Соотношения между сторонами и углами треугольника

В этом разделе подробно рассматривается фундаментальная тема «Соотношения между сторонами и углами треугольника» по геометрии за 7 класс. Эта тема устанавливает важнейшие закономерности, связывающие длины сторон треугольника с градусными мерами его внутренних углов, и позволяет проверять существование треугольника с заданными параметрами.

Здесь собрана вся ключевая теория 7 класса о соотношениях в треугольниках: теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол, теорема о неравенстве треугольника, следствия для прямоугольного треугольника, а также подробный разбор задач, входящих в самостоятельные и контрольные работы.

Отработать тему соотношения между сторонами и углами треугольника можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Соотношения элементов треугольника

Ниже приведены главные теоремы и следствия, определяющие взаимосвязь между углами и сторонами в произвольном и прямоугольном треугольниках. Они разбираются по школьной программе в 7 классе, но встречаются в самых разных задачах, в том числе и во второй части ОГЭ и ЕГЭ по математике и в доказательствах в геометрии.

Особенно важно понимать эту тему, если вы хотите принимать участие в олимпиадах по математике.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема показывает прямую зависимость между размерами сторон и противоположных им углов.

Прямая и обратная теоремы 🎯

1. Прямая теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

2. Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

a > b \iff \alpha > \beta

Из этой теоремы следует важный вывод: против равных сторон всегда лежат равные углы (свойство равнобедренного треугольника), и наоборот.

Рассмотрим пример задачи на соотношение между углами и сторонами:

Сравнение сторон треугольника по его углам

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 40^\circ$ , а угол $\angle B = 70^\circ$ . Сравните стороны треугольника и укажите наименьшую сторону.

Подробное решение:

1) Найдем третий угол $\angle C$ по теореме о сумме углов треугольника:

\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

2) Запишем соотношение между углами треугольника:

\angle A (40^\circ) < \angle B (70^\circ) = \angle C (70^\circ)

3) По теореме о соотношении между сторонами и углами, напротив наименьшего угла лежит наименьшая сторона:
• напротив $\angle A$ лежит сторона $BC$ ;
• напротив $\angle B$ лежит сторона $AC$ ;
• напротив $\angle C$ лежит сторона $AB$ .

4) Так как $\angle B = \angle C$ , то стороны $AC = AB$ (треугольник равнобедренный).
Поскольку $\angle A$ — наименьший угол, сторона $BC$ является наименьшей:

BC < AC = AB

Ответ: наименьшая сторона — $BC$ ; $BC < AC = AB$ .

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника задает необходимое и достаточное условие для того, чтобы из трех отрезков заданной длины можно было составить треугольник. Это важнейшая теорема, которая будет попадаться и на контрольных и на самостоятельных работах в 7 классе. Более того, задачи на неё встречаются даже на олимпиадах по математике вплоть до 9 класса. Это одно из важнейших геометрических неравенств.

Теорема о неравенстве треугольника:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон:

a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b

Практический лайфхак: чтобы проверить существование треугольника, достаточно убедиться, что наибольшая сторона меньше суммы двух других!

Разберем пример типичной задачи с использованием неравенства треугольника:

Пример задачи на проверку существования треугольника

Задание: Существует ли треугольник со сторонами $5\text{ см}$ , $8\text{ см}$ и $14\text{ см}$ ?

Подробное решение:

1) Воспользуемся теоремой о неравенстве треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других.

2) Проверим наибольшую сторону $14\text{ см}$ против суммы двух меньших сторон ( $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$ ):

5 + 8 = 13\text{ см}

3) Сравним: $14 > 13$ . Наибольшая сторона больше суммы двух других сторон ( $14 > 5 + 8$ ), что противоречит теореме.

Ответ: такой треугольник не существует.

Следствия для прямоугольного треугольника

Так как прямой угол ( $90^\circ$ ) является наибольшим углом в прямоугольном треугольнике, из теоремы вытекают следующие ключевые факты, которые можно использовать при решении задач на прямоугольные треугольники

1. Гипотенуза и катет 📐

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов ( $c > a$ и $c > b$ ), так как лежит против наибольшего угла $90^\circ$ .

2. Катет против угла в $30^\circ$ 💡

Катет, лежащий против угла в $30^\circ$ , равен половине гипотенузы:

a = \dfrac{c}{2}

Запомните для решения задач! 💡

1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (лежащие против них стороны равны).

2. Никакая сторона треугольника не может быть больше или равна сумме двух других сторон!

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на соотношения между сторонами и углами треугольника придерживайтесь алгоритма, он универсален для всех задач:

Порядок действий:

Найдите все углы или стороны: найдите неизвестные углы треугольника через теорему о сумме углов ( $180^\circ$ ).

Упорядочьте известную величину: расставьте углы (или стороны) в порядке возрастания или убывания.

Сопоставьте противоположные элементы: сопоставьте каждому углу лежащую напротив него сторону и запишите требуемое неравенство.

Тренажёры по теме «Соотношения между сторонами и углами» на Экзамео

На образовательной платформе «Экзамео» представлены задания и тренажёры по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» для 7 класса. Материал охватывает сравнение элементов треугольника, неравенство треугольника и свойства прямоугольного треугольника. Ко всем задачам даны подробные пошаговые решения с чертежами — это помогает разобраться в логике рассуждений, а не просто найти ответ.

Автоматическая проверка в задачах мгновенно указывает на ошибки, позволяя отработать сложные моменты без потери времени.

Задача 1

Неравенство треугольника и возможные длины сторон

Темы2

Курсы1

Задания для отработки понимания неравенства треугольника и условия существования треугольникаВариант 1

Две стороны треугольника равны 3 и 4. Найдите наименьшее возможное целое значение длины третьей стороны.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Существует ли треугольник

Темы2

Курсы1

Типичная задача на неравенство треугольника, в которой нужно проверить существует ли такой треугольникВариант 1

Существует ли треугольник со сторонами 2, 4 и 9?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план