Основное свойство дроби и сокращение дробей 6 класс

В этом разделе подробно рассматривается тема «Основное свойство дроби» по математике за 6 класс. Это фундаментальное правило всей школьной арифметики и алгебры. Именно на нём базируются важнейшие операции с обыкновенными дробями: сокращение, приведение к новому (и общему) знаменателю, сравнение, а также сложение и вычитание дробей с разными знаменателями в 6 классе и решения заданий ОГЭ и ЕГЭ.

Здесь представлена вся необходимая теория по программе 6 класса: строгая математическая формулировка основного свойства дроби, правила деления и умножения числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, алгоритм сокращения дробей и подробный разбор характерных примеров из контрольных работ.

Отработать тему основное свойство дроби можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Основное свойство дроби - формулировка

Основное свойство дроби показывает, как меняются числитель и знаменатель без изменения самой величины дроби:

Основное свойство дроби 🎯

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} \quad \text{и} \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a : c}{b : c}

где $a, b, c$ — натуральные числа ( $b \neq 0, c \neq 0$ ).

Например, если пирог разрезать на $4$ части и взять $2$ куска ( $\dfrac{2}{4}$ ), то это будет точно такая же порция, как если взять $1$ кусок из $2$ равных частей ( $\dfrac{1}{2}$ ).

Сокращение дробей и приведение к общему знаменателю

Из основного свойства дроби вытекают две главные практические операции:

1. Сокращение дроби ✂️

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель (больший $1$ ).

• Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты (не имеют общих делителей), называется несократимой.

Пример:

\dfrac{12}{18}=\dfrac{12 : 6}{18 : 6}=\dfrac{2}{3}

2. Приведение к новому знаменателю 📈

Умножение числителя и знаменателя на дополнительный множитель.

• Дополнительный множитель находим делением нового знаменателя на старый.

(Пример: приведём $\dfrac{3}{5}$ к знаменателю $20$ . Дополнительный множитель $20 : 5 = 4 \implies \dfrac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \dfrac{12}{20}$ ).

Сводная таблица операций с дробями

Сравнение применения основного свойства дроби в разном направлении:

Операция над дробью

Действие с a и b

Цель операции

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на НОД( $a, b$ ).

Упростить дробь и получить несократимый результат.

Приведение к знаменателю

Умножение числителя и знаменателя на $k$ .

Подготовить дроби к сложению, вычитанию или сравнению.

Замена десятичной дроби

Домножение числителя и знаменателя до $10, 100, 1000$ .

Перевести обыкновенную дробь в десятичную запись ( $0{,}25$ ).

Лайфхак для счёта в 6 классе! 💡

1. Сокращайте сразу на наибольший общий делитель (НОД)! Если сокращать постепенно (например, сначала на 2, потом ещё на 2), это займёт больше времени.
2. Не путайте сложение и умножение! Если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же число, значение дроби изменится ( $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3}$ ). Основное свойство работает только для умножения и деления!

Пошаговый алгоритм решения задач

При выполнении практических заданий на применение основного свойства дроби придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите цель: поймите, требуется сократить дробь или привести её к заданному новому знаменателю.

Найдите множитель или делитель: для сокращения найдите НОД числителя и знаменателя; для приведения — разделите новый знаменатель на исходный.

Выполните действие одновременно вверху и внизу: умножьте или разделите числитель и знаменатель на найденное число и запишите ответ.

Разбор типовых примеров из контрольных работ за 6 класс

Рассмотрите решения характерных заданий из программы 6 класса.

Пример 1: Приведение дроби к заданному знаменателю

Задание: Приведите дробь $\dfrac{4}{7}$ к знаменателю $35$ .

Подробное решение:

1) Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель $35$ на данный знаменатель $7$ :
$$35 : 7 = 5$$

2) По основному свойству дроби умножим и числитель, и знаменатель на $5$ :
$$\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \dfrac{20}{35}$$

Ответ: $\dfrac{20}{35}$ .

Пример 2: Сокращение дроби до несократимого вида

Задание: Сократите дробь $\dfrac{36}{48}$ .

Подробное решение:

1) Найдем наибольший общий делитель для чисел $36$ и $48$ :
$\text{НОД}(36; 48) = 12$ .

2) По основному свойству дроби разделим числитель и знаменатель на $12$ :
$$\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 : 12}{48 : 12} = \dfrac{3}{4}$$

3) Дробь $\dfrac{3}{4}$ является несократимой, так как $3$ и $4$ — взаимно простые числа.

Ответ: $\dfrac{3}{4}$ .

Тренажёры по теме «Основное свойство дроби» на Экзамео

Закрепить тему основное свойство дроби 6 класс помогут интерактивные онлайн-тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни практических заданий на сокращение дробей, приведение к новому и общему знаменателю, поиск неизвестного члена равенства и сравнение выражений, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП (по учебникам Виленкина, Мерзляка, Никольского).

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в удобном темпе, доводите навыки работы с дробями до автоматизма и получайте только отличные оценки по математике!

Задача 1

Умножение нескольких дробей с предварительным сокращением

Темы1

Курсы1

Примеры, в которых вам нужно будет сократить перед тем как умножать, чтобы отработать сокращение дробейВариант 1

Вычислите значение выражения:

\frac{35}{26} \cdot \frac{22}{41} \cdot \frac{31}{15} \cdot \frac{41}{35} \cdot \frac{15}{22} \cdot \frac{117}{31} \cdot \frac{26}{39}

В ответе запишите полученное целое число.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Цепочка равных дробей

Темы1

Курсы1

Равные дроби по основному свойству дробиВариант 1

Укажите пропущенные значения числителей или знаменателей (вместо знаков $*$ слева направо), при которых данная запись будет верной:

\frac{ 1 }{ 12 } = \frac{ 4}{\ast }{} = \frac{ 5}{\ast }{} = \frac{ \ast}{120 }{}

В ответ запишите только числа через запятую (без пробелов).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план