Логарифмы в 10 классе: определение, свойства, формулы и примеры решений

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Логарифмы» для учащихся 10 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь десятиклассникам раз и навсегда разобраться в понятии логарифма, освоить логику его вычисления без заучивания сложных формул, выучить все свойства и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ по математике.

Логарифмы часто вызывают у школьников страх из-за непривычной записи. Однако на самом деле логарифм — это всего лишь обратная операция к возведению в степень. Понимание этой простой идеи открывает ключ к решению показательных и логарифмических уравнений, неравенств и заданий профильного ЕГЭ по математике.

Что такое логарифм? Понятное определение для 10 класса

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$ ) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$ , чтобы получить число $b$ .

$\log_a b = c \iff a^c = b$

• $a$ — основание логарифма ( $a > 0, a \neq 1$ );
• $b$ — подлогарифмическое выражение ( $b > 0$ );
• $c$ — сам логарифм (степень).

---

💡 Как нужно объяснять себе логарифм? Простой пример

Когда вы видите запись $\log_2 8$ , задавайте себе один-единственный простой вопрос:

«В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8?»

Поскольку $2^3 = 8$ , то ответ очевиден: $\log_2 8 = 3$ .

Ещё пару наглядных примеров для закрепления этой внутренней логики:
• $\log_3 81 = 4$ , потому что $3^4 = 81$ ;
• $\log_5 5 = 1$ , потому что $5^1 = 5$ ;
• $\log_{10} 1 = 0$ , потому что любое число в степени 0 дает 1 ( $10^0 = 1$ ).

Зачем изобрели логарифмы? История возникновения

Логарифмы были открыты в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером (1614 год) и независимо от него швейцарцем Йостом Бюрги. Причиной создания логарифмов стала бурное развитие астрономии, мореплавания и геодезии, где ученым требовалось перемножать огромные многозначные числа.

Замена умножения сложением

Главное чудо логарифмов заключается в том, что они превращают трудоемкое умножение в обычное сложение, а деление — в вычитание. Благодаря логарифмическим таблицам астрономы сэкономили месяцы рутинных расчетов. Вольтер писал, что «Непер удлинил жизнь астрономам, сократив их труды».

Логарифмы в природе и технике

В реальной жизни по логарифмической шкале устроены многие процессы: громкость звука в децибелах, шкала Рихтера для измерения силы землетрясений, водородный показатель кислотности pH, а также восприятие яркости света человеческим глазом.

Сводная таблица всех свойств логарифмов

Ниже приведена полная таблица свойств, необходимая для преобразования логарифмических выражений в 10 классе и Заданиях №6, 7 и 13 профильного ЕГЭ по математике ( $a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0$ ):

Название свойства

Формула

Пример применения

Основное логарифмическое тождество

$a^{\log_a b} = b$

$5^{\log_5 7} = 7$

Логарифм единицы и основания

$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$

$\log_4 1 = 0, \quad \log_8 8 = 1$

Логарифм произведения (Сумма)

$\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$

$\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 (2 \cdot 3) = 1$

Логарифм частного (Разность)

$\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$

$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 (48 : 3) = \log_2 16 = 4$

Вынос степени из подлогарифмического

$\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$

$\log_3 (5^4) = 4 \log_3 5$

Вынос степени из основания

$\log_{a^q} b = \frac{1}{q} \cdot \log_a b$

$\log_{2^3} 5 = \frac{1}{3} \log_2 5$

Переход к новому основанию

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

$\frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 = 2$

Перестановка основания и аргумента

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_3 5 \cdot \log_5 3 = 1$

Пошаговый алгоритм решения логарифмических выражений

Чтобы не делать ошибок при вычислении логарифмов на самостоятельных работах и экзамене, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Проверьте ОДЗ (если решаете уравнение): основание $a > 0, a \neq 1$ , подлогарифмическое число $b > 0$ .

Приведите логарифмы к одному основанию: если в выражении разные основания, используйте формулу перехода к новому основанию.

Уберите коэффициенты перед логарифмами в степени: внесите множители внутрь логарифма по формуле $p \log_a b = \log_a (b^p)$ .

Сверните сумму в произведение, а разность — в частное и вычислите итоговое число.

Типичные ошибки десятиклассников

При работе с логарифмами старшеклассники чаще всего допускают такие ошибки:

Раскрытие логарифма суммы как суммы логарифмов

Записывать $\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$ ❌. Помните: сумма логарифмов превращается в логарифм ПРОИЗВЕДЕНИЯ ( $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ ), а логарифм суммы раскладывать нельзя ✅!

Забывание переворота степени при выносе из основания

Выносить степень из основания без переворота: например, писать $\log_{a^2} b = 2 \log_a b$ ❌. Степень основания выносится в знаменатель: $\frac{1}{2} \log_a b$ ✅!

Постарайтесь обращать на это внимание при решении контрольных работ и задач ЕГЭ.

Разбор практических примеров вычисления логарифмов

Рассмотрите полные образцы решения и оформления типичных заданий из КИМов ЕГЭ и учебника 10 класса.

Пример 1: Вычисление суммы и разности логарифмов

Задание: Найдите значение выражения: $\log_5 75 - \log_5 3 + \log_2 16$ .

Подробное решение:

1) Сгруппируем первые два логарифма с одинаковым основанием 5 и применим свойство разности:

$\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25 = 2$ (так как $5^2 = 25$ ).

2) Вычислим значение второго слагаемого:

$\log_2 16 = 4$ (так как $2^4 = 16$ ).

3) Сложим полученные значения:

$2 + 4 = 6$ .

Ответ: $6$ .

Пример 2: Применение основного логарифмического тождества

Задание: Найдите значение выражения: $36^{\log_6 5 + 1}$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ :

$36^{\log_6 5 + 1} = 36^{\log_6 5} \cdot 36^1$ .

2) Представим $36$ как $6^2$ :

$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = (6^{\log_6 5})^2$ .

3) Применим основное логарифмическое тождество ( $6^{\log_6 5} = 5$ ):

$(5)^2 = 25$ .

4) Выполним итоговое умножение:

$25 \cdot 36 = 900$ .

Ответ: $900$ .

Задания и тренажёры по логарифмам на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Логарифмы» для 10 класса с подробными решениями и проверкой ответов. Задачи в тренажёрах на вычисление логарифмов и применение свойств составлены по учебникам по алгебре за 10 класс и на основании материалов открытого банка заданий ФИПИ профильного ЕГЭ по математике!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Логарифмы 10 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!