Линейные неравенства. Разбор темы и тренажёры с решениями. Алгебра 8 класс

В 8 классе на алгебре вам предстоит познакомиться с важным разделом - линейные неравенства с одной переменной. На этой странице разберем подробно эту тему: научимся решать неравенства - посмотрим какие виды заданий, решений и ответов могут встречаться на самостоятельных работах Эта тема является основой для решения более сложных неравенств и систем неравенств, которые проходятся в 8 и 9 классе, встречаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Линейные неравенства - это неравенства вида $ax > b$ или $ax < b$ , где $a$ и $b$ — некоторые числа. Решить такое неравенство - значит найти все значения переменной $x$ , при которых неравенство становится верным числовым утверждением.

Что такое решение неравенства

Самое главное нужно научиться решать линейные неравенства - разберёмся что это значит и как можно найти решение неравенства

Рассмотрим неравенство $5x - 11 > 3$ . При одних значениях переменной $x$ оно обращается в верное числовое неравенство, а при других — нет.

Пример проверки решения

Проверим, является ли число 4 решением неравенства $5x - 11 > 3$ .

Подставим $x = 4$ :

$5 \cdot 4 - 11 > 3$

$20 - 11 > 3$

$9 > 3$ — верно, значит, число 4 является решением.

Подставим $x = 2$ :

$5 \cdot 2 - 11 > 3$

$10 - 11 > 3$

$-1 > 3$ — неверно, значит, число 2 не является решением.

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Равносильные неравенства

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются свойства равносильности, которые позволяют упрощать неравенства, не меняя множества их решений.

Свойства равносильных неравенств

Свойство 1. Если из одной части неравенства перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком, то получится равносильное неравенство.

Свойство 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное неравенство.

Пример:

Неравенство $18 + 6x > 0$ равносильно неравенству $6x > -18$ (перенесли 18 в правую часть с противоположным знаком).

Неравенство $6x > -18$ равносильно неравенству $x > -3$ (разделили обе части на положительное число 6).

Виды решений и запись ответа на линейное неравенство

Решив неравенство, вы получаете множество решений. Это множество может выглядеть по-разному в зависимости от типа неравенства. Существует два основных способа записи ответа, и важно уметь использовать оба.

Запись в виде промежутка (скобки)

Ответ записывается с помощью круглых и квадратных скобок. Круглая скобка ( или ) означает, что число не входит в решение (строгое неравенство). Квадратная скобка [ или ] означает, что число входит в решение (нестрогое неравенство).

Примеры:

$x > 5 \rightarrow (5; +\infty)$

$x \le -2 \rightarrow (-\infty; -2]$

Бесконечность $\infty$ всегда записывается с круглой скобкой.

Подробнее о записи ответа: скобки и числовая прямая

1. Запись ответа с помощью скобок (числовые промежутки)

Это самый распространённый способ в старших классах и на экзаменах. Множество решений записывается в виде промежутка.

Правила использования скобок при записи решения:

Круглая скобка ( или ) ставится, когда граница не принадлежит множеству решений. Это соответствует строгим неравенствам: $>$ или $<$ .
Квадратная скобка [ или ] ставится, когда граница принадлежит множеству решений. Это соответствует нестрогим неравенствам: $\ge$ или $\le$ .
Бесконечность $\infty$ всегда записывается с круглой скобкой, так как это не число, а символ, обозначающий неограниченность.

Таблица соответствия:

После преобразования неравенства вы всегда будете получать один из четырех возможных вариантов и ему всегда будут соответствовать один из четырех промежутков, разница будет только в строгом и нестрогом неравенстве.

Неравенство

Промежуток

$x > a$

$(a; +\infty)$

$x \ge a$

$[a; +\infty)$

$x < a$

$(-\infty; a)$

$x \le a$

$(-\infty; a]$

Важные частные случаи:

Все числа: $(-\infty; +\infty)$ (если неравенство верно при любом $x$ )
Пустое множество: $\varnothing$ (решений нет)

2. Запись ответа на числовой прямой

Этот способ нагляден и часто используется для проверки или при решении систем неравенств.

Алгоритм изображения решения на числовой прямой:

Нанести на прямую все граничные точки (числа, которые были в ответе).
Определить, входят ли эти точки в решение:
если неравенство строгое ( $>$ или $<$ ) — точка выколотая (пустая).
если неравенство нестрогое ( $\ge$ или $\le$ ) — точка закрашенная (заполненная).

Заштриховать направление, в котором лежат решения:

если $x > a$ или $x \ge a$ — штриховка вправо (в сторону $+\infty$ ).
если $x < a$ или $x \le a$ — штриховка влево (в сторону $-\infty$ ).

💡 Совет: Всегда проверяйте свой ответ, подставляя любое число из полученного промежутка в исходное неравенство. Это поможет избежать ошибок со знаком.

Строгие и нестрогие неравенства

Все линейные неравенства делятся на два типа: строгие и нестрогие. От этого зависит, какой знак используется в записи и какие скобки ставятся в ответе.

Строгие неравенства

В строгих неравенствах используются знаки $>$ («больше») и $<$ («меньше»).

Особенности:

Граничное число не входит в решение
В ответе используются круглые скобки ( или )
На числовой прямой точка выколотая (пустой кружок)

Пример:

$x > 5$ — все числа, большие 5, но сама 5 не входит

Ответ: $(5; +\infty)$

Нестрогие неравенства

В нестрогих неравенствах используются знаки $\ge$ («больше или равно») и $\le$ («меньше или равно»).

Особенности:

Граничное число входит в решение
В ответе используются квадратные скобки [ или ]
На числовой прямой точка закрашенная (заполненный кружок)

Пример:

$x \ge 5$ — все числа, большие или равные 5, сама 5 входит

Ответ: $[5; +\infty)$

⚠️ Важно запомнить: При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это правило работает и для строгих, и для нестрогих неравенств.

Решение линейных неравенств

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида $ax > b$ или $ax < b$ , где $a$ и $b$ — некоторые числа. В процессе решения любое линейное неравенство можно привести к такому виду.

Решение простого линейного неравенства

Решим неравенство $16x > 13x + 45$ .

Шаг 1. Перенесём слагаемое $13x$ с противоположным знаком в левую часть:

$16x - 13x > 45$

Шаг 2. Приведём подобные члены:

$3x > 45$

Шаг 3. Разделим обе части на $3$ (число положительное, знак неравенства не меняем):

$x > 15$

Ответ: $(15; +\infty)$ или $x > 15$

Решение неравенства со скобками

Решим неравенство $15x - 23(x + 1) > 2x + 11$ .

Шаг 1. Раскроем скобки в левой части:

$15x - 23x - 23 > 2x + 11$

Шаг 2. Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть, числа — в правую:

$15x - 23x - 2x > 11 + 23$

Шаг 3. Приведём подобные члены:

$-10x > 34$

Шаг 4. Разделим обе части на $-10$ (число отрицательное, меняем знак неравенства):

$x < -3,4$

Ответ: $(-\infty; -3,4)$

Решение неравенства с дробями

Решим неравенство $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2} < 2$ .

Шаг 1. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на $6$ :

$\dfrac{x}{3} \cdot 6 - \dfrac{x}{2} \cdot 6 < 2 \cdot 6$

Шаг 2. Упростим:

$2x - 3x < 12$

$-x < 12$

Шаг 3. Умножим обе части на $-1$ (меняем знак неравенства):

$x > -12$

Ответ: $(-12; +\infty)$

Неравенство без решений

Решим неравенство $2(x + 8) - 5x < 4 - 3x$ .

Шаг 1. Раскроем скобки:

$2x + 16 - 5x < 4 - 3x$

Шаг 2. Перенесём все члены с $x$ в левую часть, числа — в правую:

$2x - 5x + 3x < 4 - 16$

Шаг 3. Приведём подобные члены:

$0 \cdot x < -12$

Полученное неравенство $0 < -12$ не является верным ни при каком значении $x$ .

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки при решении линейных неравенств

При решении заданий с линейными неравенствами ученики 8 класса часто допускают характерные ошибки. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ по математике.

Ошибка 1: Забывают изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число

Неправильно

$-4x > 12$

$x > -3$

(знак не изменили)

Правильно

$-4x > 12$

$x < -3$

(знак изменили на <)

Ошибка 2: Неправильный перенос слагаемых

Неправильно

$5x - 3 > 2x + 7$

$5x - 2x > 7 + 3$

(перенесли $-3$ без смены знака)

Правильно

$5x - 3 > 2x + 7$

$5x - 2x > 7 + 3$

( $-3$ перенесли как $+3$ )

Советы по решению линейных неравенств

Чтобы успешно решать линейные неравенства в 8 классе и на ОГЭ, рекомендуем придерживаться следующего алгоритма:

Алгоритм решения линейного неравенства

Шаг 1. Раскрыть скобки, если они есть

Шаг 2. Перенести все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные

Шаг 3. Привести подобные слагаемые в обеих частях неравенства

Шаг 4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$ :
- если коэффициент положительный — знак неравенства не меняется
- если коэффициент отрицательный — знак неравенства меняется на противоположный

Шаг 5. Записать ответ в виде промежутка или на числовой прямой

Шаг 6. Проверить решение, подставив любое число из полученного промежутка в исходное неравенство

💡 Важно запомнить: При решении линейных неравенств самая частая ошибка - забыть изменить знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число. Всегда проверяйте этот шаг!

Тренажёры на линейные неравенства для ОГЭ

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Линейные неравенства с одной переменной». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике.