Площадь поверхности конуса: боковая, полная и формулы 11 класс

На этой странице представлен разбор темы «Площадь поверхности конуса: боковая, полная и формулы вычисления» для 11 класса.

В курсе стереометрии 11 класса вычисление площадей поверхностей тел вращения занимает особое место: задачи, в которых требуется найти площадь боковой поверхности конуса, площадь основания поверхности конуса или определить, чему равна общая площадь полной поверхности конуса, регулярно встречаются в первой части профильного и базового ЕГЭ по математике, а также при решении составных геометрических конструкций во второй части.

Здесь подробно разобраны развёртка конуса, формулы через радиус основания, образующую и высоту, соотношение площадей боковых поверхностей конуса и цилиндра, а также ключевые вычислительные нюансы экзамена.

После теории на странице доступны тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов, в которых можно отработать вычисления и подготовиться к контрольным работам и экзамену.

Поверхность конуса и её элементы — 11 класс

Поверхность прямого кругового конуса состоит из двух частей: плоского кругового основания и криволинейной боковой поверхности.

• Основание конуса: круг радиуса $R$ . Площадь основания поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi R^2$ .

• Боковая поверхность конуса: коническая поверхность, образуемая вращением гипотенузы прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

• Развёртка боковой поверхности: круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса $l$ , а длина дуги равна длине окружности основания ( $2\pi R$ ).

• Теорема Пифагора для конуса: образующая $l$ , высота $h$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ .

Формулы площади поверхности конуса

Полная (общая) площадь поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания. В зависимости от известных параметров задачи применяются следующие формулы:

Поверхность

Формула

Описание и переменные

Площадь основания

$S_{\text{осн}} = \pi R^2$

Площадь круга радиуса $R$ . Через диаметр основания: $S_{\text{осн}} = \dfrac{\pi d^2}{4}$ .

Боковая поверхность (через образующую)

$S_{\text{бок}} = \pi R l$

Базовая формула. Произведение числа $\pi$ , радиуса основания $R$ и образующей $l$ .

Боковая поверхность (высота и радиус)

$S_{\text{бок}} = \pi R \sqrt{h^2 + R^2}$

Применяется, когда образующая неизвестна, но заданы высота конуса $h$ и радиус основания $R$ .

Полная поверхность (общая площадь)

$S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$

Сумма боковой площади и одного основания. Удобно выносить общий множитель $\pi R$ .

Развертка конуса

Если разрезать боковую поверхность конуса по одной из образующих и расплющить её на плоскости, получится сектор круга.

Когда говорят про площадь боковой поверхности - имеют в виду площадь сектора круга с радиусом l, а когда про общую площадь боковой поверхности - площадь сектора круга и площадь основания (окружности в основании)

У этого сектора:

Радиус равен длине образующей конуса (l). Это логично: каждая точка на окружности основания при разворачивании отходит от вершины конуса ровно на расстояние образующей.

Длина дуги равна длине окружности основания (2πr). Представьте, что вы развернули боковину — нижний край сектора — это и есть бывшая окружность основания.

Центральный угол сектора можно найти по формуле:

\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ

Цилиндр и конус: соотношение площадей поверхностей

В стереометрии ЕГЭ популярен блок задач на сравнение площади конуса и цилиндра при общих геометрических элементах:

При общем основании и образующей 📏

Если конус и цилиндр имеют одинаковый радиус основания $R$ и образующая цилиндра равна образующей конуса ( $H_{\text{цил}} = l_{\text{кон}}$ ):

• Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R H = 2\pi R l$ .

• Боковая поверхность конуса: $S_{\text{бок.кон}} = \pi R l$ .

Площадь боковой поверхности цилиндра ровно в 2 раза больше площади боковой поверхности конуса!

Конус, вписанный в цилиндр 🛢️

Если конус вписан в цилиндр (у них общее основание $R$ и общая высота $h$ ):

• $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R h$ .

• $S_{\text{бок.кон}} = \pi R \sqrt{h^2 + R^2}$ .

В этом случае образующая конуса $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ всегда больше высоты цилиндра $h$ , что важно учитывать в задачах на оптимизацию.

Разберём решение экзаменационной задачи на вычисление площади поверхности конуса:

Пример применения: Нахождение площади полной поверхности по высоте и радиусу

Задание: Высота конуса равна $12$ , а радиус основания равен $5$ . Найдите площадь полной поверхности конуса. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём образующую конуса ( $l$ ):

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:

l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13

2) Найдём площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi

3) Найдём площадь основания:

S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi

4) Вычислим площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 65\pi + 25\pi = 90\pi

5) Делим результат на $\pi$ : $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi} = 90$ .

Ответ: $90$ .

Угол сектора развёртки боковой поверхности

При разворачивании боковой поверхности конуса на плоскость получается круговой сектор радиуса $l$ . Длина дуги этого сектора в точности равна длине окружности основания $2\pi R$ . Из этого равенства выводится формула центрального угла развёртки $\alpha$ :

Формула угла развёртки конуса:

\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{l}

Или в радианах:

\alpha = 2\pi \cdot \dfrac{R}{l}

Важное следствие: если образующая в 2 раза больше радиуса основания ( $l = 2R$ ), угол развёртки равен ровно $180^\circ$ (полукруг).

Посмотрим, как угол развёртки используется для нахождения площади боковой поверхности:

Пример применения: Расчёт площади боковой поверхности через угол развёртки

Задание: Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с углом $120^\circ$ и радиусом $9$ . Найдите радиус основания конуса и площадь его боковой поверхности. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ .

Пошаговый разбор:

1) Радиус кругового сектора является образующей конуса: $l = 9$ .

2) Выразим радиус основания $R$ через угол развёртки:

\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{l} \implies 120^\circ = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{9} \implies \dfrac{1}{3} = \dfrac{R}{9} \implies R = 3

3) Найдём площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 9 = 27\pi

4) Делим на $\pi$ : $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 27$ .

Ответ: $27$ .

Алгоритм решения задач на площадь поверхности конуса

Чтобы не допускать ошибок в стереометрических вычислениях, выполняйте шаги в строгом порядке:

Определите тип требуемой площади: проверьте по условию, требуется найти только площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}} = \pi R l$ ) или полную площадь с учётом основания ( $S_{\text{полн}} = \pi R (l + R)$ ).

Проверьте радиус: если в тексте задачи указан диаметр основания, сразу разделите его на 2 для получения радиуса $R$ .

Найдите образующую $l$ : если в задаче дана высота $h$ , вычислите образующую через теорему Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ .

Примените подобие (если размеры изменились в $k$ раз): при увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площадь поверхности увеличивается строго в $k^2$ раз.

Проверьте формат записи ответа: если требуется указать $S/\pi$ , не забудьте убрать число $\pi$ перед внесением в бланк.

Типичные ошибки одиннадцатиклассников

При проверке бланков ЕГЭ по стереометрии чаще всего выявляются три типичные ошибки:

Подстановка высоты вместо образующей

Вычисление боковой поверхности по ложной формуле $\pi R h$ . Площадь боковой поверхности определяется образующей $l$ , а не высотой: $S_{\text{бок}} = \pi R l$ .

Удвоение оснований как у цилиндра

Попытка прибавить к боковой поверхности два основания ( $2\pi R^2$ ). У конуса только одно основание, поэтому $S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2$ .

Путаница боковой и полной площади

Невнимательное прочтение вопроса: нахождение только боковой поверхности, когда требуется найти полную площадь поверхности конуса (или наоборот).
Площадь боковой поверхности - площадь сектора развертки, а вот полная площадь поверхности - включает в себя ещё окружность в основании

Тренажёры по теме «Площадь поверхности конуса» на Экзамео

Ниже собраны интерактивные тренажёры со всеми типами задач на нахождение площади боковой и полной поверхности конуса, работу с развёрткой и сравнение с цилиндром из открытого банка ФИПИ, самостоятельных и контрольных работ в 11 классе. К каждому номеру подготовлены пошаговые решения, поясняющие чертежи и автоматическая проверка ответов, что позволит закрепить материал и уверенно решать задачи по стереометрии на экзамене.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы