Квадрат суммы - задания с решениями и решениями 7 класс

Формула квадрата суммы — базовая основа темы «Формулы сокращённого умножения» (ФСУ) в курсе алгебры за 7 класс. Знание этой формулы позволяет мгновенно возводить сумму выражений во вторую степень в уме, не тратя время на громоздкое почленное перемножение скобок вида $(a + b)(a + b)$ . На уроках алгебры, проверочных тестах и в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике квадрат суммы применяется повсеместно: для быстрого раскрытия скобок, разложения многочленов на множители, сокращения дробей, решения квадратных уравнений и вычисления квадратов чисел без калькулятора.

Ниже представлены наглядный геометрический вывод формулы, правила работы с числовыми и буквенными коэффициентами, пошаговые разборы всех основных типов заданий на квадрат суммы, анализ типичных ошибок и интерактивные онлайн-тренажёры на ФСУ для автоматической отработки навыка с моментальной проверкой ответов.

[Место для иллюстрации: Формула квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 с цветным выделением первого квадрата, удвоенного произведения и второго квадрата]

Квадрат суммы - формула

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• Прямое действие (раскрытие скобок): переход от произведения $(a + b)^2$ к трёхчлену $a^2 + 2ab + b^2$ . Используется для преобразования и упрощения выражений.

• Обратное действие (сворачивание в полный квадрат): представление трёхчлена $a^2 + 2ab + b^2$ в виде квадрата двучлена $(a + b)^2$ . Используется для разложения на множители, сокращения дробей и выделения полного квадрата.

• Главная ловушка: сумма квадратов не равна квадрату суммы! Запомните: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ , между ними всегда обязано стоять удвоенное произведение $2ab$ .

Геометрический смысл формулы квадрата суммы

Формулу квадрата суммы легко доказать не только алгебраически (умножением скобки на скобку $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ), но и наглядно через площадь геометрических фигур:

1. Построим большой квадрат со стороной $(a + b)$ . Площадь этого квадрата равна квадрату его стороны: $S = (a + b)^2$ .

2. Разобьём каждую сторону квадрата на два отрезка длиной $a$ и $b$ и проведём через точки деления прямые, параллельные сторонам.

3. Внутри большого квадрата образуются четыре непересекающиеся фигуры:

• первый квадрат со стороной $a$ и площадью $S_1 = a^2$ ;
• второй квадрат со стороной $b$ и площадью $S_2 = b^2$ ;
• два равных прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ , площадь каждого из которых равна $S_3 = S_4 = ab$ .

4. Суммарная площадь большого квадрата равна сумме площадей всех четырёх внутренних частей:

S = S_1 + S_3 + S_4 + S_2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

[Место для иллюстрации: Геометрическая схема квадрата со стороной (a + b), разделённого на квадрат a^2, квадрат b^2 и два прямоугольника площадью ab]

Методы решения заданий на формулу квадрата суммы

В школьной программе 7 класса и в экзаменационных заданиях преобразования с формулой квадрата суммы делятся на четыре ключевых практических направления:

Раскрытие скобок

Прямое применение формулы: возведение в квадрат двучленов с переменными и числовыми коэффициентами (например, $(3x + 4y)^2$ ). Требует аккуратного возведения чисел в квадрат ( $3^2 = 9$ ) и вычисления удвоенного произведения ( $2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$ ).

Сворачивание трёхчлена

Обратная операция: распознавание в трёхчлене $a^2 + 2ab + b^2$ квадрата двучлена $(a + b)^2$ . Применяется для разложения многочленов на множители, решения квадратных уравнений и доказательства алгебраических неравенств.

Упрощение и сокращение дробей

В алгебраических дробях числитель или знаменатель сворачивают по формуле квадрата суммы, после чего сокращают дробь на общий множитель первой степени, существенно упрощая исходное выражение.

Быстрый устный счёт чисел

Квадрат любого двузначного числа легко находится в уме без калькулятора: число раскладывают на сумму круглого числа и остатка, например: $62^2 = (60 + 2)^2 = 3600 + 240 + 4 = 3844$ .

Задания на квадрат суммы с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений ключевых практических заданий, охватывающих все стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ.

Раскрытие скобок с коэффициентами и несколькими переменными

Условие: Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение $(3x + 4y)^2$ .

Пошаговое решение:

1) Выделим первое и второе слагаемые в скобках:

• Первое выражение: $a = 3x$ .

• Второе выражение: $b = 4y$ .

2) Запишем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

3) Подставим выражения в формулу, помещая каждое слагаемое в скобки перед возведением в степень:

(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2

4) Выполним последовательные вычисления:

• Квадрат первого выражения: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$ .

• Удвоенное произведение: $2 \cdot 3x \cdot 4y = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot xy = 24xy$ .

• Квадрат второго выражения: $(4y)^2 = 4^2 \cdot y^2 = 16y^2$ .

5) Соберём полученный многочлен:

(3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2

Ответ: $9x^2 + 24xy + 16y^2$ .

Сворачивание трёхчлена в квадрат двучлена (разложение на множители)

Условие: Разложите трёхчлен на множители, представив его в виде квадрата двучлена: $25a^2 + 70ab + 49b^2$ .

Пошаговое решение:

1) Проверим крайние слагаемые на точные квадраты:

• $25a^2 = (5a)^2 \implies$ первое выражение равно $5a$ .

• $49b^2 = (7b)^2 \implies$ второе выражение равно $7b$ .

2) Проверим среднее слагаемое на соответствие удвоенному произведению:

2 \cdot (5a) \cdot (7b) = (2 \cdot 5 \cdot 7) \cdot ab = 70ab

Удвоенное произведение в точности совпадает со средним членом исходного выражения ( $70ab = 70ab$ ).

3) Так как все три члена удовлетворяют структуре $a^2 + 2ab + b^2$ , сворачиваем выражение в квадрат суммы:

25a^2 + 70ab + 49b^2 = (5a + 7b)^2

Ответ: $(5a + 7b)^2$ .

Упрощение составного алгебраического выражения

Условие: Упростите алгебраическое выражение и найдите его значение при $x = -2$ :

(2x + 3)^2 - 4x(x + 3)

Пошаговое решение:

1) Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

2) Раскроем вторую скобку, умножив одночлен $-4x$ на каждое слагаемое внутри скобок:

-4x(x + 3) = -4x \cdot x - 4x \cdot 3 = -4x^2 - 12x

3) Запишем всё выражение целиком и приведём подобные слагаемые:

(4x^2 + 12x + 9) - 4x^2 - 12x = (4x^2 - 4x^2) + (12x - 12x) + 9 = 9

4) В результате взаимного уничтожения слагаемых с переменной $x$ выражение оказалось тождественно равно числу $9$ . Значение выражения не зависит от $x$ и при $x = -2$ также равно $9$ .

Ответ: 9.

Быстрое возведение числа в квадрат без калькулятора

Условие: Вычислите значение выражения $62^2$ , используя формулу квадрата суммы.

Пошаговое решение:

1) Представим число $62$ в виде суммы удобного круглого числа и остатка:

62 = 60 + 2

2) Запишем квадрат этой суммы и применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

62^2 = (60 + 2)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 2 + 2^2

3) Выполним устные вычисления для каждого члена:
• $60^2 = 3600$ ;
• $2 \cdot 60 \cdot 2 = 240$ ;
• $2^2 = 4$ .

4) Сложим полученные результаты:

3600 + 240 + 4 = 3844

Ответ: 3844.

Сокращение алгебраической дроби с помощью ФСУ

Условие: Сократите дробь $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}$ .

Пошаговое решение:

1) Преобразуем числитель:

Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$ .

2) Преобразуем знаменатель:

Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2x + 6 = 2(x + 3)$ .

3) Запишем преобразованную дробь:

\dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6} = \dfrac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}

4) Выполним сокращение:

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $(x + 3)$ при условии $x \neq -3$ :

\dfrac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \dfrac{x + 3}{2} \quad \text{или} \quad 0{,}5x + 1{,}5

Ответ: $\dfrac{x + 3}{2}$ .

Типичные ошибки при выполнении заданий на квадрат суммы

При выполнении проверочных работ по алгебре учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Потеря удвоенного произведения

Самая распространённая ошибка в школьной алгебре — запись $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Школьники просто возводят в квадрат каждое слагаемое, полностью забывая про средний член $2ab$ . Запомните: скобка во второй степени всегда даёт трёхчлен!

Невозведение числового коэффициента в квадрат

При возведении в квадрат одночлена с числом пишут $(3x)^2 = 3x^2$ вместо $9x^2$ или $(5y)^2 = 5y^2$ вместо $25y^2$ . Квадрат за скобкой относится ко всему выражению: и к переменной, и к числовому множителю перед ней.

Ошибки со знаком минус перед формулой

В выражениях вида $-(x + 4)^2$ сначала раскрывают формулу, не поставив промежуточные скобки: $-x^2 + 8x + 16$ . Это неверно! Знак минус перед выражением меняет знаки всех трёх слагаемых: $-(x^2 + 8x + 16) = -x^2 - 8x - 16$ .

Сворачивание без проверки удвоенного произведения

Видя выражение $x^2 + 10x + 16$ , его ошибочно сворачивают в $(x + 4)^2$ , ориентируясь только на $x^2$ и $16 = 4^2$ . Но удвоенное произведение должно быть $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$ , а не $10x$ . Всегда перепроверяйте средний член перед сворачиванием.

Тренажёры на квадрат суммы и формулы сокращённого умножения

Интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Квадрат суммы» и формулам сокращённого умножения (ФСУ) на образовательной платформе Экзамео позволяют быстро закрепить технику раскрытия скобок и разложения на множители. Тренируйтесь преобразовывать алгебраические выражения, получайте мгновенный отклик системы и учитесь безошибочно применять формулы на уроках алгебры и экзаменах ОГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Квадрат суммы - формула

Методы решения заданий на формулу квадрата суммы

Задания на квадрат суммы с пошаговыми решениями

Типичные ошибки при выполнении заданий на квадрат суммы

Тренажёры на квадрат суммы и формулы сокращённого умножения

Задачи сейчас заполняются

Рекомендуем изучить вместе с этой темой