Задачи на площадь сферы: формулы и тренажёры с решениями

На этой странице собраны теория и типовые задачи на площадь сферы из школьного курса геометрии за 11 класс и экзаменационных банков заданий. Вы узнаете, как рассчитывать площадь через радиус и диаметр, находить площадь поверхности по объёму шара или параметрам сечения, а также сможете закрепить навык в онлайн-тренажёре с пошаговой проверкой ответов.

Приступая к задачам по теме площадь сферы, важно помнить базовое стереометрическое свойство: сфера представляет собой двумерную замкнутую поверхность в трёхмерном пространстве. Её площадь строго пропорциональна квадрату линейного размера (радиуса или диаметра). Поэтому изменение радиуса в $k$ раз всегда приводит к изменению площади ровно в $k^2$ раз.

Ключевая суть: площадь поверхности сферы

• Через радиус ( $R$ ): площадь сферы равна учетверённой площади её большого круга: $S = 4\pi R^2$ .

• Через диаметр ( $D$ ): так как $D = 2R$ , формула принимает вид: $S = \pi D^2$ .

• Связь с объёмом шара ( $V$ ): площадь сферы является производной объёма шара по радиусу: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies S = V'(R) = 4\pi R^2$ .

Формулы для вычисления площади сферы

В зависимости от исходных данных задачи на площадь сферы выбирается одна из рабочих формул, которая более удобна в рамках задачи:

Через радиус

Классическая формула

Основной вид для большинства стереометрических задач:

S = 4\pi R^2

Через диаметр

Без деления на 2

Удобно, если диаметр задан чётным целым числом:

S = \pi D^2

Через длину экватора

Через длину окружности

Если известна длина окружности большого круга $C = 2\pi R$ :

S = \dfrac{C^2}{\pi}

Краткая теория к задачам на площадь сферы

Перед переходом к практике повторите геометрические свойства сферы и площади её поверхности, которые разбираются в 11 классе и пригодятся в задачах:

1. Геометрический смысл множителя 4 в формуле площади

Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр, называется большим кругом. Площадь большого круга равна $S_{\text{б.к.}} = \pi R^2$ .

Площадь всей поверхности сферы ровно в $4$ раза больше площади её большого круга:

S_{\text{сферы}} = 4 \cdot S_{\text{б.к.}}

Если в условии задачи сказано: «Площадь большого круга шара равна $15$ », то площадь поверхности сферы находится мгновенно: $S = 4 \cdot 15 = 60$ .

2. Связь радиуса сферы с сечениями (теорема Пифагора)

В задачах, где сфера пересечена плоскостью на расстоянии $d$ от центра и получен круг радиуса $r$ , радиус сферы $R$ находится по теореме Пифагора:

R^2 = d^2 + r^2

Подставив $R^2$ в формулу площади, получаем прямой расчёт площади поверхности без извлечения промежуточного корня:

S = 4\pi (d^2 + r^2)

3. Подобие сфер: изменение площади при масштабировании

Любые две сферы подобны. Если радиус (или диаметр) одной сферы больше радиуса другой в $k$ раз ( $R_2 = k \cdot R_1$ ), то:

• Площади их поверхностей относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ .

• Объёмы соответствующих шаров относятся как куб коэффициента подобия: $\dfrac{V_2}{V_1} = k^3$ .

Решение типовых задач на площадь сферы

Ниже приведены подробные пошаговые решения пяти распространённых типов задач по теме, которые могут встречаться на самостоятельных и контрольных работах в 11 классе на уроках геометрии.

Задача 1: Прямое нахождение площади через радиус

Условие: Радиус сферы равен $6\text{ см}$ . Найдите площадь поверхности сферы. В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу площади поверхности сферы:

S = 4\pi R^2

2) Подставим радиус $R = 6$ :

S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\text{ см}^2

3) Разделим результат на $\pi$ , как требует условие задачи:

\dfrac{S}{\pi} = \dfrac{144\pi}{\pi} = 144

Ответ: 144.

Задача 2: Нахождение радиуса и диаметра по известной площади

Условие: Площадь поверхности сферы равна $196\pi\text{ см}^2$ . Найдите диаметр этой сферы.

Пошаговое решение (Способ 1 — через радиус):

1) Приравняем формулу площади к заданному значению:

4\pi R^2 = 196\pi

2) Сократим обе части уравнения на $\pi$ :

4R^2 = 196 \implies R^2 = \dfrac{196}{4} = 49

3) Извлечём квадратный корень:

R = \sqrt{49} = 7\text{ см}

4) Найдём диаметр сферы ( $D = 2R$ ):

D = 2 \cdot 7 = 14\text{ см}

(Способ 2 — сразу через формулу с диаметром: $S = \pi D^2 \implies \pi D^2 = 196\pi \implies D^2 = 196 \implies D = 14\text{ см}$ ).

Ответ: 14.

Задача 3: Нахождение площади сферы по параметрам сечения

Условие: Сечение шара плоскостью имеет площадь $64\pi\text{ см}^2$ и находится на расстоянии $6\text{ см}$ от центра шара. Найдите площадь поверхности сферы. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Сечение представляет собой круг площадью $S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = 64\pi$ . Отсюда найдём квадрат радиуса сечения:

r^2 = 64 \implies r = 8\text{ см}

2) Секущая плоскость удалена от центра на расстояние $d = 6\text{ см}$ . Свяжем радиус сферы $R$ , расстояние $d$ и радиус сечения $r$ теоремой Пифагора:

R^2 = d^2 + r^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

3) Вычислим площадь поверхности сферы:

S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi\text{ см}^2

4) Разделим на $\pi$ :

\dfrac{S}{\pi} = 400

Ответ: 400.

Задача 4: Задача на отношение площадей при масштабировании

Условие: Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если её радиус увеличить в $5$ раз?

Пошаговое решение:

1) Пусть исходный радиус равен $R_1$ , а новая сфера имеет радиус $R_2 = 5R_1$ .

2) Запишем формулы площадей для обеих сфер:

S_1 = 4\pi R_1^2

S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (5R_1)^2 = 4\pi \cdot 25R_1^2 = 25 \cdot (4\pi R_1^2) = 25S_1

3) Найдём отношение площадей:

\dfrac{S_2}{S_1} = 25

Ответ: в 25 раз.

Задача 5: Нахождение площади сферы через объём шара

Условие: Объём шара равен $36\pi\text{ см}^3$ . Найдите площадь поверхности ограничивающей его сферы. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу объёма шара:

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi

2) Разделим обе части на $\pi$ и найдём куб радиуса:

\dfrac{4}{3}R^3 = 36 \implies R^3 = 36 \cdot \dfrac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27

3) Извлечём кубический корень:

R = \sqrt[3]{27} = 3\text{ см}

4) Вычислим площадь сферы по формуле $S = 4\pi R^2$ :

S = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\text{ см}^2

5) Разделим на $\pi$ :

\dfrac{S}{\pi} = 36

Ответ: 36.

Самые частые ошибки при решении задач

При выполнении контрольных и экзаменационных работ школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Подстановка диаметра вместо радиуса

Если в условии дан диаметр $D = 10$ , его ошибочно подставляют в формулу $S = 4\pi R^2$ , получая $4\pi \cdot 100 = 400\pi$ вместо верного $4\pi \cdot 25 = 100\pi$ . Не забывайте делить диаметр на $2$ или используйте формулу $S = \pi D^2$ .

Потеря коэффициента 4

Площадь сферы путают с площадью плоского круга ( $S = \pi R^2$ ). Помните: сфера — объёмная оболочка, её площадь ровно в 4 раза больше площади сечения большим кругом ( $4\pi R^2$ ).

Линейное масштабирование площади

В задачах с увеличением радиуса в $k$ раз пишут, что площадь увеличится тоже в $k$ раз. Площадь квадратична: при увеличении радиуса в $3$ раза площадь возрастает в $3^2 = 9$ раз, а не в $3$ раза!

Игнорирование требования «разделить на пи»

В бланках ЕГЭ или тестах просят записать число без $\pi$ (то есть $\frac{S}{\pi}$ ). Если в ответ внести букву $\pi$ или умножить на $3{,}14$ , система не сможет распознать целое число и не засчитает балл.

Задачи на площадь сферы с решениями

Задания на площадь сферы собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а так же к ЕГЭ по математике. В каждом задании вы найдете подробное решение и проверку ответов.

Задача 1

Площадь поверхности сферы

Темы1

Курсы1

Задание на вычисление площади поверхности сферы или её радиуса/диаметра.Вариант 1

Диаметр сферы равен 18. Найдите площадь её поверхности, делённую на $\pi$ .

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план