаты $3$ точек плоскости.

Составьте систему или определитель: подставьте координаты $3$ точек в уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ .

Найдите коэффициенты и вектор нормали: выразите $A, B, C$ через свободный член $D$ , сократите его и запишите общее уравнение плоскости.

Тренажёры по теме «Уравнение плоскости» на Экзамео

Закрепите теорию по уравнениям плоскостей на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе Экзамео. Все задания по теме «Уравнение плоскости в пространстве» за 11 класс составлены строго в соответствии с актуальным банком заданий ФИПИ профильного ЕГЭ по математике и школьной программе. К каждому заданию вы найдете подробное решение с объяснениями, которое позволит лучше разобраться в теме.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы