Прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс: теория и задачи

В этом разделе рассматриваем тему Прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс. В повседневной жизни и естественных науках мы регулярно сталкиваемся с величинами, изменение которых напрямую влияет друг на друга: например, количество купленных товаров и итоговая чек-сумма, скорость автомобиля и время пути, объём выполненной работы и число рабочих. Умение определять тип связи между величинами и составлять пропорцию позволяет решать сложные текстовые задачи устно и без громоздких систем уравнений.

На странице представлена вся необходимая теория по программе 6 класса: строгие математические определения прямой и обратной пропорциональной зависимости величин, их фундаментальные свойства (постоянство отношения и постоянство произведения), правила составления пропорций и подробный разбор задач из контрольных работ.

Отработать тему прямая и обратная пропорциональные зависимости можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Прямая пропорциональная зависимость

Рассмотрим пример: периметр квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 4a$ . Если мы увеличим длину стороны $a$ в $3$ раза, то и периметр $P$ вырастет ровно в $3$ раза. Отношение периметра к стороне всегда остаётся постоянным: $\dfrac{P}{a} = 4$ .

Определение прямой пропорциональности 🎯

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k \quad \text{или} \quad \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}

Главное свойство: отношение соответствующих значений прямо пропорциональных величин остаётся неизменным ( $k$ — коэффициент пропорциональности).

Примеры в жизни: пройденный путь и время при постоянной скорости ( $S = v \cdot t$ ), стоимость товара и его количество при фиксированной цене ( $C = a \cdot n$ ), объём работы и время при одинаковой производительности.

Обратная пропорциональная зависимость

Рассмотрим другую ситуацию: прямоугольник имеет постоянную площадь $S = 12\text{ см}^2$ . Его стороны связаны формулой $a \cdot b = 12$ . Если сторону $a$ увеличить в $2$ раза (с $3$ до $6\text{ см}$ ), то сторона $b$ уменьшится в $2$ раза (с $4$ до $2\text{ см}$ ). При этом произведение сторон остаётся постоянным и равным $12$ .

Определение обратной пропорциональности 🎯

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \quad \text{или} \quad \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}

Главное свойство: произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин является постоянным.

Примеры в жизни: скорость движения и время в пути при фиксированном расстоянии ( $v \cdot t = S$ ), время выполнения работы и количество рабочих одинаковой квалификации, цена товара и количество единиц, которое можно купить на фиксированную сумму денег.

Сравнительная таблица прямо и обратно пропорциональных зависимостей

Для наглядного сравнения двух типов зависимостей используйте сводную таблицу:

Характеристика

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

Характер изменения

Однонаправленный (рост $\implies$ рост, спад $\implies$ спад).

Противоположный (рост $\implies$ спад, спад $\implies$ рост).

Что неизменно (константа)

Отношение: $\dfrac{y}{x} = k$

Произведение: $x \cdot y = k$

Вид пропорции

Прямая: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$

Инвертированная: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$

График зависимости

Прямая линия, проходящая через $(0;0)$ .

Гипербола (кривая линия).

Важное замечание: Не все зависимости пропорциональны! 💡

Далеко не всегда две увеличивающиеся величины являются прямо пропорциональными. Например, с возрастом котенка растёт его масса, однако при увеличении возраста в $3$ раза масса котенка вовсе не обязательно вырастет ровно в $3$ раза! Для пропорциональности строго необходимо соблюдение постоянного коэффициента изменения.

Пошаговый алгоритм решения задач на пропорции

При решении текстовых задач по теме прямая и обратная пропорциональные зависимости придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Запишите краткое условие в виде таблицы: расположите одноимённые величины друг под другом, обозначив неизвестное за $x$ .

Установите тип зависимости:
• Если при увеличении одной величины вторая тоже увеличивается — это прямая пропорциональность (стрелки в одну сторону $\uparrow\uparrow$ ).
• Если при увеличении одной вторая уменьшается — это обратная пропорциональность (стрелки в разные стороны $\uparrow\downarrow$ ).

Составьте и решите пропорцию:
• Для прямой пропорциональности составляем прямую пропорцию: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{x}$ .
• Для обратной пропорциональности переворачиваем одно из отношений: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{x}{b_1}$ . Находим $x$ и выписываем ответ.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 6 класс

Рассмотрите решения характерных текстовых задач из программы 6 класса.

Пример 1: Задача на прямо пропорциональную зависимость

Задание: Из $2{,}5\text{ кг}$ железной руды выплавляют $1{,}6\text{ кг}$ железа. Сколько железа получат из $15\text{ кг}$ такой же руды?

Подробное решение:

1) Оформим краткую запись:
$2{,}5\text{ кг руды} \longrightarrow 1{,}6\text{ кг железа}$
$15\text{ кг руды} \longrightarrow x\text{ кг железа}$

2) Определим тип зависимости: чем больше взято руды, тем больше выйдет железа. Зависимость прямо пропорциональная.

3) Составим прямую пропорцию:

\dfrac{2{,}5}{15} = \dfrac{1{,}6}{x}

4) Найдем неизвестный крайний член пропорции $x$ :

x = \dfrac{15 \cdot 1{,}6}{2{,}5} = \dfrac{24}{2{,}5} = 9{,}6\text{ кг}

Ответ: $9{,}6\text{ кг}$ железа.

Пример 2: Задача на обратно пропорциональную зависимость

Задание: Поезд со скоростью $60\text{ км/ч}$ проходит расстояние между городами за $4\text{ часа}$ . За какое время проедет это же расстояние поезд, если его скорость будет $80\text{ км/ч}$ ?

Подробное решение:

1) Оформим краткую запись:
$60\text{ км/ч} \longrightarrow 4\text{ ч}$
$80\text{ км/ч} \longrightarrow x\text{ ч}$

2) Определим тип зависимости: при увеличении скорости время в пути уменьшается при том же расстоянии. Зависимость обратно пропорциональная.

3) Составим пропорцию, перевернув второе отношение:

\dfrac{60}{80} = \dfrac{x}{4}

4) Выразим $x$ по правилу пропорции:

x = \dfrac{60 \cdot 4}{80} = \dfrac{240}{80} = 3\text{ ч}

Ответ: за $3\text{ часа}$ .

Тренажёры на прямую и обратную пропорциональность 6 класс

На платформе Экзамео собраны задания на тему прямая и обратная пропорциональные зависимости 6 класс, состоящие из практических текстовых задач на движение, работу, стоимость товаров и сплавы, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП. Система проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с составлением пропорций к каждой задаче.

Задача 1

Задачи на прямую пропорциональность

Темы1

Курсы1

Задачи на прямую пропорцию между двумя величинамиВариант 1

Кабель длиной $4{.}5$ м имеет массу $10{.}8$ кг. Найдите массу такого же кабеля длиной $3$ м.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Прямая пропорциональность стоимости

Темы1

Курсы1

Задачи на стоимость с прямой пропорциейВариант 1

За $4{.}5$ кг сыра заплатили $1260$ руб. Сколько рублей стоят $2$ кг таких же сыров?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план