Длина окружности и площадь круга. Шар

На странице собраны подробные учебные материалы по математике и наглядной геометрии «Длина окружности и площадь круга. Шар» для 6 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с формулами, алгоритмами и наглядными примерами, чтобы помочь шестиклассникам понять разницу между окружностью и кругом, освоить математическое значение числа $\pi$ (Пи), научиться безошибочно вычислять длину окружности, площадь круга и элементы шара, а также успешно подготовиться к самостоятельным работам, контрольным работам и ВПР.

В 6 классе эта тема связывает геометрию на плоскости и в пространстве с практическими расчётами: ученики знакомятся с постоянной $\pi \approx 3,14$ , учатся вычислять характеристики круглых тел и решать реальные прикладные задачи из жизни.

Окружность и круг: в чём разница? — 6 класс

Прежде чем переходить к формулам, важно чётко разграничивать эти два понятия:

• Окружность: замкнутая плоская линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии (радиусе $r$ ) от центра $O$ . У окружности есть длина ( $C$ ), но нет площади (например, обруч, кольцо, обод колеса);
• Круг: часть плоскости, ограниченная окружностью вместе со своей внутренней областью. У круга есть и длина границы, и площадь ( $S$ ) (например, монета, блины, тарелка);

Основные элементы круга
• Радиус ( $r$ ) и Диаметр ( $d$ ): радиус — отрезок от центра до любой точки окружности, а диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр ( $d = 2r$ ).

Основные элементы окружности в 6 классе

В 6 классе разбираются только два элемента окружности - радиус и диаметр, давайте разберемся, что это

Радиус R

Отрезок от центра до любой точки окружности. Все радиусы равны между собой

Диаметр d

отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр ( $d=2R$ ).

Одна из самых интересных вещей, связанные с окружностью, которые проходятся в 6 классе связана с числом пи - давайте разберем подробно.

Что такое число $\pi$ (Пи)?

Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей в мире и обозначается греческой буквой $\pi$ .
Число $\pi$ является бесконечной непериодической дробью: $\pi = 3,1415926...$
В задачах 6 класса используют округлённое значение: $\pi \approx 3,14$ (или $\pi \approx \frac{22}{7}$ ).
Число $\pi$ является бесконечной непериодической дробью: $\pi = 3,1415926...$

История открытия числа $\pi$

С древнейших времен человечество пыталось найти точное отношение длины окружности к её диаметру. Познакомьтесь с тремя ключевыми вехами в истории числа $\pi$ :

1. Древний мир и Египет 🏛️

Строители вавилонских башен и египетских пирамид заметили, что длина обода колеса примерно в $3$ раза больше его диаметра.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( $1650$ г. до н.э.) число $\pi$ принималось равным $\left(\frac{16}{9}\right)^2 \approx 3,1605$ . В Древнем Вавилоне использовали приближение $3\frac{1}{8} = 3,125$ .

2. Геометрия Архимеда 📐

Великий греческий математик Архимед ( $III$ в. до н.э.) первым предложил строгий геометрический метод.

Он вписывал и описывал вокруг окружности правильные $96$ -угольники и доказал, что значение числа $\pi$ находится между дробными границами: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$ (то есть $3,1408 < \pi < 3,1428$ ). Именно дробь $\frac{22}{7}$ называют «архимедовым числом».

3. Эра суперкомпьютеров 💻

В $1706$ году англичанин Уильям Джонс впервые ввёл символ $\pi$ (от греческого слова περιφέρεια — «окружность»).

В $1761$ году Иоганн Ламберт доказал, что число $\pi$ бесконечно и непериодично. Сегодня суперкомпьютеры рассчитали число $\pi$ с точностью до более чем $100$ триллионов знаков после запятой!

Длина окружности и площадь круга

Для вычисления длины окружности и площади круга применяются следующие базовые формулы:

Длина окружности ( $C$ )

Показывает протяженность замкнутой линии окружности.

• Через радиус $r$ :

C = 2\pi r

• Через диаметр $d$ :

C = \pi d

(так как $d = 2r$ )

Площадь круга ( $S$ )

Показывает размер всей внутренней поверхности, ограниченной окружностью. Другими словами это размерная величина круга

• Формула через радиус $r$ :

S = \pi r^2

(радиус возводится в квадрат: $r^2 = r \cdot r$ )

• Формула через диаметр $d$ :

S=\frac{\pi d^2}{4}

Шар и сфера: геометрические тела в пространстве

При переходе от плоских фигур к объемным телам в пространстве окружности соответствует сфера, а кругу — шар, давайте рассмотрим их отличия в таблице, они будут полезны при изучении начал геометрии в 6 классе:

Понятие

Определение и свойства

Примеры из жизни / Формулы

Сфера

Замкнутая поверхность в пространстве, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра $O$ .

Футбольный мяч, мыльный пузырь, глобус (оболочка).

Шар

Пространственное тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше радиуса $r$ от центра $O$ (включая оболочку и всё внутри).

Арбуз, бильярдный шар, планета Земля, бисер.

Объем шара ( $V$ )

Формула нахождения вместимости (объема) шарообразного тела через его радиус $r$ .

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Пошаговый алгоритм решения задач на окружность и круг

Чтобы безошибочно вычислить длину окружности или площадь круга, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Определите исходную величину: узнайте, что дано в условии — радиус ( $r$ ) или диаметр ( $d$ ). Если дан диаметр, найдите радиус: $r = d : 2$ .

Выберите нужную формулу:

• Требуется найти длину границы $\implies C = 2\pi r$ .

• Требуется найти площадь поверхности $\implies S = \pi r^2$ .

Подставьте значение $\pi$ : используйте $\pi \approx 3,14$ (если в условии не указано иное значение или не требуется оставить ответ с буквой $\pi$ ).

Вычислите результат и подпишите единицы измерения:

• Длина $C$ выражается в линейных единицах ( $\text{см}$ , $\text{м}$ ).

• Площадь $S$ выражается в квадратных единицах ( $\text{см}^2$ , $\text{м}^2$ ).

Разбор практических примеров с окружностью и кругом в 6 классе

Рассмотрите подробные образцы решения задач из школьной программы 6 класса.

Пример 1: Вычисление длины окружности и площади круга по известному радиусу

Задание: Радиус круга равен $5\text{ см}$ . Вычислите длину ограничивающей его окружности и площадь круга (примите $\pi \approx 3,14$ ).

Подробное решение:

1) Находим длину окружности $C$ по формуле $C = 2\pi r$ :

$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 10 \cdot 3,14 = 31,4\text{ см}$ .

2) Находим площадь круга $S$ по формуле $S = \pi r^2$ :

$r^2 = 5^2 = 25\text{ см}^2$ .

$S = 3,14 \cdot 25 = 78,5\text{ см}^2$ .

Ответ: Длина окружности равна $31,4\text{ см}$ , площадь круга равна $78,5\text{ см}^2$ .

Пример 2: Обратная задача — нахождение радиуса и площади по длине окружности

Задание: Длина окружности равна $18,84\text{ м}$ . Найдите радиус этой окружности и площадь соответствующего круга (примите $\pi \approx 3,14$ ).

Подробное решение:

1) Находим радиус $r$ из формулы $C = 2\pi r$ :

$2\pi r = 18,84$

$2 \cdot 3,14 \cdot r = 18,84$

$6,28 \cdot r = 18,84$

$r = 18,84 : 6,28 = 3\text{ м}$ .

2) Вычисляем площадь круга $S = \pi r^2$ :

$S = 3,14 \cdot 3^2 = 3,14 \cdot 9 = 28,26\text{ м}^2$ .

Ответ: Радиус равен $3\text{ м}$ , площадь круга равна $28,26\text{ м}^2$ .

Тренажёры по окружностям для 6 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Длина окружности и площадь круга. Шар» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на вычисление длин окружностей, площадей кругов, секторов, объемов шаров и работу с числом $\pi$ составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по математике за 6 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Длина окружности и площадь круга 6 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по математике вместе с нами!