Формулы сокращённого умножения(ФСУ) - разбор темы, задания и тренажеры

На этой странице представлен разбор темы «Формулы сокращённого умножения» по алгебре для 7 класса. Методисты платформы Экзамео разработали этот практический материал для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по ФСУ, быстрого устного счёта и подготовке к ОГЭ по математике.

Тема «Формулы сокращённого умножения» (ФСУ) — одна из самых главных во всем школьном курсе математики 7 класса. Знание этих тождеств позволяет мгновенно раскладывать многочлены на множители, сокращать сложные дроби, возводить числа в квадрат без калькулятора и легко решать квадратные уравнения и неравенства в старших классах.

Таблица формул сокращённого умножения для 7 класса

Ниже приведена систематизированная таблица со всеми формулами сокращённого умножения, изучаемыми в 7 классе. Как минимум первые три формулы нужно выучить, потому что они будут встречаться везде - начиная с 7 класса и заканчивая ОГЭ и ЕГЭ по математике.

В 7 классе вы будете встречать задачи на формулы с кубами, однако потом их будет становиться очень мало

Название формулы

Математическая формула (тождество)

Квадрат суммы

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Куб суммы

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сумма кубов

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Разность кубов

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

В 7 классе, после прохождения темы формулы сокращенного умножения по алгебре у ребят очень часто возникает два вида ошибок - давайте разберём их и постараемся избегать при решении самостоятельных и контрольных работ.

Самая частая ошибка 7 класса! ⚠️

Не путайте «квадрат разности» $(a - b)^2$ и «разность квадратов» $a^2 - b^2$ !
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — это квадрат скобки с двумя слагаемыми внутри.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — это вычитание двух отдельных квадратов.

Запомните:

(a + b)^2 \neq a^2 + b^2

Потеря удвоенного произведения $2ab$ — главная причина потери баллов на контрольных работах!

Применение формул для устного счёта и упрощения вычислений

Формулы сокращённого умножения созданы не только для буквенных выражений. Одно из их главных практических применений — молниеносный устный счёт и упрощение сложных числовых выражений без столбика и калькулятора.

Быстрое возведение чисел в квадрат с использованием квадрата суммы и разности

Любое круглое число легко представить в виде суммы или разности удобных слагаемых и применить формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ :

• Вычисление $51^2$ :
Представим $51$ как $(50 + 1)$ . Применяем квадрат суммы:

51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601

• Вычисление $69^2$ :
Представим $69$ как $(70 - 1)$ . Применяем квадрат разности:

69^2 = (70 - 1)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 - 140 + 1 = 4761

Быстрое умножение близких чисел (Разность квадратов)

Если нужно перемножить два числа, одинаково удаленных от круглого числа, используем формулу разности квадратов в обратную сторону:

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

• Вычисление $79 \cdot 81$ :
Заметим, что числа симметричны относительно $80$ : $79 = (80 - 1)$ , а $81 = (80 + 1)$ .

79 \cdot 81 = (80 - 1)(80 + 1) = 80^2 - 1^2 = 6400 - 1 = 6399

• Вычисление $48 \cdot 52$ :
Числа симметричны относительно $50$ : $48 = (50 - 2)$ , а $52 = (50 + 2)$ .

48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496

Быстрое вычисление сложнейших численных дробей

На контрольных работах в 7 классе часто встречаются дроби с большими квадратами. Использование разности квадратов экономит время и бережёт от ошибок:

• Найти значение выражения $\dfrac{73^2 - 27^2}{100}$ :
Раскладываем числитель по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ :

\dfrac{73^2 - 27^2}{100} = \dfrac{(73 - 27)(73 + 27)}{100} = \dfrac{46 \cdot 100}{100} = 46

Пошаговый алгоритм применения ФСУ

При выполнении заданий на формулы сокращённого умножения за 7 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип задачи: что требуется сделать — раскрыть скобки (превратить произведение в многочлен) или разложить на множители (превратить многочлен в произведение)?

Найдите компоненты $a$ и $b$ : четко выделите первого и второго участников формулы (обратите внимание на коэффициенты и степени, например: в выражении $(3x^2 - 4y)^2$ компоненты $a = 3x^2$ , $b = 4y$ ).

Примените соответствующее тождество: аккуратно распишите формулу со скобками, уделяя особое внимание удвоенному произведению $2ab$ или неполному квадрату.

Упростите полученные выражения: возведите коэффициенты в степени и приведите подобные слагаемые.

Разбор типовых примеров из контрольных работ на ФСУ 7 класса

Рассмотрите решения типичных заданий, которые регулярно встречаются на самостоятельных и контрольных работах по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Задание: Упростите выражение: $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)(2x + 3y)$ .

Подробное решение:

1) Раскрываем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$$

2) Вторую пару скобок сворачиваем по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ :
$$(2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$$

3) Подставляем полученные выражения назад, учитывая знак минус перед второй частью:
$$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 9y^2$$

4) Приводим подобные слагаемые ( $4x^2 - 4x^2 = 0$ ):
$$12xy + 18y^2$$

Ответ: $12xy + 18y^2$ .

Пример 2: Разложение многочлена на множители

Задание: Разложите многочлен на множители: $27a^3 - 8b^3$ .

Подробное решение:

1) Заметим, что $27a^3 = (3a)^3$ , а $8b^3 = (2b)^3$ . Перед нами разность кубов $a^3 - b^3$ .

2) Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ :
$$27a^3 - 8b^3 = (3a)^3 - (2b)^3 = (3a - 2b)((3a)^2 + 3a \cdot 2b + (2b)^2)$$

3) Возводим коэффициенты в квадрат внутри второй скобки:
$$(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$$

Ответ: $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ .

Тренажёры по формулам сокращённого умножения на Экзамео

Доведите знание формул сокращённого умножения до автоматизма с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, самостоятельные и контрольные карточки по теме «Формулы сокращённого умножения» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.