Положительные и отрицательные числа - это тема, которая открывает перед вами удивительный мир чисел, выходящий за привычные рамки счёта предметов. С отрицательными числами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно: температура воздуха ниже нуля, долги, потери, глубина под водой - всё это описывается отрицательными числами. На этой странице вы узнаете всё о положительных и отрицательных числах: их историю, определение, правила сравнения и множество интересных фактов.
Вы уже знакомы с натуральными числами (1, 2, 3, ...) и нулём. Но что, если вам нужно записать температуру на 5 градусов ниже нуля или сказать, что вы должны 10 рублей? Для этого нужны числа со знаком «минус» - отрицательные числа. Вместе с положительными числами и нулём они образуют множество целых чисел.
Положительные числа - это числа, которые записываются со знаком «плюс» (+) или без знака: 1, 2, 3, 4, 5 ...
Отрицательные числа - это числа, которые записываются со знаком «минус» (−): −1, −2, −3, −4, −5 ...
Нуль - число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.
История появления отрицательных чисел
Путь отрицательных чисел в математику был долгим и непростым. Сегодня мы воспринимаем их как нечто само собой разумеющееся, но так было далеко не всегда.
Как люди пришли к отрицательным числам
Древний мир. В Древнем Египте, Вавилоне и Греции математики не использовали отрицательные числа. Они считали, что числа должны обозначать количество предметов, а «меньше нуля» — это бессмыслица. Например, древнегреческий математик Диофант (III век н.э.) называл отрицательные числа «абсурдными» и отвергал их.
Китай. Первыми, кто начал использовать отрицательные числа, были китайские математики. Во II веке до н. э. в китайском трактате «Математика в девяти книгах» уже использовались красные палочки для положительных чисел и чёрные - для отрицательных. Они понимали, что отрицательные числа нужны для описания долгов.
Индия. В VII веке н. э. индийский математик Брахмагупта впервые сформулировал правила действий с положительными и отрицательными числами. Он назвал положительные числа «имуществом», а отрицательные — «долгом». Он писал: «Сумма двух имуществ есть имущество; сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и долга равна их разности».
Средневековая Европа. В Европе отрицательные числа долгое время не признавали. Их называли «ложными» или «фиктивными» числами. Итальянский математик Фибоначчи (XIII век) допускал использование отрицательных чисел в некоторых задачах, но считал их «нелепыми». Только в XVII веке, после работ французского математика Декарта и других учёных, отрицательные числа получили полное признание. Их стали изображать на координатной прямой как точки слева от нуля.
Интересный факт: В России отрицательные числа стали активно использовать в XVIII веке благодаря работам Леонарда Эйлера и Михаила Ломоносова. Ломоносов называл отрицательные числа «долговыми» и активно использовал их в своих научных трудах.
Координатная прямая
Чтобы наглядно изображать положительные и отрицательные числа, используют координатную прямую (или числовую ось).
Что такое координатная прямая
Координатная прямая - это прямая, на которой выбраны:
Начало отсчёта (точка 0);
Направление (обычно вправо — положительное);
Единичный отрезок (расстояние между соседними числами).
Правила расположения чисел:
Положительные числа расположены справа от нуля;
Отрицательные числа расположены слева от нуля;
Нуль находится между положительными и отрицательными числами.
На координатной прямой каждому числу соответствует единственная точка, и каждой точке соответствует единственное число. Это взаимно однозначное соответствие позволяет легко сравнивать числа: чем правее точка, тем больше число.
Сравнение положительных и отрицательных чисел
Сравнение чисел на координатной прямой - это самый наглядный способ понять, какое число больше, а какое меньше.
Правила сравнения
Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа.
Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше (то есть которое находится правее на координатной прямой).
Примеры:
5 > 0, 5 > −3
−7 < 0, −7 < 2
−5 < −3 (так как 5 > 3, но с минусом знак меняется)
−8 < −6 (так как −8 находится левее на координатной прямой)
Примеры сравнения
Примеры сравнения чисел
Сравните числа и поставьте знак > или <.
Пример 1: 8 и −3
8 > −3 (положительное всегда больше отрицательного)
Пример 2: −5 и −9
−5 > −9 (из двух отрицательных больше тот, у кого модуль меньше: 5 < 9)
Пример 3: −2 и 0
−2 < 0 (отрицательное всегда меньше нуля)
Пример 4: 0 и 7
0 < 7 (ноль меньше положительного)
Противоположные числа
Два числа, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Подробно разобрали в теме Противоположные числа
Отрицательные числа в жизни
Отрицательные числа окружают нас повсюду. Вот лишь несколько примеров их применения:
Температура: −5°C - пять градусов мороза.
Финансы: долг 1000 рублей можно записать как −1000 рублей.
География: глубина озера Байкал - 1642 метра, что можно записать как −1642 м (относительно уровня моря).
Физика: отрицательный заряд, отрицательное ускорение при торможении.
Игры и спорт: отрицательные очки, штрафные очки.
Время: 500 лет до нашей эры можно записать как -500 год.
Совет: Чтобы запомнить, как сравнивать отрицательные числа, представьте координатную прямую. Чем правее число, тем оно больше. Чем левее, тем меньше.
Тренажёры по положительным и отрицательным числам
Экзамео предлагает подборку интерактивных тренажёров по теме «Положительные и отрицательные числа» для 6 класса - от заданий на сравнение чисел до более сложных упражнений на работу с модулем и противоположными числами.
Решение каждого задания сопровождается подробным разбором: вы видите не только правильный ответ, но и весь ход рассуждений, что помогает по-настоящему разобраться в теме, а не просто запомнить результат. Темп занятий вы выбираете сами, а при ошибке система тут же подскажет, в чём дело и как её исправить.
Сложение и вычитание целых чисел с разными знаками
Темы1
Курсы1
Вычислите:
Умножение отрицательных и положительных чисел
Темы1
Курсы1
Вычислите: