Теорема о трёх перпендикулярах - доказательство и задачи

Формулировка и доказательство, прямая и обратная теорема, применение для нахождения расстояний и углов.

Карта темы

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП) в курсе геометрии 10 класса — одна из самых востребованных теорем школьной стереометрии. Она служит главным мостом между планиметрией плоского чертежа и трёхмерным пространством.

На странице разбираем теорему - формулировки прямой и обратной теорем с доказательством, порядок действий при решении задач, пять разобранных прототипов и тренажёры с подробными решениями с проверкой ответов.

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая и обратная формулировки

Прямая теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной, перпендикулярна и к её проекции на эту плоскость.

Элементы на чертеже:

1. Перпендикуляр к плоскости ( $AH$ ): отрезок, соединяющий точку $A$ вне плоскости с точкой $H$ на плоскости $\alpha$ , причём $AH \perp \alpha$ . Точка $H$ называется основанием перпендикуляра (часто это высота пирамиды или призмы).

2. Наклонная ( $AM$ ): отрезок, соединяющий точку $A$ с любой другой точкой $M$ плоскости $\alpha$ ( $M \neq H$ ). Точка $M$ называется основанием наклонной.

3. Проекция наклонной ( $HM$ ): отрезок на плоскости $\alpha$ , соединяющий основание перпендикуляра $H$ и основание наклонной $M$ . Это ортогональная «тень» наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$ .

4. Прямая в плоскости ( $c$ ): прямая, целиком лежащая в плоскости $\alpha$ ( $c \subset \alpha$ ) и проходящая через основание наклонной — точку $M$ .

Почему теорема называется теоремой о трёх перпендикулярах?

В ней участвуют ровно три перпендикуляра:

$AH \perp \alpha$ — перпендикуляр к плоскости (обязательное условие);

$c\perp HM$ — перпендикуляр в плоскости между прямой и проекцией;

$c\perp AM$ — перпендикуляр в пространстве между прямой и наклонной.

Суть ТТП в краткой логической записи: при условии $AH\perp\alpha$ и $c\subset\alpha$ справедливо отношение равносильности:

c\perp HM\iff c\perp AM

Строгое доказательство прямой и обратной теорем о трёх перпендикулярах

Оба доказательства опираются на признак перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости):

Доказательство прямой теоремы ( $c \perp HM \implies c \perp AM$ ):

1. По условию отрезок $AH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ ( $AH \perp \alpha$ ). По определению перпендикулярности прямой и плоскости прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ( $c \subset \alpha$ ), то:

c \perp AH

2. По условию прямой теоремы прямая $c$ перпендикулярна проекции $HM$ ( $c \perp HM$ ).

3. Рассмотрим плоскость треугольника $(AHM)$ , образованную наклонной $AM$ , её проекцией $HM$ и перпендикуляром $AH$ . Прямые $AH$ и $HM$ лежат в этой плоскости и пересекаются в точке $H$ ( $AH \cap HM = H$ ).

4. Прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $HM$ плоскости $(AHM)$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $c$ перпендикулярна всей плоскости треугольника:

c \perp (AHM)

5. Так как прямая $c$ перпендикулярна плоскости $(AHM)$ , она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Наклонная $AM$ целиком лежит в плоскости $(AHM)$ ( $AM \subset (AHM)$ ). Следовательно:

c \perp AM

Прямая теорема доказана.

Доказательство обратной теоремы ( $c \perp AM \implies c \perp HM$ ):

1. Так как $AH \perp \alpha$ и $c \subset \alpha$ , то прямая $c$ перпендикулярна прямой $AH$ ( $c \perp AH$ ).

2. По условию обратной теоремы прямая $c$ перпендикулярна наклонной $AM$ ( $c \perp AM$ ).

3. Прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $AM$ плоскости $(AHM)$ ( $AH \cap AM = A$ ).

4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $c$ перпендикулярна всей плоскости $(AHM)$ : $c \perp (AHM)$ .

5. Проекция $HM$ лежит в плоскости $(AHM)$ . Значит, прямая $c$ перпендикулярна проекции $HM$ ( $c \perp HM$ ). Обратная теорема доказана.

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Сравнение прямой и обратной теорем

Понимание того, какую из двух теорем применять в конкретной задаче, определяется направлением логического перехода:

Теорема

Что известно в условии (Дано)

Какой вывод получаем

Типовая учебная ситуация

Прямая ТТП

$AH \perp \alpha$ , $c \subset \alpha$ и прямая перпендикулярна проекции: $c \perp HM$ .

Прямая перпендикулярна наклонной: $c \perp AM$ .

В основании пирамиды опускают высоту $HM \perp c$ на сторону, а по ТТП заключают, что апофема $AM$ перпендикулярна стороне ( $AM \perp c$ ).

Обратная ТТП

$AH \perp \alpha$ , $c \subset \alpha$ и прямая перпендикулярна наклонной: $c \perp AM$ .

Прямая перпендикулярна проекции: $c \perp HM$ .

Известно, что грань наклонена под прямым углом к ребру или дана высота боковой грани, а требуется доказать перпендикулярность радиуса или высоты основания.

Для чего ТТП применяется в стереометрии и на ЕГЭ

Теорема о трёх перпендикулярах помогает вычислять элементы в задания и решать задачи на доказательства в следующих разделах:

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Чтобы найти расстояние от вершины $A$ до прямой $c$ на плоскости основания, не нужно строить наклонный перпендикуляр вслепую. Сначала опускают высоту $AH$ на плоскость, затем строят перпендикуляр $HM \perp c$ в плоскости основания. Длина наклонной $AM$ по ТТП и будет точным расстоянием от точки $A$ до прямой $c$ .

Построение линейного угла двугранного угла

Двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды измеряется его линейным углом. Если $HM \perp c$ в основании, то по ТТП $AM \perp c$ в грани. Лучи $AM$ и $HM$ образуют угол $\angle AMH$ , который является строгим линейным углом двугранного угла при ребре $c$ .

Перпендикулярность скрещивающихся прямых (ЕГЭ №14)

В пункте (а) стереометрической задачи №14 часто требуют доказать перпендикулярность скрещивающихся прямых (например, бокового ребра и стороны основания). По ТТП достаточно доказать, что прямая основания перпендикулярна проекции этого ребра на основание.

Связь апофемы и радиуса вписанной окружности

В правильной пирамиде высота падает в центр основания $O$ . Отрезок $OM \perp c$ равен радиусу вписанной окружности $r$ . По ТТП отрезок $SM$ (апофема) перпендикулярен ребру основания $c$ , образуя прямоугольный треугольник $\Delta SOM$ : $h_a^2 = H^2 + r^2$ .

Алгоритм применения теоремы о трёх перпендикулярах

При решении стереометрических задач на доказательство перпендикулярности или поиск расстояний важно не пытаться проводить наклонные отрезки наугад, а последовательно выстроить цепочку из четырёх геометрических элементов:

Определите базовую плоскость и прямую в ней: зафиксируйте плоскость $\alpha$ (часто это плоскость основания фигуры) и прямую $c$ , лежащую в этой плоскости ( $c \subset \alpha$ ).

Найдите или опустите перпендикуляр к плоскости: найдите отрезок $AH$ , перпендикулярный плоскости $\alpha$ ( $AH \perp \alpha$ ), где точка $H$ — его основание на плоскости.

Проведите перпендикуляр к прямой в плоскости основания: из основания перпендикуляра $H$ опустите перпендикуляр $HM$ на прямую $c$ ( $HM \perp c$ ). Отрезок $HM$ является проекцией будущей наклонной.

Соедините точки $A$ и $M$ и примените ТТП: проведите наклонную $AM$ . Так как проекция $HM \perp c$ , то по прямой теореме о трёх перпендикулярах наклонная перпендикулярна прямой: $AM \perp c$ . Отрезок $AM$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $c$ .

Вычислите искомую величину по теореме Пифагора: в получившемся прямоугольном треугольнике $\Delta AHM$ ( $\angle AHM = 90^\circ$ ) свяжите катеты $AH$ , $HM$ и гипотенузу $AM$ : $AM = \sqrt{AH^2 + HM^2}$ .

Задачи на теорему о трёх перпендикулярах с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, встречающихся в самостоятельных работах 10 класса и в экзаменационных КИМах ЕГЭ.

Нахождение расстояния от точки до стороны правильного треугольника

Условие: Из вершины $A$ равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $6\text{ см}$ восстановлен перпендикуляр $AK$ к плоскости треугольника длиной $4\text{ см}$ . Найдите расстояние от точки $K$ до противоположной стороны $BC$ .

Пошаговое решение:

1) Построим проекцию и наклонную:
• По условию отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости треугольника ( $AK \perp (ABC)$ ). Точка $A$ — основание перпендикуляра.
• Проведём в плоскости треугольника высоту $AM$ к стороне $BC$ ( $AM \perp BC$ ). Так как треугольник $ABC$ равносторонний, высота $AM$ является также медианой ( $M$ — середина стороны $BC$ ).
• Соединим точки $K$ и $M$ отрезком $KM$ . Отрезок $KM$ — наклонная, а отрезок $AM$ — её проекция на плоскость $(ABC)$ .

2) Применим прямую теорему о трёх перпендикулярах:
Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна проекции $AM$ ( $BC \perp AM$ ).
По теореме о трёх перпендикулярах прямая $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $KM$ :

KM \perp BC

Следовательно, длина отрезка $KM$ является искомым расстоянием от точки $K$ до прямой $BC$ .

3) Вычислим длину проекции $AM$ :
В правильном треугольнике со стороной $a = 6\text{ см}$ высота равна:

AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ см}

4) Найдём длину наклонной $KM$ :
Так как $AK \perp (ABC)$ , треугольник $\Delta KAM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle KAM = 90^\circ$ .
По теореме Пифагора:

KM = \sqrt{AK^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 27} = \sqrt{43}\text{ см}

Ответ: $\sqrt{43}\text{ см}$ .

Доказательство перпендикулярности скрещивающихся рёбер пирамиды (прототип Задания 14 ЕГЭ)

Условие: В пирамиде $SABCD$ основанием служит ромб $ABCD$ . Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей ромба $O$ . Докажите, что боковое ребро $SA$ перпендикулярно стороне основания $BD$ .

Пошаговое доказательство:

1) Выделим перпендикуляр и наклонную:
• Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания ромба: $SO \perp (ABCD)$ . Точка $O$ — основание перпендикуляра.
• Отрезок $SA$ — наклонная к плоскости основания, точка $A$ — основание наклонной.
• Отрезок $OA$ — ортогональная проекция наклонной $SA$ на плоскость основания $(ABCD)$ .

2) Исследуем взаимное расположение в плоскости основания:
В основании пирамиды лежит ромб $ABCD$ . По фундаментальному свойству ромба его диагонали взаимно перпендикулярны:

AC \perp BD \implies OA \perp BD

Прямая $BD$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $OA$ .

3) Применим прямую теорему о трёх перпендикулярах:
Прямая $BD$ проходит через основание наклонной $A$ (диагональ содержит прямую $OA$ ) и перпендикулярна проекции $OA$ .
По теореме о трёх перпендикулярах прямая $BD$ перпендикулярна и самой наклонной $SA$ :

SA \perp BD

Утверждение полностью доказано.

Применение обратной теоремы о трёх перпендикулярах в прямоугольном треугольнике

Условие: Точка $D$ не лежит в плоскости прямоугольного треугольника $ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ). Отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ . Известно, что $AC = 8$ , $BC = 6$ , $DA = 6$ . Докажите, что треугольник $DBC$ является прямоугольным, и найдите его площадь.

Пошаговое решение:

1) Докажем, что $\angle DCB = 90^\circ$ по теореме о трёх перпендикулярах:
• Отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника ( $DA \perp (ABC)$ ).
• Отрезок $DC$ — наклонная, проведённая к плоскости $(ABC)$ , а точка $C$ — её основание.
• Отрезок $AC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$ .
• Прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника и перпендикулярна проекции $AC$ (так как по условию треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$ , то $BC \perp AC$ ).
• По прямой теореме о трёх перпендикулярах прямая $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $DC$ :

BC \perp DC \implies \angle DCB = 90^\circ

Следовательно, треугольник $\Delta DBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ .

2) Найдём длину катета $DC$ :
В прямоугольном треугольнике $\Delta DAC$ ( $\angle DAC = 90^\circ$ ):

DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

3) Вычислим площадь прямоугольного треугольника $\Delta DBC$ :
Катетами треугольника служат отрезки $DC = 10$ и $BC = 6$ :

S_{\Delta DBC} = \dfrac{1}{2} \cdot DC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30

Ответ: доказано; площадь равна $30$ .

Нахождение линейного угла двугранного угла пирамиды через ТТП

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$ , а высота пирамиды $SO = 3\sqrt{3}$ . Найдите величину двугранного угла при ребре основания $AB$ .

Пошаговое решение:

1) Построим линейный угол с помощью ТТП:
• Высота $SO \perp (ABC)$ , где точка $O$ — центр квадратного основания $ABCD$ .
• Опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на сторону $AB$ ( $OM \perp AB$ ). В квадрате отрезок, проведённый из центра перпендикулярно стороне, попадает в её середину: $AM = MB = 3$ , а его длина равна половине стороны: $OM = \dfrac{a}{2} = 3$ .
• Соединим вершину $S$ с точкой $M$ отрезком $SM$ . Отрезок $SM$ — наклонная, а $OM$ — её проекция.
• По прямой теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $OM \perp AB$ , то и наклонная $SM \perp AB$ .
• Лучи $SM \subset (SAB)$ и $OM \subset (ABC)$ перпендикулярны ребру $AB$ в одной точке $M$ . Следовательно, угол $\angle SMO = \varphi$ является линейным углом искомого двугранного угла.

2) Вычислим величину угла из прямоугольного треугольника $\Delta SOM$ :
Треугольник $\Delta SOM$ прямоугольный ( $\angle SOM = 90^\circ$ ). Катеты равны $SO = 3\sqrt{3}$ и $OM = 3$ .
Найдём тангенс угла $\varphi$ :

\tan\varphi = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}

3) Так как $\tan\varphi = \sqrt{3}$ , то:

\varphi = 60^\circ

Ответ: $60^\circ$ .

Расстояние от вершины куба до скрещивающейся диагонали грани

Условие: В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $4$ найдите расстояние от вершины $B_1$ до диагонали основания $AC$ .

Пошаговое решение:

1) Построим перпендикуляр и проекцию:
• Боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости основания: $B_1B \perp (ABCD)$ . Точка $B$ — основание перпендикуляра.
• Проведём из точки $B$ перпендикуляр к диагонали $AC$ . В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам, поэтому $BO \perp AC$ .
• Отрезок $B_1O$ — наклонная, а отрезок $BO$ — её проекция на плоскость $(ABCD)$ .

2) Применим прямую теорему о трёх перпендикулярах:
Прямая $AC$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $BO$ ( $AC \perp BO$ ).
По теореме о трёх перпендикулярах прямая $AC$ перпендикулярна и самой наклонной $B_1O$ :

B_1O \perp AC

Следовательно, отрезок $B_1O$ является искомым расстоянием от точки $B_1$ до диагонали $AC$ .

3) Вычислим длину проекции $BO$ :
Диагональ квадрата с ребром $a = 4$ равна $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ .
Отрезок $BO$ равен половине диагонали:

BO = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

4) Найдём длину наклонной $B_1O$ из треугольника $\Delta B_1BO$ :
Треугольник $\Delta B_1BO$ прямоугольный с прямым углом $\angle B_1BO = 90^\circ$ .
Катеты равны $B_1B = 4$ и $BO = 2\sqrt{2}$ . По теореме Пифагора:

B_1O = \sqrt{B_1B^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}

Ответ: $2\sqrt{6}$ .

Типичные ошибки в теореме о трёх перпендикулярах

При применении теоремы о трёх перпендикулярах на контрольных работах и ЕГЭ чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Проведение прямой через точку H вместо точки M

Пытаются применить ТТП к прямой, которая проходит через основание перпендикуляра $H$ , а не через основание наклонной $M$ .

По формулировке теоремы прямая $c$ обязана проходить строго через основание наклонной — точку $M$ ( $c \cap HM = M$ ).

Отрезок AH не перпендикулярен плоскости

Используют ТТП, считая отрезок $AH$ высотой, не доказав предварительно, что $AH \perp \alpha$ .

Если отрезок $AH$ не перпендикулярен плоскости (например, является наклонным ребром), теорема о трёх перпендикулярах не работает! Всегда сначала доказывайте $AH \perp \alpha$ .

Прямая не лежит в базовой плоскости

Берут прямую $c$ , которая проходит через точку $M$ , но не лежит в плоскости $\alpha$ , а уходит в пространство под углом.

Прямая $c$ обязана целиком принадлежать плоскости проекции $\alpha$ ( $c \subset \alpha$ ).

Ложное падение проекции в середину стороны

Считают, что проекция $HM$ всегда делит сторону основания $BC$ пополам.

Отрезок $HM$ попадает в середину стороны только в равнобедренных и правильных треугольниках. В произвольном или прямоугольном треугольнике высота $HM$ не является медианой.

Задания на тему «Теорема о трёх перпендикулярах» для 10 класса

Тренажёры по теме «Теорема о трёх перпендикулярах» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Где теорема о трёх перпендикулярах применяется в реальной жизни

Теорема о трёх перпендикулярах — это фундаментальный геометрический инструмент инженеров-проектировщиков, строителей и специалистов по 3D-графике, позволяющий рассчитывать пространственные траектории через их плоские проекции:

Монтаж стропильных систем

При монтаже наклонных стропил крыши плотники размечают опорные брусья на горизонтальном перекрытии. По ТТП перпендикулярность стропильной ноги к коньковому брусу гарантируется, если её проекция на чердачное перекрытие перпендикулярна коньку.

Линии стока на насыпях

Вода стекает по наклонной насыпи автодороги по линии наибольшего ската. По ТТП линия наибольшего наклона наклонной плоскости к горизонту перпендикулярна горизонталям рельефа, что позволяет инженерам рассчитывать положение водоотводных лотков.

Юстировка солнечных батарей

Чтобы наклонная солнечная батарея вырабатывала максимум энергии в полдень, опорная стойка выставляется по ТТП: перпендикуляр к карнизу панели на плоскости земли ориентируют строго по оси «север — юг», обеспечивая перпендикулярность панели солнечным лучам.

Проектирование пандусов, трассировка трубопроводов и 3D-рендеринг

1. Проектирование съездов и пандусов подземных парковок: При заезде автомобиля на наклонный пандус колёса должны плотно прилегать к дорожному полотну без бокового сползания. Проектировщики рассчитывают угол наклона бордюра по ТТП: линия бортового камня на наклонном спуске перпендикулярна поперечной колее автомобиля только тогда, когда её горизонтальная проекция перпендикулярна оси въезда.

2. Прокладка напорных нефтепроводов на склонах гор: На горных участках трубопровод крепят на анкерные опоры. Чтобы исключить опасные крутящие моменты от веса трубы, хомуты опор ориентируют строго перпендикулярно оси трубы. По теореме о трёх перпендикулярах монтажные риски на бетонных фундаментах наносят по перпендикуляру к проекции оси газопровода на горизонтальную плоскость.

3. Алгоритмы расчёта теней в видеокартах (3D Shadow Mapping): В компьютерной графике при расчёте тени от наклонного объекта виртуальный источник света проецирует вектор на поверхность земли. Графический процессор по уравнениям ТТП мгновенно определяет границу падения луча и строит реалистичные резкие тени без искажения контуров полигонов.

Связанные темы

Признак перпендикулярности двух плоскостейЕсли одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.Открыть тему Признак перпендикулярности прямой и плоскостиЕсли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.Открыть тему Аксиомы стереометрииОсновные аксиомы: через любые три точки — плоскость, если две точки прямой в плоскости — то вся прямая в ней, если две плоскости имеют общую точку — то пересекаются по прямой.Открыть тему Двугранный уголОпределение (фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей), линейный угол двугранного угла, градусная мера.Открыть тему

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая и обратная формулировки

Сравнение прямой и обратной теорем

Для чего ТТП применяется в стереометрии и на ЕГЭ

Алгоритм применения теоремы о трёх перпендикулярах

Задачи на теорему о трёх перпендикулярах с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в теореме о трёх перпендикулярах

Задания на тему «Теорема о трёх перпендикулярах» для 10 класса

Задачи сейчас заполняются

Где теорема о трёх перпендикулярах применяется в реальной жизни

Рекомендуем изучить вместе с этой темой