Представление числовой информации в круговых диаграммах

Тема «Представление числовой информации в круговых диаграммах» по математике за 6 класс входит в раздел наглядной геометрии, статистики и практической работы с данными. В реальной жизни сухие списки чисел и громоздкие таблицы сложно воспринимать быстро. Круговая диаграмма — это универсальный инструмент, который превращает числовые соотношения, проценты и доли в единое целое, позволяя наглядно оценить структуру. Эта тема будет встречаться в ВПР, а так же на базовом ЕГЭ по математике и объединяет несколько разделов 6 класса: понятие кругового сектора, геометрическую меру полного круга ( $360^\circ$ ), перевод долей и процентов в градусные меры углов с помощью транспортира, а также решение текстовых задач на части. Научиться выполнять задания можно онлайн-тренажёры по круговым диаграммам для 6 класса с пошаговыми эталонами решений.

Что такое круговая диаграмма

Геометрической основой круговой диаграммы является круг, разделённый радиусами на отдельные замкнутые части:

Определение круговой диаграммы и сектора 🎯

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги. Угол между этими радиусами называется центральным углом сектора.

Площадь окружности через площадь сектора

Круговая диаграмма — это графическое изображение, в котором вся рассматриваемая величина принимается за полный круг, а её составные части изображаются секторами, площади и центральные углы которых пропорциональны значениям этих частей.

Главный закон круговой диаграммы:

Полный круг составляет $360^\circ$ . Это соответствует:
• всему целому значению величины ( $1$ целая часть);
• либо $100\%$ всех данных.

Сумма центральных углов всех секторов диаграммы всегда строго равна:

\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 360^\circ

Формула расчёта центрального угла сектора

Чтобы нарисовать сектор нужного размера с помощью транспортира, необходимо вычислить градусную меру его центрального угла $\alpha$ . Формула зависит от того, в каком виде заданы исходные данные:

Форма данных

Формула угла сектора ( $\alpha$ )

Правило расчёта

Через проценты ( $p\%$ )

\alpha = \dfrac{360^\circ \cdot p}{100} = 3{,}6^\circ \cdot p

Так как $1\%$ круга равен $\dfrac{360^\circ}{100} = 3{,}6^\circ$ , умножаем число процентов на $3{,}6^\circ$ .

Через обыкновенную дробь ( $\frac{m}{n}$ )

\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{m}{n}

Находим часть от целого числа $360^\circ$ : умножаем $360^\circ$ на числитель и делим на знаменатель.

Через числовые значения ( $A$ от суммы $S$ )

\alpha = \dfrac{A}{S} \cdot 360^\circ

Делим значение категории $A$ на общую сумму всех величин $S$ и умножаем на $360^\circ$ .

Удобные стандартные углы для быстрого счёта! 💡

• Вся величина ( $100\%$ ) $\implies 360^\circ$ (полный круг).

• Половина ( $\frac{1}{2}$ или $50\%$ ) $\implies 180^\circ$ (развёрнутый угол, диаметр круга).

• Четверть ( $\frac{1}{4}$ или $25\%$ ) $\implies 90^\circ$ (прямой угол).

• Треть ( $\frac{1}{3}$ или $\approx 33{,}3\%$ ) $\implies 120^\circ$ .

• Десятая часть ( $\frac{1}{10}$ или $10\%$ ) $\implies 36^\circ$ .

Алгоритм построения круговой диаграммы

Чтобы построить круговую диаграмму в тетради, необходимы циркуль, линейка, карандаш и транспортир. Придерживайтесь порядка действий:

Порядок построения:

Вычислите общую сумму и доли: сложите значения всех категорий, чтобы найти общее целое $S$ . Для каждой категории найдите её долю от общей суммы.

Рассчитайте центральные углы секторов: умножьте долю каждого элемента на $360^\circ$ . Обязательно выполните проверку: сумма всех полученных углов должна равняться $360^\circ$ .

Начертите окружность и начальный радиус: с помощью циркуля проведите окружность произвольного удобного радиуса (обычно $4$ – $5\text{ см}$ ) и проведите один опорный радиус (например, вертикально вверх или горизонтально вправо).

Отложите углы транспортиром последовательно: приложите центр транспортира к центру круга, отложите первый угол $\alpha_1$ и проведите новый радиус. От него отложите следующий угол $\alpha_2$ , двигаясь по кругу.

Оформите легенду и подписи: раскрасьте секторы разными цветами или нанесите штриховку, подпишите внутри названия категорий или проценты и добавьте поясняющую легенду.

Чтение и анализ круговых диаграмм

Обратная задача — извлечение числовой информации из уже готовой диаграммы. Для этого применяют правила нахождения части от целого:

Если на секторе указан процент ( $p\%$ ), а общее количество равно $N$ , то числовое значение категории равно:

A = N \cdot \dfrac{p}{100}

Если на диаграмме известен угол сектора $\alpha$ в градусах, то его доля от общего числа равна $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ , а значение категории:

A = N \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}

Примеры решения задач на круговые секторы с подробными решениями

Ниже приведены практические задачи школьной программы на построение и анализ круговых диаграмм. В решениях к тренажерам вы найдете нарисованные круги с верными углами и секторами. Здесь разбираем только алгоритмы, без рисования.

Пример 1: Расчёт углов секторов по процентам

Задание: В школьном саду растут деревья: яблони составляют $45\%$ , груши — $35\%$ , а сливы — оставшиеся $20\%$ . Найдите градусную меру центрального угла для каждого сектора круговой диаграммы.

Подробное решение:

1) Полный круг равен $360^\circ$ и соответствует $100\%$ . Значит, на $1\%$ приходится:

\dfrac{360^\circ}{100} = 3{,}6^\circ

2) Рассчитаем угол сектора для яблонь ( $45\%$ ):

\alpha_1 = 45 \cdot 3{,}6^\circ = 162^\circ

3) Рассчитаем угол сектора для груш ( $35\%$ ):

\alpha_2 = 35 \cdot 3{,}6^\circ = 126^\circ

4) Рассчитаем угол сектора для слив ( $20\%$ ):

\alpha_3 = 20 \cdot 3{,}6^\circ = 72^\circ

5) Проверка:

162^\circ + 126^\circ + 72^\circ = 360^\circ

Сумма углов равна $360^\circ$ , расчёт выполнен верно.

Ответ: яблони — $162^\circ$ , груши — $126^\circ$ , сливы — $72^\circ$ .

Пример 2: Построение диаграммы по абсолютным числовым данным

Задание: В классе $30$ учащихся. Контрольную работу по математике на «5» написали $6$ человек, на «4» — $15$ человек, а на «3» — $9$ человек. Найдите градусные меры углов круговой диаграммы, отображающей результаты контрольной работы.

Подробное решение:

1) Общее число учащихся равно $30$ . Полный круг в $360^\circ$ соответствует $30$ ученикам.
На одного ученика приходится угол:

2) Вычислим угол сектора для отметки «5» ( $6$ учеников):

\alpha_1 = 6 \cdot 12^\circ = 72^\circ

3) Вычислим угол сектора для отметки «4» ( $15$ учеников):

\alpha_2 = 15 \cdot 12^\circ = 180^\circ \quad \text{(ровно половина круга)}

4) Вычислим угол сектора для отметки «3» ( $9$ учеников):

\alpha_3 = 9 \cdot 12^\circ = 108^\circ

5) Проверка:

72^\circ + 180^\circ + 108^\circ = 360^\circ

Ответ: отметка «5» — $72^\circ$ , отметка «4» — $180^\circ$ , отметка «3» — $108^\circ$ .

Пример 3: Нахождение значения по готовой диаграмме (чтение данных)

Задание: На круговой диаграмме показано распределение времени школьника в течение суток ( $24\text{ часа}$ ). Сектор, соответствующий сну, имеет центральный угол $120^\circ$ . Сколько часов в сутки школьник тратит на сон?

Подробное решение:

1) Полный круг ( $360^\circ$ ) соответствует полным суткам — $24$ часам.

2) Найдём, какую долю круга составляет сектор сна с углом $120^\circ$ :

\dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{3}

3) Найдём $\dfrac{1}{3}$ от общего количества часов в сутках ( $24\text{ ч}$ ):

24 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{24}{3} = 8\text{ часов}

Ответ: $8$ часов.

Задания по круговым диаграммам для 6 класса

Ниже собраны тренажеры для 6 класса на представление информации на круговых диаграммах, для каждого задания вы найдете подробное решение, качественный рисунок и пошаговое объяснение, которое поможет лучше разобраться в теме.

Задача 1

Построение круговой диаграммы: нахождение градусной меры сектора

Темы1

Курсы1

Тренажеры с делением круга на сектора с практическим уклономВариант 1

Для построения круговой диаграммы площади сада на участке требуется определить угол соответствующего сектора. Известно, что на приусадебном участке зона сада составляет 40 % от всей величины. Какой угол (в градусах) должен иметь сектор зоны сада на круговой диаграмме?

В ответе запишите только полученное число градусов без знака ° (например: 72).

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Распределение двух компонентов смеси на круговой диаграмме

Темы3

Курсы1

Задачи на которой нужно построить диаграмму смесиВариант 1

Свежее молоко содержит 45 % воды. Постройте круговую диаграмму распределения вода и сухого остатка в веществе (свежее молоко).

В ответе запишите градусные меры двух секторов через запятую без пробелов и без знака градуса в порядке: сначала для компонента «вода», затем для «сухой остаток» (например: 252,108).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план