Объём конуса: формула, радиус основания, высота и задачи

На этой странице представлен теоретический и практический справочник по теме «Объём конуса» для 11 класса и подготовки к ЕГЭ по математике.

В стереометрии 11 класса конус является одним из ключевых тел вращения. Задачи, в которых конус имеет объём, вычисляется объём сосуда конуса или требуется найти объём жидкости конуса при изменении уровня наливания, гарантированно встречаются в задании первой части профильного и базового ЕГЭ по математике, а также служат основой для составных многогранников в сложной стереометрической задаче второй части.

Здесь детально разобраны базовая формула объёма через площадь основания и высоту, соотношения через радиус и образующую, практические задачи на подобие конусов и сосуды с жидкостью, а также типичные вычислительные ловушки экзамена.

После теории на странице доступны онлайн-тренажёры с подробными решениями и автоматической проверкой, с помощью которых можно отработать решение прототипов банка ФИПИ и подготовиться к контрольным работам в 11 классе.

Вспомним, что такое конус и какие в нём есть элементы

Конус (прямой круговой конус) — это геометрическое тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

• Основание конуса: круг радиуса $R$ . Площадь основания вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi R^2$ .

• Высота конуса ( $h$ ): перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания (в прямом конусе высота падает строго в центр круга основания).

• Образующая конуса ( $l$ ): отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, связанный теоремой Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$ .

На рисунке - конус с отмеченным радиусом R, высотой h и образующей l

Формулы объёма конуса

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту.

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h

В зависимости от известных элементов задачи применяются следующие варианты формул.

Формула

Математическая запись

Когда применять

Самая главная формула

Через площадь основания и высоту

$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$

Базовая формула. Применяется, если дана площадь круга основания или рассматривается общая пирамида/конус.

Через радиус основания и высоту

$V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$

Основная рабочая формула для большинства стереометрических задач профильного и базового ЕГЭ.

Через диаметр основания

$V = \dfrac{1}{12} \pi d^2 h$

Используется, если в условии указан диаметр основания $d = 2R$ . Так как $R = d/2$ , в формуле появляется коэффициент $1/12$ .

Через образующую и радиус

$V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{l^2 - R^2}$

Применяется, когда высота не задана напрямую, но известна длина образующей $l$ и радиус основания $R$ .

Через образующую и высоту

$V = \dfrac{1}{3} \pi (l^2 - h^2) h$

Используется, когда радиус основания неизвестен, но заданы высота $h$ и образующая $l$ ( $R^2 = l^2 - h^2$ ).

Как найти высоту или радиус, если объём конуса известен

В прототипах ЕГЭ по стереометрии часто встречается обратная постановка вопроса: «Конус имеет объём, равный $V$ , найдите его высоту или радиус основания». Для быстрого решения полезно уметь выражать искомую величину из основного уравнения $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ :

Как найти высоту конуса ( $h$ ) 📐

Умножаем обе части формулы на 3 и делим на площадь основания $\pi R^2$ :

h = \dfrac{3V}{\pi R^2} = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}

Правило: утроенный объём конуса делим на площадь круга в основании.

Как найти радиус основания ( $R$ ) 🔘

Умножаем обе части формулы на 3, делим на $\pi h$ и извлекаем квадратный корень:

R = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}}

Правило: утроенный объём конуса делим на высоту и число $\pi$ , затем извлекаем арифметический корень.

Разберём классическую задачу из банка заданий ЕГЭ на нахождение высоты конуса:

Пример применения: Нахождение высоты конуса по объёму и радиусу основания

Задание: Конус имеет объём, равный $48\pi$ . Радиус основания конуса равен $6$ . Найдите высоту этого конуса.

Пошаговый разбор:

1) Запишем формулу объёма конуса через радиус основания и высоту:

V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h

2) Подставим известные по условию числовые данные ( $V = 48\pi$ , $R = 6$ ):

48\pi = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot h

3) Разделим обе части равенства на число $\pi$ :

48 = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot h

4) Упростим числовой коэффициент в правой части:

48 = 12 \cdot h \implies h = \dfrac{48}{12} = 4

Ответ: $4$ .

Задачи на объём жидкости в коническом сосуде

Один из самых популярных и коварных типов задач на профильном ЕГЭ — задачи, в которых конический сосуд заполнен жидкостью до определённого уровня высоты. Ключевой математический закон здесь — свойство объёмов подобных геометрических тел.

Главный закон подобия для объёмов 💡

Если все линейные размеры одного конуса (высота, радиус основания, образующая) в $k$ раз больше соответствующих линейных размеров другого конуса, то объём большего конуса больше объёма меньшего конуса в $k^3$ (в куб коэффициента подобия) раз:

\dfrac{V_1}{V_2} = k^3 = \left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^3 = \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3

Если уровень жидкости налит до половины высоты сосуда ( $h_2 = \frac{1}{4}h_1$ ), то объём налитой жидкости составляет не половину, а всего лишь $\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$ от полного объёма сосуда!

Задачи на подобие объемов конусов - одни из прототипов 3 задания в профильном ЕГЭ по математике и 11 задания в базовом ЕГЭ по математике. Давайте разберем такой прототип с экзамена в 11 классе.

Пример применения: Расчёт объёма жидкости и долили литров в конический сосуд

Задание: В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём налитой жидкости равен $80\text{ мл}$ . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Пошаговый разбор:

1) Меньший конус, образованный налитой жидкостью, подобен большему конусу (всему сосуду), так как их осевые сечения представляют собой подобные прямоугольные треугольники.

2) Найдём коэффициент подобия сосуда и конуса жидкости по их высотам:

\dfrac{h_{\text{сосуда}}}{h_{\text{жидкости}}} = \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5

3) Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

\dfrac{V_{\text{сосуда}}}{V_{\text{жидкости}}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8}

4) Вычислим полный объём сосуда, подставив $V_{\text{жидкости}} = 80\text{ мл}$ :

V_{\text{сосуда}} = \dfrac{27}{8} \cdot 80 = 27 \cdot 10 = 270\text{ мл}

5) Найдём, сколько миллилитров жидкости необходимо долить:

V_{\text{долить}} = V_{\text{сосуда}} - V_{\text{жидкости}} = 270 - 80 = 190\text{ мл}

Ответ: $190$ .

Объём усечённого конуса

Если плоскость, параллельная основанию, пересекает конус, она отсекает от него меньший конус, оставляя фигуру, которая называется усечённым конусом. Усечённый конус имеет два параллельных круговых основания с радиусами $R_1$ и $R_2$ , а также высоту $h$ между их плоскостями.

Формула объёма усечённого конуса:

V = \dfrac{1}{3} \pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)

Или через площади нижнего и верхнего оснований $S_1$ и $S_2$ :

V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)

Совет для экзамена: в задачах ЕГЭ часто проще не заучивать громоздкую формулу усечённого конуса, а находить его объём как разность объёмов исходного большого конуса и отсечённого верхнего малого конуса: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{бол}} - V_{\text{мал}}$ .

Объём конуса, вписанного в цилиндр

Один из видов задач на стереометрию в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня связаны с картинкой, в которой конус вписан в цилиндр

Объем цилиндра это $V=\pi r^2h$ , а объем конуса это $V=\frac13\pi r^2h$ , отсюда можно сделать вывод, что объём конуса в три раза меньше объема цилиндра, в который он вписан.

Этот факт можно запомнить - он пригодится при решении заданий.

Алгоритм решения задач на объём конуса для 11 класса

Чтобы безошибочно решать задачи на объём конуса в первой и второй частях экзамена, придерживайтесь следующей последовательности действий:

Сделайте чертёж и выделите осевое сечение: осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ (образующие), основанием $2R$ и высотой $h$ .

Проверьте радиус и диаметр: если в условии указан диаметр основания или длина окружности ( $C = 2\pi R$ ), сразу найдите чистый радиус $R = d/2$ .

Найдите недостающий элемент через теорему Пифагора: если задана образующая $l$ , найдите высоту по формуле $h = \sqrt{l^2 - R^2}$ , либо радиус $R = \sqrt{l^2 - h^2}$ .

Применяйте куб подобия для сосудов с жидкостью: если уровень наливания меняется в $k$ раз, объём меняется строго в $k^3$ раз.

Обратите внимание на требование к ответу: если в формулировке задания написано «в ответе укажите $V/\pi$ », разделите итоговое значение на $\pi$ перед записью в бланк ответов.

Задачи на объём конуса для 11 класса

Ниже собраны интерактивные тренажёры со всеми актуальными прототипами задач на объём конуса, подобие тел и конические сосуды с жидкостью из открытого банка ФИПИ, которые подойдут как для уроков по геометрии в 11 класса, так и для подготовки к ЕГЭ по математике. К каждому номеру подготовлены пошаговые решения, наглядные чертежи и мгновенная автоматическая проверка ответов, что позволит довести решение стереометрических заданий первой и второй частей ЕГЭ до автоматизма.

Задача 1

Изменение объёма, радиуса или высоты конуса

Темы1

Курсы1

Задача по стереометрии на формулу объёма конуса из ЕГЭ по математике.Вариант 1

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличили в 3 раза, а высоту увеличили в 4 раза?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план