Числовые неравенства и их свойства - основные понятия и правила. Алгебра 8 класс

Числовые неравенства и их свойства - это одна из ключевых тем алгебры 8 класса, которая является основой для решения линейных, квадратных и других видов неравенств. Без понимания свойства числовых неравенств невозможно решать задачи на оценку выражений, доказывать неравенства и работать с системами неравенств.

На этой странице мы собрали общую информацию о видах неравенств и общих свойств числовых неравенств, более подробно каждый вид неравенств разобран на страницах, посвященных конкретному виду неравенств

Числовое неравенство - это запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком >, <, ≥ или ≤.

Что такое числовое неравенство

В математике часто приходится сравнивать числа и выражения. Результат сравнения записывается в виде неравенства.

Определение

Определение. Числовым неравенством называется запись отношений двух неравных чисел с помощью знаков > или <.

Число a больше числа b, если разность a — b - положительное число. Число a меньше числа b, если разность a — b - отрицательное число.

Примеры:

$5 > 3$ , так как $5 — 3 = 2 > 0$

$-4 < 1$ , так как $-4 — 1 = -5 < 0$

Виды неравенств

Неравенства можно классифицировать по разным признакам. Рассмотрим основные виды.

По знаку сравнения

Строгие неравенства - неравенства со знаками > или <.

Пример: $3 > 2$ , $-5 < 0$

Нестрогие неравенства - неравенства со знаками ≥ или ≤.

Пример: $x ≥ 5$ , $x ≤ 10$

Запись $a ≥ b$ означает, что либо $a > b$ , либо $a = b$ .

По содержанию

Числовые неравенства - содержат только числа.

Пример: $7 > 3$ , $0 < 2$

Неравенства с переменной - содержат переменные.

Пример: $2x + 3 > 7$ , $x^2 — 4 ≤ 0$

Двойные неравенства - содержат два знака сравнения.

Пример: $2 < x < 5$

Виды неравенств по типу выражений

В 8 классе вы познакомитесь с несколькими видами неравенств, которые различаются по типу выражений, входящих в них.

Вид неравенства

Пример

Линейные неравенства

$2x - 4 > 0$ , $3x + 5 ≤ 7$

Квадратное

$x^2 - 3x + 2 > 0$ , $x^2 + 4 ≤ 0$

Рациональное

$\dfrac{x}{x - 2} < 3$ , $\dfrac{x + 1}{x} ≥ 0$

Иррациональное

$\sqrt{x + 1} > 2$ , $\sqrt{2x} ≤ 5$

📌 Важно: Каждый из этих видов неравенств решается по-своему. Подробнее о решении каждого вида можно прочитать на соответствующих страницах.

Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств - это правила, которые позволяют преобразовывать неравенства, сохраняя их истинность. Все эти свойства следуют из определения сравнения чисел через разность.

Основные свойства

Свойство

Формулировка

1. Антисимметричность

Если $a > b$ , то $b < a$ . Если $a < b$ , то $b > a$ .

2. Транзитивность

Если $a < b$ и $b < c$ , то $a < c$ . Если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ .

3. Прибавление числа

Если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a + c < b + c$ .

4. Умножение на положительное число

Если $a < b$ и $c > 0$ , то $ac < bc$ .

5. Умножение на отрицательное число

Если $a < b$ и $c < 0$ , то $ac > bc$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Почленное сложение и умножение неравенств

Теоремы о почленных операциях

Почленное сложение. Если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$ .

Вывод: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Почленное умножение. Если $a < b$ и $c < d$ , где $a, b, c, d$ - положительные числа, то $ac < bd$ .

Вывод: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

Важно: Если среди чисел есть отрицательные, неравенство $ac < bd$ может оказаться неверным.

Следствие. Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$ , то $a^n < b^n$ , где $n$ - натуральное число.

Применение свойств числовых неравенств

Свойства числовых неравенств широко применяются при решении практических задач, особенно при оценке значений выражений.

Задача на оценку выражений

Известно, что $2 < a < 3$ и $4 < b < 5$ .

1. Оценим периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ :

$2 + 4 < a + b < 3 + 5$ (почленное сложение)

$6 < a + b < 8$

$12 < 2(a + b) < 16$ (умножение на 2)

2. Оценим площадь прямоугольника:

$2 \cdot 4 < a \cdot b < 3 \cdot 5$ (почленное умножение, все числа положительные)

$8 < ab < 15$

💡 Совет: При работе с неравенствами всегда обращайте внимание на знак числа, на которое умножаете или делите обе части неравенства. Если число отрицательное - знак неравенства меняется!

Тренажёры по числовым неравенствам и их свойствам

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Числовые неравенства и их свойства». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от сравнения чисел до оценки выражений и доказательства неравенств.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.