Задачи на системы уравнений 9 класс - алгоритмы, методы решения и задачи

В этом разделе подробно рассматривается тема «Текстовые задачи на системы уравнений» по алгебре за 9 класс. В отличие от 7–8 классов, где рассматривались преимущественно линейные модели с двумя переменными, в 9 классе изучаются системы нелинейных уравнений (уравнений второй степени). Эта тема так же встречается в ОГЭ по математике - поскольку 21 задание ОГЭ по математике это именно текстовые задачи, которые можно решать при помощи систем уравнений или квадратных уравнений.

На этой странице мы рассматриваем только новые методы и задачи на системы уравнений в 9 классе, общие способы решения систем уравнений вы сможете найти в программе 7 классе.

Отработать решение задач на составление систем помогут интерактивные тренажёры по задачам на системы уравнений для 9 класса с пошаговой проверкой ответов.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Перевод сюжетного условия задачи на формальный математический язык выполняется в 5 строгих этапов:

Порядок действий:

Введение двух переменных: обозначьте через $x$ и $y$ две искомые или ключевые величины задачи (стороны фигуры, цифры числа, скорости или время работы). Обязательно укажите единицы измерения и естественные ограничения (например, $x > 0$ , $y > 0$ , или $x, y \in \mathbb{N}$ ).

Составление двух независимых уравнений: найдите в тексте задачи два независимых условия связки величин (например, периметр и площадь, или сумму чисел и сумму их квадратов) и запишите их в виде равенств с $x$ и $y$ .

Объединение в систему и выбор метода решения: объедините уравнения фигурной скобкой $\begin{cases} \dots \\ \dots \end{cases}$ и примените метод подстановки или метод сложения.

Отбор корней по смыслу задачи: исключите отрицательные значения, если переменные обозначают длины, скорости, время или число предметов (геометрический и физический смысл).

Запись ответа: вернитесь к вопросу задачи и запишите именно те величины, которые требовалось найти (одну из переменных, обе, их сумму или разность).

Схема решения задачи с системой уравнений

Основные виды задач на системы уравнений в 9 классе

В 9 классе задачи разделяются на 4 фундаментальные категории, в каждой из которых формируются типовые алгебраические связки:

Тип задачи

Что принимают за $x$ и $y$

Типичная структура системы

1. Геометрические задачи
(прямоугольники, прямоугольные треугольники)

$x$ и $y$ — стороны прямоугольника или катеты прямоугольного треугольника ( $x > 0, y > 0$ ).

• Периметр и площадь:
$\begin{cases} 2(x + y) = P \\ xy = S \end{cases}$
• Диагональ / теорема Пифагора:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = d^2 \\ xy = S \end{cases}$

2. Задачи на числа и цифры
(двузначные числа, разность квадратов)

$x$ — цифра десятков, $y$ — цифра единиц двузначного числа ( $x \in \{1,\dots,9\}$ , $y \in \{0,\dots,9\}$ ). Число равно $10x + y$ .

$\begin{cases} x + y = S \\ (10x + y) - (10y + x) = \Delta \end{cases}$
или связь произведения и разности:
$\begin{cases} x - y = d \\ xy = P \end{cases}$

3. Задачи на движение
(навстречу, по реке, с разным временем)

$x$ — скорость первого ( $v_1$ ), $y$ — скорость второго ( $v_2$ ), либо $x$ и $y$ — время в пути ( $t_1, t_2$ ).

$\begin{cases} v_1 t_1 = S \\ \dfrac{S}{v_2} - \dfrac{S}{v_1} = \Delta t \end{cases}$
или через движение навстречу:
$\begin{cases} (x + y)t = S \\ \dots \end{cases}$

4. Задачи на совместную работу
(две трубы, две бригады)

$x$ — время работы первого в одиночку, $y$ — время работы второго в одиночку. Производительности: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ .

$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \cdot t_{\text{вместе}} = 1 \\ y - x = \Delta t \end{cases}$

Эффективные методы решения нелинейных систем

1. Универсальный метод подстановки 🔄

1. Из более простого (линейного) уравнения выражаем одну переменную через другую (например, $y = a - x$ ).

2. Подставляем полученное выражение вместо $y$ во второе (нелинейное) уравнение.

3. Решаем квадратное уравнение относительно $x$ .

4. Находим соответственные значения $y$ .

2. Симметрические системы (теорема Виета) ⚡

Если система имеет вид:
$$\begin{cases} x + y = u \\ xy = v \end{cases}$$
то по обратной теореме Виета переменные $x$ и $y$ являются корнями одного квадратного уравнения:
$$t^2 - ut + v = 0$$
Решив его, получаем сразу два корня $t_1$ и $t_2$ , которые и образуют симметричные пары решений $(t_1; t_2)$ и $(t_2; t_1)$ .

Лайфхаки при решении задач на системы в 9 классе! 💡

1. Запись двузначного числа: Запомните: если число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$ , его значение равно $10x + y$ , а не $xy$ (произведение)! Число с переставленными цифрами записывается как $10y + x$ .

2. Связь квадратов и удвоенного произведения: В геометрических задачах с диагональю ( $x^2 + y^2 = d^2$ ) и площадью ( $xy = S$ ) не обязательно решать громоздкую подстановку. Используйте формулу квадрата суммы:

(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = d^2 + 2S

Извлекая корень, вы мгновенно находите полупериметр $x + y = \sqrt{d^2 + 2S}$ .

3. Парность решений: Помните, что решением системы является пара чисел $(x; y)$ , а не одно число. Если система симметрична (например, стороны прямоугольника), получаются пары $(a; b)$ и $(b; a)$ , что геометрически соответствует одному и тому же прямоугольнику.

Разбор типовых задач по алгебре за 9 класс

Рассмотрите полные решения типовых текстовых задач курса 9 класса и ОГЭ с подробными пояснениями.

Пример 1: Геометрическая задача (стороны и диагональ прямоугольника)

Задание: Диагональ прямоугольника равна $10\text{ см}$ , а его площадь равна $48\text{ см}^2$ . Найдите стороны этого прямоугольника.

Место под иллюстрацию: чертёж прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ , диагональю $d = 10$ , прямым углом и выделенным прямоугольным треугольником по теореме Пифагора.

Подробное решение:

1) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см ( $x > 0, y > 0$ ).

2) Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

xy = 48

3) По теореме Пифагора сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали ( $10^2 = 100$ ):

x^2 + y^2 = 100

4) Составим систему нелинейных уравнений:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ xy = 48 \end{cases}

5) Решение через формулу сокращенного умножения:
Сложим первое уравнение с удвоенным вторым ( $2xy = 96$ ):

x^2 + 2xy + y^2 = 100 + 96 \implies (x + y)^2 = 196

Так как $x > 0$ и $y > 0$ , получаем:

x + y = 14

6) Получаем систему простейшего вида:

\begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases}

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$ :

D = 196 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 = 2^2

t_1 = \dfrac{14 + 2}{2} = 8, \quad t_2 = \dfrac{14 - 2}{2} = 6

7) Стороны прямоугольника равны $8\text{ см}$ и $6\text{ см}$ .

Ответ: $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$ .

Пример 2: Задача на двузначное число

Задание: Двузначное число в $4$ раза больше суммы своих цифр и на $18$ больше произведения своих цифр. Найдите это число.

Подробное решение:

1) Пусть $x$ — цифра десятков ( $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$ ), а $y$ — цифра единиц ( $y \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ).
Тогда само двузначное число равно $(10x + y)$ , сумма его цифр равна $(x + y)$ , а произведение цифр — $xy$ .

2) По первому условию число в $4$ раза больше суммы цифр:

10x + y = 4(x + y) \implies 10x + y = 4x + 4y \implies 6x = 3y \implies y = 2x

3) По второму условию число на $18$ больше произведения цифр:

10x + y - xy = 18

4) Составим систему уравнений:

\begin{cases} y = 2x \\ 10x + y - xy = 18 \end{cases}

5) Подставим $y = 2x$ во второе уравнение:

10x + 2x - x(2x) = 18

12x - 2x^2 = 18

Разделим обе части на $-2$ и перенесём слагаемые:

x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3

6) Найдём цифру единиц $y$ :

y = 2 \cdot 3 = 6

7) Обе цифры удовлетворяют условиям ( $x = 3$ , $y = 6$ ). Исходное число: $10 \cdot 3 + 6 = 36$ .
(Проверка: сумма цифр $3 + 6 = 9$ , $36 : 9 = 4$ ; произведение цифр $3 \cdot 6 = 18$ , $36 - 18 = 18$ ).

Ответ: $36$ .

Пример 3: Задача на совместную работу (две трубы)

Задание: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за $6\text{ часов}$ . Первая труба, работая отдельно, может наполнить бассейн на $5\text{ часов}$ быстрее, чем вторая. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно?

Подробное решение:

1) Примем объём бассейна за единицу ( $A = 1$ ).
Пусть первая труба наполняет бассейн за $x$ часов, а вторая — за $y$ часов ( $x > 0, y > 0$ ).
• Производительность первой трубы: $\dfrac{1}{x}$ бассейна в час.
• Производительность второй трубы: $\dfrac{1}{y}$ бассейна в час.

2) По условию вторая труба работает на $5$ часов дольше первой:

y - x = 5 \implies y = x + 5

3) Вместе трубы наполняют бассейн за $6$ часов, то есть их совместная производительность равна $\dfrac{1}{6}$ :

\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}

4) Составим систему уравнений:

\begin{cases} y = x + 5 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}

5) Подставим $y = x + 5$ во второе уравнение:

\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac{1}{6}

Домножим на $6x(x + 5) \neq 0$ :

6(x + 5) + 6x = x(x + 5)

6x + 30 + 6x = x^2 + 5x

x^2 - 7x - 30 = 0

6) Найдём корни по теореме Виета или через дискриминант:

x_1 = 10, \quad x_2 = -3

Корень $x = -3$ не подходит по смыслу задачи ( $x > 0$ ).
Следовательно, первая труба наполняет бассейн за $x = 10\text{ часов}$ .

7) Найдём время работы второй трубы:

y = 10 + 5 = 15\text{ часов}

Ответ: первая труба — за 10 часов, вторая труба — за 15 часов.

Тренажёры по задачам на системы уравнений для 9 класса

Научиться легко переводить любые текстовые сюжеты на язык уравнений и уверенно решать задачи на системы уравнений в 9 классе помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». Для каждого задания вы найдете подробное пошаговое решение с описанием составления системы и решением одним из способов, а так же автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Совместная работа двух труб

Темы5

Курсы3

Задания на совместную работа двух труб, заполняющих бассейн, которые решаются стандартными таблицами и составлением уравнений или систем уравненийВариант 1

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 416 литров вторая труба заполняет на 13 минут быстрее, чем первая труба?

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Движение поезда мимо пешехода

Темы2

Курсы2

Вариант 1

Поезд длиной 800 метров, двигаясь равномерно, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе со скоростью 6 км/ч в том же направлении параллельно путям, за 36 секунд. Найдите скорость поезда в км/ч.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Основные виды задач на системы уравнений в 9 классе

Эффективные методы решения нелинейных систем

Разбор типовых задач по алгебре за 9 класс

Тренажёры по задачам на системы уравнений для 9 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой